Границы Либа – Робинсона

Граница Либа-Робинсона представляет собой теоретический верхний предел скорости распространения информации в нерелятивистских квантовых системах . Это показывает, что в квантовой теории информация не может распространяться мгновенно, даже если относительности пределы скорости света игнорировать . Существование такой конечной скорости было математически обнаружено Эллиотом Х. Либом и Дереком В. Робинсоном в 1972 году. Это превращает свойства локальности физических систем в существование и верхнюю границу этой скорости. Граница теперь известна как граница Либа – Робинсона, а скорость известна как скорость Либа – Робинсона. Эта скорость всегда конечна, но не универсальна и зависит от деталей рассматриваемой системы. Для взаимодействий на конечном расстоянии, например, с ближайшим соседом, эта скорость является константой, не зависящей от пройденного расстояния. В системах, взаимодействующих на больших расстояниях, эта скорость остается конечной, но может увеличиваться с увеличением пройденного расстояния.

При изучении квантовых систем, таких как квантовая оптика , квантовая теория информации , атомная физика и физика конденсированного состояния , важно знать, что существует конечная скорость, с которой информация может распространяться. Теория относительности показывает, что никакая информация или что-либо еще в этом отношении не может перемещаться быстрее скорости света. Однако когда рассматривалась нерелятивистская механика ( Ньютона уравнения движения или уравнения квантовой механики Шредингера ), считалось, что тогда не существует ограничений на скорость распространения информации. Это не так для некоторых видов квантовых систем атомов, расположенных в решетке, часто называемых квантовыми спиновыми системами. Это важно концептуально и практически, поскольку означает, что в течение коротких периодов времени удаленные части системы действуют независимо.

Одним из практических применений границ Либа–Робинсона являются квантовые вычисления . Текущие предложения по созданию квантовых компьютеров, состоящих из элементов, подобных атомам, в основном полагаются на существование этой конечной скорости распространения для защиты от слишком быстрого распространения информации.

Настраивать

Чтобы определить границу, необходимо сначала описать основные факты о квантово-механических системах, состоящих из нескольких единиц, каждая из которых имеет конечномерное гильбертово пространство .

Границы Либа–Робинсона рассматриваются на $\nu$-мерная решетка ( $\nu =1,2$ или $3$) $\Gamma$, например, квадратная решетка $\Gamma =\mathbb {Z} ^{2}$.

Гильбертово пространство состояний ${\mathcal {H}}_{x}$ связан с каждой точкой $x\in \Gamma$. Размерность этого пространства конечна, но в 2008 году она была обобщена и теперь включает бесконечные измерения (см. ниже). Это называется квантовой спиновой системой .

Для каждого конечного подмножества решетки $X\subset \Gamma$, ассоциированное гильбертово пространство задается тензорным произведением

${\mathcal {H}}_{X}=\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{x}$.

Наблюдаемый ​ $A$ поддерживается (т. е. зависит только от) конечного множества $X\subset \Gamma$ — линейный оператор в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{X}$.

Когда ${\mathcal {H}}_{x}$ конечномерен, выберите конечный базис операторов, охватывающий множество линейных операторов на ${\mathcal {H}}_{x}$. Тогда любая наблюдаемая на ${\mathcal {H}}_{x}$ можно записать в виде суммы базисных операторов на ${\mathcal {H}}_{x}$.

Гамильтониан системы описывается взаимодействием $\Phi (\cdot )$. Взаимодействие является функцией из конечных множеств $X\subset \Gamma$ к самосопряженным наблюдаемым $\Phi (X)$ поддерживается в $X$. Предполагается, что взаимодействие имеет конечный диапазон (это означает, что $\Phi (X)=0$ если размер $X$ превышает определенный заданный размер) и инвариант перевода . Позднее эти требования были отменены.

Хотя обычно предполагается трансляционная инвариантность, в этом нет необходимости. Достаточно предположить, что взаимодействие ограничено сверху и снизу в своей области определения. Таким образом,граница достаточно робастна в том смысле, что она устойчива к изменениям гамильтониана. Однако конечный диапазон имеет важное значение. Говорят, что взаимодействие имеет конечный диапазон, если существует конечное число $R$ такой, что для любого набора $X$ диаметром более $R$ взаимодействие равно нулю, т.е. $\Phi (X)=0$. Опять же, это требование было отменено позже.

Гамильтониан системы с взаимодействием $\Phi$ формально определяется:

$H_{\Phi }=\sum _{X\subset \Gamma }\Phi (X)$.

Законы квантовой механики гласят, что каждой физически наблюдаемой величине соответствует самосопряженный оператор. $A$.Для каждого наблюдаемого $A$ с конечным носителем гамильтониан определяет непрерывную однопараметрическую группу $\tau _{t}$преобразований наблюдаемых $\tau _{t}$данный

$A(t)=e^{itH_{\Phi }}Ae^{-itH_{\Phi }}.$

Здесь, $t$ имеет физический смысл времени.(С технической точки зрения, эта временная эволюция определяется разложением в степенной ряд, который, как известно, является сходящимся по норме рядом $A(t)=A+it[H,A]+{\frac {(it)^{2}}{2!}}[H,[H,A]]+\cdots$, видеть, Теорема 7.6.2, являющаяся адаптацией из. Более точные подробности можно найти в . )

Рассматриваемая оценка была доказана в и имеет следующий вид: Для любых наблюдаемых $A$ и $B$ с конечными носителями $X\subset \Gamma$ и $Y\subset \Gamma$соответственно и для любого времени $t\in \mathbb {R}$ следующее справедливо для некоторых положительных констант $a,c$ и $v$:

$\|\,[A(t),B]\,\|\leq c\,\exp\{-a(d(X,Y)-v|t|)\},$ ( 1 )

где $d(X,Y)$ обозначает расстояние между множествами $X$ и $Y$. Оператор $[A,B]=AB-BA$ называется коммутатором операторов $A$ и $B$, а символ $\|O\|$ обозначает норму или размер оператора $O$. Очень важно отметить, что эта граница не имеет ничего общего с состоянием квантовой системы, а зависит только от гамильтонинана, управляющего динамикой. Как только эта граница оператора установлена, она обязательно переносится на любое состояние системы.

Положительная константа $c$ зависит от норм наблюдаемых $A$ и $B$, размеры опор $X$ и $Y$, взаимодействие, решетчатая структура и размерность гильбертова пространства ${\mathcal {H}}_{x}$. Положительная константа $v$ зависит только от взаимодействия и структуры решетки. Число $a>0$можно выбрать по желанию при условии $d(X,Y)/v|t|$ выбирается достаточно большим. Другими словами, чем дальше мы продвигаемся по световому конусу, тем $d(X,Y)-v|t|$, тем резче скорость экспоненциального затухания.(В более поздних работах авторы склонны считать $a$ как фиксированная константа.) Константа $v$ называется групповой скоростью или скоростью Либа – Робинсона .

Оценка ( 1 ) представлена ​​немного иначе, чем уравнение в оригинальной статье, которое вывело зависящие от скорости скорости затухания вдоль лучей пространства-времени со скоростью, большей, чем $v_{LR}$. Эту более явную форму ( 1 ) можно увидеть из доказательства оценки

Оценка Либа – Робинсона показывает, что для раз $|t|<d(X,Y)/v$ норма в правой части экспоненциально мала. Это экспоненциально малая ошибка, упомянутая выше.

Причиной рассмотрения коммутатора в левой части границ Либа–Робинсона является следующее:

Коммутатор между наблюдаемыми $A$ и $B$ равна нулю, если их носители не пересекаются.

Обратное также верно: если наблюдаемо $A$ таков, что его коммутатор с любым наблюдаемым $B$ поддерживается за пределами некоторого набора $X$ равно нулю, то $A$ имеет поддержку внутри набора $X$.

Это утверждение приблизительно верно и в следующем смысле: предположим, что существует некоторый $\epsilon >0$ такой, что $\|[A,B]\|\leq \epsilon \|B\|$ для некоторого наблюдаемого $A$ и любые наблюдаемые $B$ который поддерживается вне набора $X$. Тогда существует наблюдаемая $A(\epsilon )$ с поддержкой внутри комплекта $X$ что аппроксимирует наблюдаемую $A$, то есть $\|A-A(\epsilon )\|\leq \epsilon$.

Таким образом, границы Либа – Робинсона говорят, что временная эволюция наблюдаемой $A$ с поддержкой в ​​комплекте $X$ поддерживается (с точностью до экспоненциально малых ошибок) в $\delta$- окрестности множества $X$, где $\delta <v|t|$ с $v$ – скорость Либа – Робинсона. Вне этого множества влияние $A$. Другими словами, эти границы утверждают, что скорость распространения возмущений в квантовых спиновых системах ограничена.

Улучшения

В Робинсон обобщил оценку ( 1 ), рассматривая экспоненциально затухающие взаимодействия (которые не обязательно должны быть трансляционно-инвариантными), т. е. такие, для которых сила взаимодействия экспоненциально затухает с диаметром множества.Этот результат подробно обсуждается в Глава 6. Ограничения Либа–Робинсона не проявляли большого интереса до 2004 г., когда Гастингс применил их к теореме Либа – Шульца – Маттиса .Впоследствии Нахтергаэле и Симс продлил результаты включать модели на вершинах с метрикой и получать экспоненциальное затухание корреляций . С 2005 по 2006 год интерес к границам Либа – Робинсона усилился с появлением дополнительных приложений к экспоненциальному затуханию корреляций (см. и разделы ниже). Были разработаны новые доказательства оценок и, в частности, константа в ( 1 ) была улучшена, сделав ее независимой от размерности гильбертова пространства.

Несколько дальнейших улучшений константы $c$ в ( 1 ). В 2008 году граница Либа–Робинсона была распространена на случай, когда каждый $H_{x}$ является бесконечномерным. В было показано, что локальные неограниченные возмущения не меняют границу Либа – Робинсона. То есть на конечном подмножестве можно рассматривать гамильтонианы следующего вида $\Lambda \subset \Gamma$:

$H_{\Lambda }=\sum _{x\in \Lambda }H_{x}+\sum _{X\subset \Lambda }\Phi (X),$

где $H_{x}$ является самосопряженным оператором над ${\mathcal {H}}_{x}$, который не обязательно должен быть ограничен.

Гармонические и ангармонические гамильтонианы

Границы Либа–Робинсона были распространены на некоторые непрерывные квантовые системы, то есть на общий гармонический гамильтониан который в конечном объеме $\Gamma _{L}=(-L,L)^{d}\cap \mathbb {Z} ^{d},$, где $L,d$ являются целыми положительными числами, принимает вид:

$\sum _{x\in \Gamma _{L}}p_{x}^{2}+\omega ^{2}q_{x}^{2}+\sum _{x\in \Gamma _{L}}\sum _{j=1}^{\nu }\lambda _{j}(q_{x}-q_{x+e_{j}})^{2},$

где наложены периодические граничные условия и $\lambda _{j}\geq 0$, $\omega >0$. Здесь $\{e_{j}\}$ являются каноническими базисными векторами в $\mathbb {Z} ^{d}$.

Рассмотрены ангармонические гамильтонианы с локальными и многоузловыми возмущениями и для них получены границы Либа–Робинсона: Обсуждались дальнейшие обобщения гармонической решетки:

Необратимая динамика

Другое обобщение границ Либа – Робинсона было сделано на необратимую динамику:в этом случае динамика имеет гамильтонову часть, а также диссипативную часть. Диссипативная часть описывается в терминах формы Линдблада, так что динамика $\tau _{t}$ удовлетворяет главному уравнению Линдблада-Коссаковского .

Границы Либа–Робинсона для необратимой динамики были рассмотрены в классическом контексте и для класса квантовых решеточных систем с взаимодействиями конечного радиуса действия. Границы Либа – Робинсона для решетчатых моделей с динамикой, порожденной как гамильтоновыми, так и диссипативными взаимодействиями с достаточно быстрым затуханием в пространстве и которая может зависеть от времени, были доказаны следующим образом: где они также доказали существование бесконечной динамики как сильно непрерывного коцикла единицы, сохраняющего вполне положительные отображения.

Степенные взаимодействия

Границы Либа – Робинсона также были обобщены на взаимодействия, которые затухают по степенному закону, т.е. сила взаимодействия ограничена сверху выражением $1/r^{\alpha },$ где $r$ диаметр набора и $\alpha$ является положительной константой. Понимание того, сохраняется ли локальность для степенных взаимодействий, имеет серьезные последствия для таких систем, как захваченные ионы, ридберговские атомы, ультрахолодные атомы и молекулы.

В отличие от взаимодействующих систем с конечным радиусом действия, где информация может перемещаться только с постоянной скоростью, степенные взаимодействия позволяют информации перемещаться со скоростью, которая увеличивается с расстоянием. Таким образом, границы Либа – Робинсона для степенных взаимодействий обычно дают сублинейный световой конус, который асимптотически линейен в пределе $\alpha \rightarrow \infty .$ Недавний анализ использование алгоритма квантового моделирования подразумевало световой конус $t\gtrsim r^{(\alpha -2D)(\alpha -D)}$, где $D$ это размерность системы. Уменьшение светового конуса для степенных взаимодействий все еще остается активной областью исследований.

Некоторые приложения

Границы Либа – Робинсона используются во многих областях математической физики. Среди основных применений границы - границы погрешности алгоритмов квантового моделирования, существование термодинамического предела, экспоненциальное затухание корреляций и теорема Либа – Шульца – Маттиса.

Алгоритмы цифрового квантового моделирования

Целью цифрового квантового моделирования является моделирование динамики квантовой системы с использованием наименьшего количества элементарных квантовых вентилей. Для взаимодействующей системы ближайшего соседа с $n$ частицы, моделирующие ее динамику во времени $t$ использование формулы произведения Ли требует $O(n^{2}t^{2})$ сколько ворот В 2018 году Хаах и др. предложил почти оптимальный квантовый алгоритм, который использует только $O(nt\log(nt))$ квантовые ворота. Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать динамику системы динамикой ее подсистем, некоторые из которых пространственно разделены. Погрешность аппроксимации ограничена исходной границей Либа – Робинсона. Позже алгоритм обобщается на степенные взаимодействия и впоследствии используется для получения более сильной границы Либа – Робинсона.

Термодинамический предел динамики

Одним из важных свойств любой модели, предназначенной для описания свойств объемного вещества, является существование термодинамического предела. Это говорит о том, что внутренние свойства системы должны быть существенно независимыми от размера системы, который в любой экспериментальной установке конечен.

Статический термодинамический предел с точки зрения равновесия был установлен задолго до того, как была доказана граница Либа – Робинсона, см. например. чтобы установить существование термодинамического предела динамики В некоторых случаях можно использовать границу Либа–Робинсона , $\tau _{t}^{\Gamma }$, длябесконечная решетка $\Gamma$ как предел конечной динамики решетки. Предел обычно рассматривается по возрастающей последовательности конечных подмножеств. $\Lambda _{n}\subset \Gamma$, т.е. такой, что для $n<m$, имеется включение $\Lambda _{n}\subset \Lambda _{m}$. Чтобы доказать существование бесконечной динамики $\tau _{t}^{\Gamma }$ как сильно непрерывная однопараметрическая группа автоморфизмов, было доказано, что $\{\tau _{t}^{\Lambda _{n}}\}_{n}$ является последовательностью Коши и, следовательно, сходится. Отсюда из элементарных соображений следует существование термодинамического предела. Более подробное обсуждение термодинамического предела можно найти в раздел 6.2.

Робинсон был первым, кто показал существование термодинамического предела для экспоненциально затухающих взаимодействий. Позже Нахтергаэле и др. показал существование динамики бесконечного объема почти для каждого типа взаимодействия, описанного выше в разделе «Улучшение границ Либа – Робинсона».

Экспоненциальное затухание корреляций

Позволять $\langle A\rangle _{\Omega }$ обозначают математическое ожидание наблюдаемой $A$ в состоянии $\Omega$. Корреляционная функция между двумя наблюдаемыми $A$ и $B$ определяется как $\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }.$

Границы Либа – Робинсона используются, чтобы показать, что корреляции экспоненциально затухают с расстоянием для системы с энергетической щелью выше невырожденного основного состояния. $\Omega$, видеть. Другими словами, неравенство

$|\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }|\leq K\|A\|\|B\|\min(|X|,|Y|)\ e^{-a\,d(X,Y)},$

справедливо для наблюдаемых $A$ и $B$ с поддержкой в ​​наборах $X$ и $Y$ соответственно. Здесь $K$ и $a$ являются некоторыми константами.

Альтернативно государство $\Omega$ можно рассматривать как состояние продукта, и в этом случае корреляции затухают экспоненциально, не предполагая энергетической щели над основным состоянием.

Такой распад был давно известен для релятивистской динамики, но для ньютоновской динамики только предполагался. Границы Либа–Робинсона позволяют заменить релятивистскую симметрию локальными оценками гамильтониана.

Теорема Либа – Шульца – Маттиса

Из теоремы Либа-Шульца-Маттиса следует, что основное состояние антиферромагнетика Гейзенберга на двудольной решетке с изоморфными подрешетками невырождено, т. е. единственно, но щель может быть очень малой.

Для одномерных и квазиодномерных систем четной длины и с полуцелым спином Аффлека и Либа: обобщая исходный результат Либа, Шульца и Мэттиса, доказал, что разрыв $\gamma _{L}$ в спектре выше основное состояние ограничено сверху

$\gamma _{L}\leq c/L,$

где $L$ размер решетки и $c$ является константой. Было предпринято множество попыток распространить этот результат на более высокие измерения . $d>1$,

Граница Либа – Робинсона была использована Гастингсом. и Нахтергаэле-Симс в доказательстве теоремы Либа–Шульца–Мэттиса для случаев более высокой размерности.Была получена следующая оценка зазора:

$\gamma _{L}\leq c\log(L)/L.$.

Дискретизация континуума с помощью правил квадратур Гаусса

В 2015 году было показано, что граница Либа – Робинсона также может иметь приложения вне контекста локальных гамильтонианов, как мы сейчас объясним. Модель спин-бозона описывает динамику спина, связанного с континуумом осцилляторов. Он был изучен очень подробно и объясняет квантовые диссипативные эффекты в широком спектре квантовых систем. Позволять $H$ обозначаем гамильтониан модели спин-бозона с бозонной ванной континуума, а $H_{L}$ обозначают модель спин-бозона, ванна которой дискретизирована и включает в себя $L\in \mathbb {N} ^{+}$ гармонические генераторы с частотами, выбранными по квадратурным правилам Гаусса . Для всех наблюдаемых $A$ на спин-гамильтониане ошибка среднего значения $A$ индуцированная дискретизацией модели спин-бозона в соответствии с приведенной выше схемой дискретизации, ограничена

$|{\text{tr}}[e^{itH}Ae^{-itH}]-{\text{tr}}[e^{itH_{L}}Ae^{-itH_{L}}]|\leq c\,e^{-a(L-v|t|)},$ ()

где $c,a$ являются положительными константами и $v$ – скорость Либа–Робинсона, которая в данном случае прямо пропорциональна $\omega _{max}$, максимальная частота ванны в модели спин-бозона. Здесь количество дискретных мод $L$ играть роль расстояния $d(X,Y)$ упомянутое ниже уравнение. ( 1 ). Можно также ограничить ошибку, вызванную усечением локального пространства Фока гармонических осцилляторов

Эксперименты

Первое экспериментальное наблюдение скорости Либа – Робинсона было сделано Шено и др.