Соединение двадцати октаэдров со свободой вращения.

Соединение двадцати октаэдров со свободой вращения.
Тип	Однородный состав
Индекс	УК 13
Многогранники	20 октаэдров
Лица	40+120 треугольников
Края	240
Вершины	120
Группа симметрии	икосаэдрический ( I h )
Подгруппа, ограничивающаяся одним компонентом	6-кратное неправильное вращение ( S 6 )

Соединение двадцати октаэдров со свободой вращения представляет собой соединение однородного многогранника . Он состоит из симметричного расположения 20 октаэдров , которые считаются треугольными антипризмами . Его можно построить, наложив две копии соединения 10 октаэдров UC ₁₆ , и для каждой полученной пары октаэдров повернув каждый октаэдр в паре на равный и противоположный угол θ .

Когда θ равен нулю или 60 градусам, октаэдры совпадают попарно, образуя (две наложенные копии) соединения десяти октаэдров UC ₁₆ и UC ₁₅ соответственно. Когда

$\theta =2\tan ^{-1}\left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37.76124^{\circ },$

октаэдры (от различных осей вращения) совпадают в четырех наборах, образуя соединение пяти октаэдров . Когда

$\theta =2\tan ^{-1}\left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14.33033^{\circ },$

вершины попарно совпадают, образуя соединение двадцати октаэдров (без свободы вращения).

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин этого соединения — это все циклические перестановки

${\begin{aligned}&\scriptstyle {\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+2\tau \cos \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}-2\tau ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}-\tau \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+\tau \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta -\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta +\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}$

где τ = (1 + √ 5 )/2 — золотое сечение (иногда обозначаемое φ ).

Галерея

• Соединения двадцати октаэдров со свободой вращения.
• Second compound of ten octahedra.stl

  θ = 0°

• 
  θ = 0°
• 
  θ = 5°
• 
  θ = 10°
• 
  θ = 15°
• 
  θ = 20°
• 
  θ = 25°
• 
  θ = 30°
• 
  θ = 35°
• 
  θ = 40°
• 
  θ = 45°
• 
  θ = 50°
• 
  θ = 55°
• 
  θ = 60°

Ссылки

• Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (3): 447–457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR   0397554 .