Автоморфная функция

В математике автоморфная функция — это функция в пространстве, инвариантная относительно действия некоторой группы , другими словами, функция в факторпространстве . Часто пространство представляет собой комплексное многообразие , а группа — дискретную группу .

Фактор автоморфии

В математике понятие фактора автоморфии возникает для группы, действующей на комплексно-аналитическом многообразии . Предположим, группа $G$ действует на комплексно-аналитическом многообразии $X$. Затем, $G$ действует также в пространстве голоморфных функций из $X$ к комплексным числам. Функция $f$ называется автоморфной формой, если выполняется следующее:

$f(g.x)=j_{g}(x)f(x)$

где $j_{g}(x)$ — всюду ненулевая голоморфная функция. Эквивалентно, автоморфная форма — это функция, делитель которой инвариантен относительно действия $G$.

Коэффициент автоморфности для автоморфной формы $f$ это функция $j$. Автоморфная функция — это автоморфная форма, для которой $j$ это личность.

Некоторые факты о факторах автоморфии:

• Каждый фактор автоморфии является коциклом действия $G$ на мультипликативной группе всюду ненулевых голоморфных функций.
• Фактор автоморфии является кограницей тогда и только тогда, когда он возникает из всюду ненулевой автоморфной формы.
• Для данного фактора автоморфии пространство автоморфных форм является векторным пространством.
• Поточечное произведение двух автоморфных форм — это автоморфная форма, соответствующая произведению соответствующих факторов автоморфности.

Связь факторов автоморфии с другими понятиями:

• Позволять $\Gamma$ быть решеткой в ​​группе Ли $G$. Тогда фактор автоморфии для $\Gamma$ соответствует линейному расслоению на факторгруппе $G/\Gamma$. Далее, автоморфные формы для данного фактора автоморфности соответствуют сечениям соответствующего линейного расслоения.

Конкретный случай $\Gamma$ подгруппа группы SL (2, R ), действующая на верхней полуплоскости , рассматривается в статье об автоморфных факторах .

Примеры

• Кляйнианская группа
• Эллиптическая модульная функция
• Модульная функция
• Комплексный тор

Ссылки

• А. Н. Паршин (2001) [1994], «Автоморфная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Андрианов А.Н.; Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Автоморфная функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Форд, Лестер Р. (1929), Автоморфные функции , Нью-Йорк, МакГроу-Хилл, ISBN  978-0-8218-3741-2 , ЯФМ   55.0810.04
• Фрике, Роберт ; Кляйн, Феликс (1897), Лекции по теории автоморфных функций. Первый том; Теоретико-групповые основы. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN  978-1-4297-0551-6 , ЯФМ   28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Лекции по теории автоморфных функций. Второй том: Объяснения и приложения функциональной теории. 1. Доставка: более узкая теория автоморфных функций. (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер., ISBN  978-1-4297-0552-3 , ЯФМ   32.0430.01