Критерий Переса – Городецкого

Критерий Переса – Городецкого является необходимым условием для совместной матрицы плотности. $\rho$ двух квантовомеханических систем $A$ и $B$, быть отделимым . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В размерных случаях 2×2 и 2×3 это условие также является достаточным. Он используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта не применяется. Теорема была открыта в 1996 году Ашером Пересом. и семья Городецких ( Михал , Павел и Рышард )

В более высоких измерениях тест не дает результатов, и его следует дополнить более продвинутыми тестами, например, основанными на свидетелях запутанности .

Определение

Если у нас есть общее состояние $\rho$ который действует в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$

$\rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$

Его частичное транспонирование (по отношению к партии B) определяется как

$\rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|$

Обратите внимание, что партиал в названии подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее, $(I\otimes T)(\rho )$ идентичности — это карта , применяемая к стороне A, и карта транспозиции, применяемая к стороне B.

Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:

$\rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}$

Где $n=\dim {\mathcal {H}}_{A}$, а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности $m=\dim {\mathcal {H}}_{B}$. Тогда частичное транспонирование

$\rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}$

Критерий гласит, что если $\rho \;\!$ сепарабельна, то все собственные значения $\rho ^{T_{B}}$ неотрицательны. Другими словами, если $\rho ^{T_{B}}$ имеет отрицательное собственное значение, $\rho \;\!$ гарантированно запутается . Обратное утверждение этих утверждений верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна $2\times 2$ или $2\times 3$.

Результат не зависит от транспонированной партии, поскольку $\rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}$.

Пример

Рассмотрим это двухкубитное семейство состояний Вернера :

$\rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}$

Его можно рассматривать как выпуклую комбинацию $|\Psi ^{-}\rangle$, максимально запутанное состояние , и элемент идентичности — максимально смешанное состояние .

Его матрица плотности

$\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

и частичное транспонирование

$\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}$

Его наименьшее собственное значение равно $(1-3p)/4$. Таким образом, государство запуталось в $1\geq p>1/3$.

Демонстрация

Если ρ сепарабельно, его можно записать как

$\rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}$

В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:

$\rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}$

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр $(\rho _{i}^{B})^{T}$ совпадает со спектром $\rho _{i}^{B}\;\!$, и в частности $(\rho _{i}^{B})^{T}$ все равно должно быть положительно полуопределенным. Таким образом $\rho ^{T_{B}}$ также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.

Доказать, что PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3), является более сложной задачей. Городецкими было показано, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы, основанный на теореме Хана – Банаха (см. ссылку ниже).

Судя по существованию свидетелей запутывания, можно показать, что $I\otimes \Lambda (\rho )$ положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием отделимости ρ, где Λ отображает $B({\mathcal {H}}_{B})$ к $B({\mathcal {H}}_{A})$

Более того, каждая положительная карта из $B({\mathcal {H}}_{B})$ к $B({\mathcal {H}}_{A})$ можно разложить в сумму вполне положительных и вполне копозитивных отображений, когда ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2$ и ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3$. Другими словами, каждое такое отображение Λ можно записать в виде

$\Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,$

где $\Lambda _{1}$ и $\Lambda _{2}$ полностью положительны, а T — отображение транспонирования. Это следует из теоремы Штормера-Вороновича.

Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Итак, если $\rho ^{T_{B}}$ является положительным, $I\otimes \Lambda (\rho )$ положительна для любого Λ. Таким образом, мы приходим к выводу, что критерий Переса–Городецкого достаточен и для разделимости, когда ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6$.

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые невозможно разложить таким образом, и этого критерия уже недостаточно. Следовательно, существуют запутанные состояния, которые имеют положительную частичную транспозицию. Такие состояния обладают интересным свойством: они связаны запутанно , то есть их невозможно очистить для целей квантовой связи .

Системы непрерывного регулирования

Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Раджия Саймон сформулировал частный вариант критерия ППТ в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для $1\oplus 1$-модальные гауссовы состояния (см. для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позже было найдено что условие Саймона также необходимо и достаточно для $1\oplus n$-модные гауссовы состояния, но уже недостаточны для $2\oplus 2$-режимные гауссовы состояния. Условие Саймона можно обобщить, приняв во внимание моменты высших порядков канонических операторов. или с помощью энтропийных мер.

Симметричные системы

Для симметричных состояний двучастных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

$\rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,$

держится, где $F_{AB}$ является ли оператор переворота или обмена, обменивающий две стороны $A$ и $B$. Полный базис симметричного подпространства имеет вид $(\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}$ с $m\neq n$ и $\vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.$ Здесь для $n$ и $m,$ $0\leq n,m\leq d-1$ должен удерживаться, где $d$ это размерность двух сторон.

Можно показать, что для таких состояний $\rho$ имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда

$\langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0$

актуально для всех операторов $M.$ Следовательно, если $\langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0$ держится для некоторых $M$ тогда государство обладает запутанностью , отличной от PPT .

Ссылки

• Кароль Жичковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2006 г.
• Воронович, С.Л. (1976). «Позитивные отображения матричных алгебр малой размерности». Представитель Матем. Физ . 10 (2): 165–183. Бибкод : 1976RpMP...10..165W . дои : 10.1016/0034-4877(76)90038-0 .