Эффект квантового бумеранга

Эффект квантового бумеранга — это квантовомеханическое явление, при котором волновые пакеты , прошедшие через неупорядоченную среду, в среднем возвращаются в свои исходные точки вследствие локализации Андерсона и внутренней симметрии системы. На ранних этапах начальная асимметрия четности ненулевого импульса приводит к асимметричному поведению: ненулевому смещению волновых пакетов от их начала. На больших промежутках времени присущая ему симметрия обращения времени и ограничивающие эффекты локализации Андерсона приводят к соответственно симметричному поведению: как нулевая конечная скорость , так и нулевое конечное смещение.

История

В 1958 году Филип В. Андерсон представил одноименную модель неупорядоченных решеток , которая демонстрирует локализацию, то есть ограничение распределения вероятностей электронов в пределах некоторого небольшого объема. Другими словами, если волновой пакет бросить в неупорядоченную среду, он сначала распространится, но затем приблизится к некоторому максимальному расстоянию. В макроскопическом масштабе транспортные свойства решетки снижаются в результате локализации, превращая то, что могло быть проводником, в изолятор . Современные модели конденсированного состояния продолжают изучать беспорядок как важную особенность реальных, несовершенных материалов.

В 2019 году теоретики рассмотрели поведение волнового пакета, который не просто упал, но и активно запускался через неупорядоченную среду с некоторым начальным ненулевым импульсом волнового пакета , предсказывая, что центр масс будет асимптотически возвращаться в начало координат на длительном времени — эффект квантового бумеранга. Вскоре после этого эксперименты по квантовому моделированию в условиях холодного атома подтвердили это предсказание. моделируя квантовый ударный ротор , модель, которая соответствует модели Андерсона неупорядоченных решеток.

Описание

Траектория центра масс квантового волнового пакета в неупорядоченной среде с некоторым начальным импульсом. Классический волновой пакет, подчиняющийся уравнению Больцмана, локализуется на конце своей длины свободного пробега. $\ell$, но квантовый волновой пакет возвращается в начало координат и локализуется в нем. Бесконечный предел аппроксимирующего фактора Паде аппроксимируется формулой $R_{[5/5]}$ для целей этого рисунка.

Рассмотрим волновой пакет $\Psi (x,t)\propto \exp \left[-x^{2}/(2\sigma )^{2}+ik_{0}x\right]$ с начальным импульсом $\hbar k_{0}$ который развивается в общем гамильтониане гауссовой некоррелированной неупорядоченной среды:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}),$

где ${\overline {V(x)}}=0$ и ${\overline {V(x)V(x')}}=\gamma \delta (x-x')$, а обозначение над чертой указывает среднее значение по всем возможным реализациям беспорядка.

Классическое уравнение Больцмана предсказывает, что этот волновой пакет должен замедлиться и локализоваться в какой-то новой точке, а именно, в конечной точке его средней длины свободного пробега. Однако при учете квантовомеханических эффектов локализации и симметрии обращения времени (или какой-либо другой унитарной или антиунитарной симметрии ), распределение плотности вероятности $|\Psi ^{2}|$ демонстрирует недиагональные осциллирующие элементы в расширении собственного базиса , которые затухают в течение длительного времени, оставляя после себя только диагональные элементы, независимые от знака начального импульса. Поскольку направление запуска на длительных временах не имеет значения, волновой пакет должен вернуться в начало координат.

Тот же аргумент деструктивной интерференции , который использовался для оправдания локализации Андерсона, применим и к квантовому бумерангу. Теорема Эренфеста утверждает, что дисперсия ( т.е. разброс) волнового пакета развивается следующим образом:

$\partial _{t}\langle {\hat {x}}^{2}\rangle ={\frac {1}{2i\hbar m}}\left\langle \left[{\hat {x}}^{2},{\hat {p}}^{2}\right]\right\rangle =-{\frac {1}{2m}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\right)\approx 2v_{0}\langle {\hat {x}}\rangle _{+}-2v_{0}\langle {\hat {x}}\rangle _{-},$

где использование функции Вигнера позволяет окончательно аппроксимировать распределение частиц на две популяции $n_{\pm }$ положительных и отрицательных скоростей, с обозначением центров масс

$\langle x\rangle _{\pm }\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }xn_{\pm }(x,t)\mathrm {d} x.$

Путь, способствующий $\langle {\hat {x}}\rangle _{-}$ в какой-то момент должен иметь отрицательный импульс $-\hbar k_{0}$ по определению; поскольку каждая часть волнового пакета возникла с одним и тем же положительным импульсом $\hbar k_{0}$ поведение, это путь от истока к $x$ и с начального $\hbar k_{0}$ импульс к финалу $-\hbar k_{0}$ импульс можно повернуть во времени и преобразовать, чтобы создать другой путь от $x$ обратно в начало координат с тем же начальным и конечным импульсами. Этот второй, обращенный во времени путь имеет одинаковый вес при расчете $n_{-}(x,t)$ и в конечном итоге приводит к $\langle {\hat {x}}\rangle _{-}=0$. Та же логика не применима к $\langle {\hat {x}}\rangle _{+}$ потому что в состоянии импульса нет начальной популяции $-\hbar k_{0}$. Таким образом, дисперсия волнового пакета имеет только первый член:

$\partial _{t}\langle {\hat {x}}^{2}\rangle =2v_{0}\langle {\hat {x}}\rangle .$

Это приводит к долговременному поведению

$\langle {\hat {x}}(t)\rangle =64\ell \left({\frac {\tau }{t}}\right)^{2}\log \left(1+{\frac {t}{\tau }}\right),$

где $\ell$ и $\tau$ рассеяния – средняя длина свободного пробега и среднее свободное время рассеяния соответственно. Точную форму бумеранга можно аппроксимировать с помощью диагональных аппроксимаций Паде. $R_{[n/n]}$ извлечено из разложения в ряд, полученного с помощью диаграммной техники Березинского .