Линейная динамическая система

Линейные динамические системы — это динамические системы которых функции эволюции линейны , . Хотя динамические системы, как правило, не имеют решений в замкнутой форме , линейные динамические системы могут быть решены точно и обладают богатым набором математических свойств. Линейные системы также можно использовать для понимания качественного поведения общих динамических систем путем расчета точек равновесия системы и аппроксимации ее как линейной системы вокруг каждой такой точки.

Введение

В линейной динамической системе изменение вектора состояния (ан $N$ -мерный вектор , обозначенный $\mathbf {x}$ ) равна постоянной матрице(обозначается $\mathbf {A}$ ) умножить на $\mathbf {x}$ . Этот вариант может принимать две формы: либо как поток , в котором $\mathbf {x}$ варьируется непрерывно со временем

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)

или как отображение, в котором $\mathbf {x}$ изменяется дискретными шагами

\mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}

Эти уравнения линейны в следующем смысле: если $\mathbf {x} (t)$ и $\mathbf {y} (t)$ являются двумя допустимыми решениями, то и любая линейная комбинация из двух решений, например, $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ где $\alpha$ и $\beta$ любые два скаляра . Матрица $\mathbf {A}$ не обязательно должен быть симметричным .

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда нелинейную систему можно точно решить путем замены переменных на линейную систему. Более того, решения (почти) любой нелинейной системы могут быть хорошо аппроксимированы эквивалентной линейной системой вблизи ее неподвижных точек . Следовательно, понимание линейных систем и их решений является важным первым шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решение линейных динамических систем

Если исходный вектор $\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ выравнивается по правому собственному вектору $\mathbf {r} _{k}$ из матрица $\mathbf {A}$ , динамика простая

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}

где $\lambda _{k}$ – соответствующее собственное значение ;решение этого уравнения есть

\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

что можно подтвердить заменой.

Если $\mathbf {A}$ диагонализуема , то любой вектор из $N$ -мерное пространство можно представить линейной комбинацией правого и левого собственных векторов (обозначаемых $\mathbf {l} _{k}$ ) матрицы $\mathbf {A}$ .

\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}

Поэтому общее решение для $\mathbf {x} (t)$ является линейная комбинация индивидуальных решений для правильногособственные векторы

\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Классификация в двух измерениях

Линейная аппроксимация нелинейной системы: классификация двумерной неподвижной точки по следу и определителю матрицы Якоби (линеаризация системы вблизи точки равновесия).

Корни характеристического полинома det( A - λ I ) являются собственными значениями A . Знак и отношение этих корней, $\lambda _{n}$ , друг к другу могут быть использованы для определения устойчивости динамической системы

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).

Для двумерной системы характеристический полином имеет вид $\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$ где $\tau$ это след и $\Delta$ является определителем А. Таким образом, два корня имеют вид:

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

,

и $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ и $\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ . Таким образом, если $\Delta <0$ тогда собственные значения имеют противоположные знаки, а неподвижная точка является седлом. Если $\Delta >0$ тогда собственные значения имеют один и тот же знак. Следовательно, если $\tau >0$ оба положительны, и точка неустойчива, и если $\tau <0$ тогда оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант сообщит вам , является ли точка узловой или спиральной (т. е. являются ли собственные значения действительными или комплексными).

См. также