Форма пересечения 4-многообразия

В математике форма пересечения ориентированного компактного 4-многообразия — это специальная симметричная билинейная форма на 2-й (ко) группе гомологий 4-многообразия. Оно отражает большую часть топологии 4-многообразий, включая информацию о существовании гладкой структуры .

Определение с использованием пересечения [ править ]

Пусть M — замкнутое 4-многообразие (PL или гладкое). Возьмем триангуляцию T из M . Обозначим через $T^{*}$ двухклеточное подразделение . Представлять классы $a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ 2-циклами A и B по модулю 2, рассматриваемыми как объединения 2-симплексов T и $T^{*}$ , соответственно. Определите форму пересечения по модулю 2

\cap _{M,2}:H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}

по формуле

a\cap _{M,2}b=|A\cap B|{\bmod {2}}.

Это четко определено, поскольку пересечение цикла и границы состоит из четного числа точек (по определению цикла и границы).

Если M ориентировано, аналогично (т.е. считая пересечения со знаками) определяется форма пересечения на 2-й группе гомологий.

Q_{M}=\cap _{M}=\cdot _{M}:H_{2}(M;\mathbb {Z} )\times H_{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} .

Используя понятие трансверсальности, можно сформулировать следующие результаты (которые представляют собой эквивалентное определение формы пересечения).

Если занятия $a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ представлены замкнутыми поверхностями (или 2-циклами по модулю 2), A и B встречаются поперечно, тогда $a\cap _{M,2}b=|A\cap B|\mod 2.$

Если M ориентировано и классы $a,b\in H_{2}(M;\mathbb {Z} )$ представлены замкнутыми ориентированными поверхностями (или 2-циклами) A и B, пересекающимися в поперечном направлении, тогда каждая точка пересечения в $A\cap B$ имеет знак +1 или -1 в зависимости от ориентации, и $Q_{M}(a,b)$ есть сумма этих знаков.

Определение с использованием чашки продукта [ править ]

Использование понятия « чашка продукта» $\smile$ , можно дать двойственное (и, следовательно, эквивалентное) определение следующим образом. Пусть M — замкнутое ориентированное 4-многообразие (PL или гладкое). Определим форму пересечения во 2-й группе когомологий.

Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z}

по формуле

Q_{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle .

Определение произведения чашки двойственно (и поэтому аналогично) приведенному выше определению формы пересечения гомологий многообразия, но является более абстрактным. Однако определение чашечного произведения распространяется на комплексы и топологические многообразия. Это преимущество для математиков, интересующихся комплексами и топологическими многообразиями (не только PL и гладкими многообразиями).

Когда 4-многообразие гладкое, то в когомологиях де Рама , если a и b представлены 2-формами $\alpha$ и $\beta$ , то форму пересечения можно выразить интегралом

Q(a,b)=\int _{M}\alpha \wedge \beta

где $\wedge$ это клиновое произведение .

Определение с использованием произведения чашки имеет более простой аналог по модулю 2 (который работает для неориентируемых многообразий). Конечно, в когомологиях де Рама этого нет.

Свойства и приложения [ править ]

Двойственность Пуанкаре утверждает, что форма пересечения унимодулярна (с точностью до кручения).

По формуле Ву спиновое 4-многообразие должно иметь четную форму пересечения, т. е. $Q(x,x)$ четно для каждого x . Для односвязного гладкого 4-многообразия (или, в более общем случае, без 2-кручения, принадлежащего первой гомологии), справедливо обратное.

Сигнатура формы пересечения является важным инвариантом. 4-многообразие ограничивает 5-многообразие тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру. Из леммы Ван дер Блия следует, что спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную восьми. Фактически, из теоремы Рохлина следует, что гладкое компактное спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную 16.

Майкл Фридман использовал форму пересечения для классификации односвязных топологических 4-многообразий. Для любой унимодулярной симметричной билинейной формы над целыми числами Q существует односвязное замкнутое 4-многообразие M с формой Q. пересечения Если Q четно, такое многообразие только одно. Если Q нечетно, их два, причем по крайней мере один (возможно, оба) не имеют гладкой структуры. Таким образом, два односвязных замкнутых гладких 4-многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны. В нечетном случае два многообразия различаются инвариантом Кирби – Зибенмана .

Теорема Дональдсона утверждает, что гладкое односвязное 4-многообразие с положительно определенной формой пересечения имеет диагональную (скалярную 1) форму пересечения. Итак, классификация Фридмана предполагает, что существует множество несглаживаемых 4-многообразий, например многообразие E8 .