Уильям Гольдман (математик)

Уильям Голдман
Уильям Голдман в Университете Бар-Илан в 2008 году.
Рожденный	( 1955-11-17 ) 17 ноября 1955 г. Канзас-Сити , США
Альма-матер	Принстонский университет Калифорнийский университет, Беркли
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Мэриленда-Колледж-Парк
Докторские консультанты	Моррис Хирш Уильям Терстон

Уильям Марк Голдман (родился в 1955 году в Канзас-Сити , штат Миссури ) — профессор математики в Университете Мэриленда, Колледж-Парк (с 1986 года). Он получил степень бакалавра математики в Принстонском университете в 1977 году и степень доктора философии. Степень бакалавра математики в Калифорнийском университете в Беркли в 1980 году.

Вклад в исследования

Гольдман исследовал геометрические структуры в различных воплощениях на многообразиях со времени своей дипломной работы « Аффинные многообразия и проективная геометрия на многообразиях», которой руководили Уильям Терстон и Деннис Салливан . Эта работа привела к работе с Моррисом Хиршем и Дэвидом Фридом над аффинными структурами на многообразиях, а также к работе над реальными проективными структурами на компактных поверхностях . В частности, он доказал, что пространство выпуклых вещественных проективных структур на замкнутой ориентируемой поверхности рода $g>1$ гомеоморфна размерности открытой ячейке $16g-16$. Вместе с Сухён Чой он доказал, что это пространство является связным компонентом («компонент Хитчина») пространства классов эквивалентности представлений фундаментальной группы в ${\rm {SL}}(3,\mathbb {R} )$. Объединение этого результата с теоремой Сухёна Чоя о выпуклом разложении привело к полной классификации выпуклых вещественных проективных структур на компактных поверхностях.

Его докторская диссертация «Разрывные группы и класс Эйлера» (под руководством Морриса В. Хирша ) характеризует дискретные вложения поверхностных групп в ${\rm {PSL}}(3,\mathbb {R} )$ в терминах максимального класса Эйлера , что доказывает обратное неравенству Милнора – Вуда для плоских расслоений. Вскоре после этого он показал, что пространство представлений фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода $g>1$ в ${\rm {PSL}}(3,\mathbb {R} )$ имеет $4g-3$ компоненты связности, выделяемые классом Эйлера.

Вместе с Дэвидом Фридом он классифицировал компактные факторы евклидова 3-пространства по дискретным группам аффинных преобразований, показав, что все такие многообразия являются конечными факторами расслоений торов по окружности. Некомпактный случай гораздо интереснее, поскольку Григорий Маргулис нашел полные аффинные многообразия с неабелевой свободной фундаментальной группой. В своей докторской диссертации 1990 года Тодд Драмм нашел примеры, представляющие собой твердые тела-ручки с использованием многогранников, которые с тех пор стали называть «кривыми плоскостями».

Гольдман нашел примеры (неевклидовы нильмногообразия и солвмногообразия ) замкнутых 3-многообразий, которые не допускают плоских конформных структур.

Обобщая Скотта Вулперта работу о симплектической структуре Вейля–Петерссона в пространстве гиперболических структур на поверхностях, он нашел алгебро-топологическое описание симплектической структуры на пространствах представлений поверхностной группы в редуктивной группе Ли . Следы представлений соответствующих кривых на поверхностях порождают алгебру Пуассона, скобка Ли которой имеет топологическое описание в терминах пересечений кривых. Более того, гамильтоновы векторные поля этих функций следа определяют потоки, обобщающие потоки Фенхеля–Нильсена в пространстве Тейхмюллера . Эта симплектическая структура инвариантна относительно естественного действия группы классов отображений, и, используя связь между поворотами Дена и обобщенными потоками Фенхеля–Нильсена, он доказал эргодичность действия группы классов отображений на SU(2)-характер многообразие относительно симплектической меры Лебега .

Следуя предложениям Пьера Делиня , он и Джон Миллсон доказали, что многообразие представлений фундаментальной группы компактного кэлерова многообразия имеет особенности, определяемые системами однородных квадратных уравнений. Это приводит к различным результатам о локальной жесткости для действий на эрмитовых симметричных пространствах.

Вместе с Джоном Паркером он исследовал представления сложных гиперболических групп идеальных треугольников. Это представления гиперболических групп идеальных треугольников в группу голоморфных изометрий комплексной гиперболической плоскости такие, что каждый стандартный образующий группы треугольников отображается в комплексное отражение, а произведения пар образующих в параболические. Пространство представлений данной группы треугольников (по модулю сопряженности) параметризуется полуинтервалом. Они показали, что представления в определенном диапазоне дискретны, и предположили, что представление будет дискретным тогда и только тогда, когда оно находится в указанном большем диапазоне. Это стало известно как гипотеза Гольдмана-Паркера и в конечном итоге было доказано Ричардом Шварцем .

Профессиональное обслуживание

Голдман также возглавляет исследовательскую группу в Университете Мэриленда под названием « Лаборатория экспериментальной геометрии» — команду, разрабатывающую программное обеспечение (в основном в системе Mathematica ) для изучения геометрических структур и динамики в малых измерениях. Он входил в совет управляющих Центра геометрии Университета Миннесоты с 1994 по 1996 год.

С 2003 по 2013 год он занимал должность главного редактора Geometriae Dedicata .

Награды и почести

В 2012 году он стал членом Американского математического общества .

Публикации

• Голдман, Уильям М. (1999). Сложная гиперболическая геометрия . Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. Нью-Йорк: Clarendon Press, Oxford University Press . xx+316 стр. ISBN  0-19-853793-Х . МР   1695450 .
• Голдман, Уильям М.; Ся, Евгений З. (2008). «Расслоения Хиггса первого ранга и представления фундаментальных групп римановых поверхностей» . Мемуары Американского математического общества . 193 (904): viii+69 стр. arXiv : math/0402429 . дои : 10.1090/memo/0904 . ISSN   0065-9266 . МР   2400111 . S2CID   2865489 .

Внешние ссылки

• Страница факультета Университета Мэриленда, Колледж-Парк