Теория подъемной линии

Прандтля Теория подъемной линии Ланчестера- ^{[ 1 ]} — это математическая модель в аэродинамике , которая предсказывает распределение подъемной силы по трехмерному крылу крыла на основе геометрии . ^{[ 2 ]} Теория была высказана независимо ^{[ 3 ]} Фредерик В. Ланчестер в 1907 году, ^{[ 4 ]} и Людвиг Прандтль в 1918–1919 гг. ^{[ 5 ]} после работы с Альбертом Бетцем и Максом Мунком . В этой модели вихрь, связанный с крылом, развивается по всему размаху крыла, поскольку он сбрасывается как вихревая полоса с задней кромки, а не как одиночный вихрь с законцовок крыла. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Введение

Трудно аналитически предсказать общую подъемную силу, которую будет создавать крыло заданной геометрии. При анализе трехмерного конечного крыла традиционный подход разбивает крыло на поперечные сечения и анализирует каждое поперечное сечение независимо как крыло в двумерном мире. Каждый из этих фрагментов называется аэродинамическим профилем , и легче понять аэродинамический профиль, чем полное трехмерное крыло.

Можно было бы ожидать, что понимание полного крыла просто включает в себя сложение независимо рассчитанных сил от каждого сегмента аэродинамического профиля. Однако это приближение совершенно неверно: на реальном крыле подъемная сила каждой бесконечно малой секции крыла сильно зависит от потока воздуха, проходящего через соседние секции крыла. Теория подъемных линий исправляет некоторые ошибки в наивном двумерном подходе, включая некоторые взаимодействия между срезами крыла.

Нереалистичное распределение подъемной силы, пренебрегающее трехмерными эффектами.
Наблюдаемое распределение подъемной силы на (конечном) трапециевидном крыле

Принцип и вывод

крылья Теория подъемной линии предполагает длинные и тонкие с незначительным фюзеляжем , похожим на тонкий стержень (одноименную «подъемную линию») размахом $2 с,$ проходящий через жидкость. Согласно теореме Кутты-Жуковского , подъемная сила $L (y)$ на двумерном сегменте крыла на расстоянии $y$ от фюзеляжа пропорциональна циркуляции $Γ(y)$ вокруг стержня в точке $y$ . Когда самолет неподвижен на земле, все эти циркуляции равны, но когда самолет находится в движении, они изменяются в зависимости от $y$ . По теоремам Гельмгольца возникновение пространственно-переменной циркуляции должно соответствовать сбросу вихревой нити равной силы вниз по течению от крыла . ^{[ 8 ]}

Распределение подъемной силы по крылу можно смоделировать с помощью концепции циркуляции.
Вихрь возникает вниз по потоку при каждом изменении подъемной силы по размаху.

В теории подъемной линии предполагается, что образующаяся вихревая линия остается привязанной к крылу , так что она изменяет эффективный вертикальный угол набегающего потока воздуха.

Сбрасывающий вихрь можно смоделировать как вертикальное распределение скорости.
Восходящий и нисходящий потоки, вызванные сбрасывающим вихрем, можно рассчитать в каждом соседнем сегменте.

Вертикальное движение, вызванное вихревой линией силой $γ$ в воздухе на расстоянии $r$ , равно $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}γ ⁄ 4π r$ , так что вся вихревая система вызывает вертикальное движение набегающего потока в $y$ положении $w(y)=\int _{-s}^{s}{\frac {d\Gamma ({\tilde {y}})}{4\pi (y-{\tilde {y}})}},$ где интеграл понимается в смысле главного значения Коши . Этот поток изменяет эффективный угол атаки в точке $y$ ; если реакция циркуляции аэродинамических профилей, составляющих крыло, понята в диапазоне углов атаки, то можно разработать интегральное уравнение для определения $Γ(y)$ . ^{[ 9 ]}

Формально существует некоторый угол ориентации, при котором профиль в положении $y$ не развивает подъемной силы. Для воздушных потоков со скоростью $V,$ ориентированных под углом $α$ относительно угла неподъемной силы, профиль будет развивать некоторую циркуляцию $V \cdot C (y,α)$ ; для малых $α$ аппроксимирует расширение Тейлора эту циркуляцию как $V \cdot \partial C ⁄ \partialα (y,0)\cdotα$ . Если профиль идеален и имеет хорду $c (y)$ , то теория предсказывает, что $C(y,\alpha )=2\pi c(y)\sin(\alpha ){\text{,}}$ но настоящие аэродинамические профили могут быть менее эффективными. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Предположим, что набегающий поток атакует профиль в положении $y$ под углом $α(y)$ (относительно угла неподъемной силы для профиля в положении $y$ - таким образом, равномерный поток через крыло все еще может иметь изменяющееся $α(y)$ ). В приближении малых углов эффективный угол атаки $y$ объединенной системы набегающего потока и вихря равен $α(y)+ ш (у) ⁄ V$ . Объединив приведенные выше формулы,

{\begin{aligned}\Gamma (y)&=V\cdot {\frac {\partial C}{\partial \alpha }}(y,0)\left(\alpha (y)+{\frac {w(y)}{V}}\right)\\&=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

( 1 )

Все величины в этом уравнении, кроме $и$ Γ $,$ являются геометрическими свойствами крыла, поэтому инженер может (в принципе) найти $Γ(y)$ при фиксированном $V.$ V Как и при выводе теории тонкого профиля , общий подход состоит в том, чтобы разложить $Γ$ в ряд Фурье вдоль крыла, а затем сохранить только первые несколько членов. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Когда известны скорость $V$ , циркуляция $Γ$ и плотность жидкости $ρ$ , предполагается, что подъемная сила, создаваемая крылом, равна чистой подъемной силе, создаваемой каждым профилем с заданной циркуляцией... $L=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\,dy}$ ...и сопротивление также является общим по всем профилям: $D=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\alpha (y)\,dy}{\text{.}}$ Из этих величин и соотношения сторон $A‍R$ . можно получить коэффициент эффективности пролета $e={\frac {1}{\pi \mathrm {A\!R} }}\cdot {\frac {L^{2}}{\rho VD}}$ может быть вычислено. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 11 ]}

Эффекты управляющих входов

Отклонение управляющей поверхности изменяет форму каждого среза аэродинамического профиля, что может привести к разным углам неподъемной силы для этого профиля, а также к разной реакции угла атаки. Они не требуют существенной модификации теории, достаточно лишь изменить $\partialαC и y (y 0)$ , $α() в$ ( 1 ). Однако тело с быстро движущимися крыльями, такое как катящийся самолет или машущая птица, испытывает вертикальный поток через крыло из-за изменения ориентации крыла, что представляется недостающим термином в теории.

Катящиеся крылья

Когда самолет катится по $со скоростью p$ фюзеляжу ( со знаком , профиль в положении $y$ ) испытывает вертикальный поток воздуха со скоростью $py$ , что соответственно добавляет $py ⁄ V$ к эффективному углу атаки. Таким образом ( 1 ) становится: $\Gamma (y)=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+py+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{,}}$ что соответственно изменяет как подъемную силу, так и индуцированное сопротивление. ^{[ 17 ]} Эта «сила сопротивления» составляет основную часть тяги для взмахов крыльев. ^{[ 17 ]}

Эллиптические крылья

Эффективность теоретически оптимизирована $e$ для эллиптического крыла без крутки, в котором ${\begin{aligned}y&=s\cos \theta \\c(y)&=\mathrm {A\!R} \,s\sin \theta {\text{,}}\end{aligned}}$ где $θ$ — альтернативная параметризация станции вдоль крыла. Для такого крыла $e=1{\text{,}}$ что дает уравнение для коэффициента эллиптического индуцированного сопротивления: $C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}$ в зависимости от положения Согласно теории подъемной линии, крыло любой формы в плане может достичь одинаковой эффективности за счет поворота (увеличения шага ) относительно фюзеляжа. ^{[ 14 ]}

Полезные приближения

Полезное приближение для трехмерного коэффициента подъемной силы для эллиптического распределения циркуляции. ^{[ нужна ссылка ]} является $\ C_{L}=\partial _{\alpha }C(0,0)\left(1+{\frac {2}{\mathrm {A\!R} }}\right)^{-1}\alpha$ Обратите внимание, что это уравнение становится уравнением тонкого профиля , если AR стремится к бесконечности. ^{[ 18 ]}^{[ не удалось пройти проверку ]}

Ограничения

Теория подъемной линии не учитывает сжатие воздуха крыльями, вязкое течение фюзеляжа в пограничном слое или формы крыльев, отличные от длинных, прямых и тонких, например, стреловидные или с малым удлинением . Теория также предполагает, что поток вокруг крыльев находится в равновесии и не касается тел, которые быстро ускоряются относительно набегающего воздуха.

См. также

Примечания

^ Андерсон, Джон Д. (2001), Основы аэродинамики , стр. 360. МакГроу-Хилл, Бостон. ISBN 0-07-237335-0 .
^ Хоутон, Эл.; Карпентер, PW (2003). Баттерворт Хейнманн (ред.). Аэродинамика для студентов-инженеров (5-е изд.). ISBN 0-7506-5111-3 .
^ фон Карман, Теодор (2004) [1954]. Аэродинамика: избранные темы в свете их исторического развития . Дувр. ISBN 0-486-43485-0 .
^ Ланчестер, Фредерик В. (1907). Констебль (ред.). Аэродинамика .
^ Прандтль, Людвиг (1918). Королевское общество наук в Геттингене (ред.). Теория аэродинамического профиля .
^ Эбботт, Ира Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.4.
^ Клэнси, LJ, Аэродинамика , Раздел 8.11.
^ Бэтчелор, Г.К. (1993) [1967]. Введение в гидродинамику (3-е индийское переиздание). Нью-Дели: Издательство Кембриджского университета (опубликовано в 2014 г.). стр. 580–585. ISBN 978-81-85618-24-1 .
^ Бэтчелор 1993 , с. 585-586.
^ Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Оксфордский факультет прикладной математики и информатики. Оксфорд: Clarendon Press (опубликовано в 2009 г.). стр. 134–136, 138.
^ Перейти обратно: ^а ^б Олд, Дуглас; Шринивас (1995). «Теория 3-D подъемных линий» . Аэродинамика для студентов . Университет Сиднея.
^ Бэтчелор 1993 , с. 586-587.
^ Филлипс, Уоррен; Элли, Николас; Гудрич, Уэйн (23 июня 2003 г.), «Анализ подъемной линии управления креном и переменным кручением» , 21-я конференция AIAA по прикладной аэродинамике , гидродинамика и совмещенные конференции, Американский институт аэронавтики и астронавтики, номер документа : 10.2514/6.2003 -4061 , ISBN 978-1-62410-092-5 , получено 2 декабря 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Филлипс, WF (1 января 2004 г.). «Анализ подъемной линии для скрученных крыльев и крыльев, оптимизированных для вымывания» . Журнал самолетов . 41 (1): 128–136. дои : 10.2514/1.262 .
^ Эбботт, Айра Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.3
^ Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Уравнение 5.7.
^ Перейти обратно: ^а ^б Филлипс, ВФ (28 февраля 2014 г.). «Аналитическое разложение крена и взмахов крыльев с использованием теории подъемной линии» . Журнал самолетов . 51 (3): 761–778. дои : 10.2514/1.C032399 .
^ Скотт, Джефф (10 августа 2003 г.). «Вопрос № 136: Коэффициент подъемной силы и теория тонкого профиля» . Спросите ученого-ракетчика: Аэродинамика. Aerospaceweb.org.

Ссылки

Л. Дж. Клэнси (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон. ISBN 0-273-01120-0
Эбботт, Ира Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э. (1959), Теория секций крыла , Dover Publications Inc., Нью-Йорк. Стандартный номер книги 486-60586-8

[Anderson-1] Андерсон, Джон Д. (2001), Основы аэродинамики , стр. 360. МакГроу-Хилл, Бостон. ISBN 0-07-237335-0 .

[A4ES-2] Хоутон, Эл.; Карпентер, PW (2003). Баттерворт Хейнманн (ред.). Аэродинамика для студентов-инженеров (5-е изд.). ISBN 0-7506-5111-3 .

[KarmanHist-3] фон Карман, Теодор (2004) [1954]. Аэродинамика: избранные темы в свете их исторического развития . Дувр. ISBN 0-486-43485-0 .

[Lanc07-4] Ланчестер, Фредерик В. (1907). Констебль (ред.). Аэродинамика .

[Prandtl18-5] Прандтль, Людвиг (1918). Королевское общество наук в Геттингене (ред.). Теория аэродинамического профиля .

[6] Эбботт, Ира Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.4.

[7] Клэнси, LJ, Аэродинамика , Раздел 8.11.

[8] Бэтчелор, Г.К. (1993) [1967]. Введение в гидродинамику (3-е индийское переиздание). Нью-Дели: Издательство Кембриджского университета (опубликовано в 2014 г.). стр. 580–585. ISBN 978-81-85618-24-1 .

[FOOTNOTEBatchelor1993585-586-9] Бэтчелор 1993 , с. 585-586.

[Acheson-10] Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Оксфордский факультет прикладной математики и информатики. Оксфорд: Clarendon Press (опубликовано в 2009 г.). стр. 134–136, 138.

[A4S-11] Перейти обратно: ^а ^б Олд, Дуглас; Шринивас (1995). «Теория 3-D подъемных линий» . Аэродинамика для студентов . Университет Сиднея.

[FOOTNOTEBatchelor1993586-587-12] Бэтчелор 1993 , с. 586-587.

[RollTwist-13] Филлипс, Уоррен; Элли, Николас; Гудрич, Уэйн (23 июня 2003 г.), «Анализ подъемной линии управления креном и переменным кручением» , 21-я конференция AIAA по прикладной аэродинамике , гидродинамика и совмещенные конференции, Американский институт аэронавтики и астронавтики, номер документа : 10.2514/6.2003 -4061 , ISBN 978-1-62410-092-5 , получено 2 декабря 2020 г.

[TwistSep-14] Перейти обратно: ^а ^б Филлипс, WF (1 января 2004 г.). «Анализ подъемной линии для скрученных крыльев и крыльев, оптимизированных для вымывания» . Журнал самолетов . 41 (1): 128–136. дои : 10.2514/1.262 .

[15] Эбботт, Айра Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.3

[16] Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Уравнение 5.7.

[Flapping-17] Перейти обратно: ^а ^б Филлипс, ВФ (28 февраля 2014 г.). «Аналитическое разложение крена и взмахов крыльев с использованием теории подъемной линии» . Журнал самолетов . 51 (3): 761–778. дои : 10.2514/1.C032399 .

[AW136-18] Скотт, Джефф (10 августа 2003 г.). «Вопрос № 136: Коэффициент подъемной силы и теория тонкого профиля» . Спросите ученого-ракетчика: Аэродинамика. Aerospaceweb.org.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]