Номер вращения

В математике число вращения является инвариантом гомеоморфизмов окружности .

История

Впервые он был определен Анри Пуанкаре году в связи с прецессией перигелия в 1885 планетарной орбиты . Позже Пуанкаре доказал теорему, характеризующую существование периодических орбит с точки зрения рациональности числа вращения.

Определение

Предположим, что $f:S^{1}\to S^{1}$ ориентацию гомеоморфизмом окружности является сохраняющим $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$ Тогда $f$ можно поднять до гомеоморфизма $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ реальной линии, удовлетворяющей

F(x+m)=F(x)+m

для каждого действительного числа $x$ и любого целого числа $m$ .

Число вращения f $F$ определяется итераций терминах $в$ :

\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.

Анри Пуанкаре доказал, что предел существует и не зависит от выбора начальной точки $x$ . Лифт $F$ уникален по модулю целых чисел, поэтому число вращения является четко определенным элементом ⁠ $\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$ ⁠ он измеряет средний угол вращения по орбитам f $Интуитивно понятно, что$ .

Пример

Если $f$ это вращение на $2\pi N$ (где $0<N<1$ ), затем

F(x)=x+N,

и его число вращения равно $N$ (ср. иррациональное вращение ).

Характеристики

Число вращения инвариантно относительно топологической сопряженности и даже монотонной топологической полусопряженности : если $f$ и $g$ — два гомеоморфизма окружности и

h\circ f=g\circ h

для монотонного непрерывного отображения $h$ круга в себя (не обязательно гомеоморфного) тогда $f$ и $g$ имеют одинаковые числа вращения. Его использовали Пуанкаре и Арно Данжуа для топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Есть две различные возможности.

Число вращения $f$ — это рациональное число $p/q$ (в самых низких терминах). Тогда $f$ имеет периодическую орбиту , каждая периодическая орбита имеет период $q$ и порядок точек на каждой такой орбите совпадает с порядком точек вращения на $p/q$ . Более того, каждая прямая орбита $f$ сходится к периодической орбите. То же самое верно и для обратных орбит, соответствующих итерациям $f -1$ , но предельные периодические орбиты в прямом и обратном направлениях могут быть разными.
Число вращения $f$ является иррациональным числом $θ$ . Тогда $f$ не имеет периодических орбит (это следует непосредственно из рассмотрения периодической точки $x$ функции $f$ ). Есть два подслучая.

Существует плотная орбита. В этом случае $f$ топологически сопряжена с иррациональным поворотом на угол $θ$ и все орбиты плотны . Данжуа доказал, что эта возможность всегда реализуется, когда $f$ дважды непрерывно дифференцируема.
Существует канторово множество $C$ , инвариантное относительно $f$ . Тогда $C$ — единственное минимальное множество и орбиты всех точек как в прямом, так и в обратном направлении сходятся $C.$ к В этом случае $f$ полусопряжено иррациональному повороту на $θ$ полусопряжающее отображение $h$ степени 1 постоянно на компонентах дополнения к $C.$ , а

Число вращения непрерывно , если рассматривать его как отображение группы гомеоморфизмов (с $C 0$ топология) круга в круг.

См. также

Ссылки

Герман, Майкл Роберт (декабрь 1979 г.). «О дифференцируемом сопряжении диффеоморфизмов окружности к вращениям» . Математические публикации IHÉS (на французском языке). 49 :5–233. дои : 10.1007/BF02684798 . S2CID 118356096 . , а также SciSpace для файлов меньшего размера в формате PDF версии 1.3.

Внешние ссылки

Михал Мисюревич (ред.). «Теория вращения» . Схоларпедия .
Вайсштейн, Эрик В. «Число витков карты» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.