Билинейная форма

В математике билинейная форма — это билинейное отображение $V \times V \to K$ в векторном пространстве $V$ (элементы которого называются векторами ) над полем K (элементы которого называются скалярами ). Другими словами, билинейная форма — это функция $B : V \times V \to K$ , линейная по каждому аргументу в отдельности:

$B (ты + v, ш) знак равно B (ты, ш) + B (v, ш)$ и $B (λ ты, v) знак равно λB (ты, v)$
$B (ты, v + ш) знак равно B (ты, v) + B (ты, ш)$ и $B (ты, λ v) знак равно λB (ты, v)$

Скалярное произведение на $\mathbb {R} ^{n}$ является примером билинейной формы. ^[1]

Определение билинейной формы можно расширить, включив в него модули над кольцом , с линейных отображений заменой гомоморфизмами модулей .

Когда $K$ — поле комплексных чисел $C$ , часто больше интересуют полуторалинейные формы , которые похожи на билинейные формы, но сопряжены линейно по одному аргументу.

Координатное представление

Пусть $V$ n $-$ — мерное векторное пространство с базисом ${e 1, \dots, e n}$ .

Матрица $размера n \times n$ A на , определенная формулой $A ij = B (e i, e j),$ называется матрицей билинейной формы базисе ${e 1, \dots, e n}$ .

Если $размера n \times 1$ матрица $x$ представляет вектор $x$ относительно этого базиса, и аналогично $размера n \times 1$ матрица $y$ представляет другой вектор $y$ , то: $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}A_{ij}y_{j}.$

Билинейная форма имеет разные матрицы на разных базисах. Однако матрицы билинейной формы на разных базисах все конгруэнтны . Точнее, если ${f 1, \dots, f n}$ — другой базис $V$ , то $\mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e} _{i},$ где $S_{i,j}$ образуют обратимую матрицу $S$ . Тогда матрица билинейной формы на новом базисе равна $S Т КАК$ .

Характеристики

Невырожденные билинейные формы

Каждая билинейная форма $B$ на $V$ определяет пару линейных отображений из $V$ в свое двойственное пространство $V. *$ . Определим $B1 , B2 : V \to V *$ к

B 1 (v)(ш) знак равно B (v, ш)

B 2 (v)(ш) знак равно B (ш, v)

Это часто обозначается как

B 1 (v) знак равно B (v, \cdot)

B 2 (v) знак равно B (\cdot, v)

аргумент результирующего линейного функционала где точка ( ⋅ ) указывает на слот, в который должен быть помещен (см. Каррирование ).

Для конечномерного векторного пространства $V$ , если любой из $B 1$ или $B 2$ является изоморфизмом, то оба являются изоморфизмом, и билинейная форма $B$ называется невырожденной . Более конкретно, для конечномерного векторного пространства невырожденность означает, что каждый ненулевой элемент нетривиально спаривается с каким-либо другим элементом:

B(x,y)=0

для всех

y\in V

подразумевает, что

x = 0

и

B(x,y)=0

для всех

x\in V

подразумевает, что

y = 0

.

Соответствующее понятие модуля над коммутативным кольцом состоит в том, что билинейная форма есть унимодулярный, если $V \to V *$ является изоморфизмом. Учитывая конечно порожденный модуль над коммутативным кольцом, спаривание может быть инъективным (следовательно, «невырожденным» в указанном выше смысле), но не унимодулярным. Например, над целыми числами пара $B (x, y) = 2 xy$ невырождена, но не унимодулярна, поскольку индуцированное отображение из $V = Z$ в $V * = Z$ – умножение на 2.

Если $V$ конечномерно, то можно отождествить $V$ с его двойным двойственным $V **$ . Затем можно показать, что $B 2$ является транспонированием линейного отображения $B 1$ (если $V$ бесконечномерно, то $B 2$ является транспонированием $B 1,$ ограниченным образом $V$ в $V **$ ). Учитывая $B,$ определить транспонирование B $можно$ как билинейную форму, заданную формулой

^тB ( v , ш ) знак равно B ( ш , v ).

Левый радикал и правый радикал формы $B$ являются ядрами B $12$ и $B;$ соответственно ^[2] это векторы, ортогональные всему пространству слева и справа. ^[3]

Если $V$ конечномерно ранг B1 $, то$ рангу $B2 .$ равен Если это число равно $dim(V),$ то $B 1$ и $B 2$ являются линейными изоморфизмами из $V$ в $V. *$ . В этом случае $B$ невырождена. По теореме о ранге-пустоте это эквивалентно условию, что левый и, что эквивалентно, правый радикалы тривиальны. Для конечномерных пространств это часто принимают за определение невырожденности:

Определение: B невырожден , если

B (v, w) = 0

для всех w влечет

v = 0

.

Учитывая любое линейное отображение $A : V \to V *$ можно получить билинейную форму B на V через

B ( v , ш ) знак равно А ( v )( ш ).

Эта форма будет невырожденной тогда и только тогда, когда $А$ — изоморфизм.

Если $V$ конечномерно определитель , то относительно некоторого базиса для $V$ билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда соответствующей матрицы равен нулю. Аналогично, невырожденная форма — это форма, для которой определитель связанной матрицы не равен нулю (матрица невырождена ). Эти утверждения не зависят от выбранного базиса. Для модуля над коммутативным кольцом унимодулярная форма — это форма, для которой определитель ассоциированной матрицы равен единице ( например, 1), отсюда и термин; обратите внимание, что форма, определитель матрицы которой не равен нулю, но не является единицей, будет невырожденной, но не унимодулярной, например $B (x, y) = 2 xy$ над целыми числами.

Симметричные, кососимметричные и чередующиеся формы.

Мы определяем билинейную форму как

симметричен , если $B (v, w) = B (w, v)$ для всех $v$ , $w$ в $V$ ;
чередующийся , если $B (v, v) = 0$ для всех $v$ в $V$ ;
кососимметричный или антисимметричен , если $B (v, w) = - B (w, v)$ для всех $v$ , $w$ в $V$ ;
Предложение
Любая знакопеременная форма кососимметрична.
Доказательство
Это можно увидеть, разложив $B (v + w, v + w)$ .

Если характеристика K $не равна 2 ,$ то верно и обратное: каждая кососимметричная форма чередующаяся. Однако если $char(K) = 2$ , то кососимметричная форма — это то же самое, что и симметричная форма, и существуют симметричные/кососимметричные формы, которые не чередуются.

Билинейная форма симметрична (соответственно кососимметрична) тогда и только тогда, когда ее координатная матрица (относительно любого базиса) симметрична (соответственно кососимметрична ). Билинейная форма является знакопеременной тогда и только тогда, когда ее координатная матрица кососимметрична и все диагональные элементы равны нулю (что следует из кососимметрии, когда $char(K) \neq 2$ ).

Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда отображения $B 1, B 2 : V \to V *$ равны и кососимметричны тогда и только тогда, когда они являются отрицательными по отношению друг к другу. Если $char(K) \neq 2$ , то можно разложить билинейную форму на симметричную и кососимметричную части следующим образом: $B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),$ где $т B$ — транспонирование $B$ (определенного выше).

Рефлексивные билинейные формы и ортогональные векторы

Определение: Билинейная форма

B : V \times V \to K

называется рефлексивной , если

из B (v, w) = 0

следует

B (w, v) = 0

для всех v , w в V .

Определение: Пусть

B : V \times V \to K

— рефлексивная билинейная форма. v , w в V ортогональны относительно B, если

B (v, w) = 0

.

Билинейная форма $B$ рефлексивна тогда и только тогда, когда она либо симметрична, либо знакопеременна. ^[4] В отсутствие рефлексивности мы должны различать левую и правую ортогональность. В рефлексивном пространстве левый и правый радикалы согласуются и называются ядром или радикалом билинейной формы: подпространства всех векторов, ортогональных каждому другому вектору. Вектор $v$ с матричным представлением $x$ находится в радикале билинейной формы с матричным представлением $A$ тогда и только тогда, когда $Ax = 0 \Leftrightarrow x Т А = 0$ . Радикал всегда является подпространством $V$ . Это тривиально тогда и только тогда, когда матрица $A$ невырождена, и, следовательно, тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена.

Предположим, $W$ — подпространство. Определите ортогональное дополнение ^[5] $W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ for all }}\mathbf {w} \in W\right\}.$

Для невырожденной формы в конечномерном пространстве отображение $V/W \to W ⊥$ является биективным , а размерность $W ⊥$ тусклый $(V) - тусклый(W)$ .

Ограниченные и эллиптические билинейные формы.

Определение: Билинейная форма в нормированном векторном пространстве $(V, ‖\cdot‖)$ является ограниченной , если существует константа $C$ такая, что для всех $u, v \in V$ , $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

Определение: Билинейная форма в нормированном векторном пространстве $(V, ‖\cdot‖)$ называется эллиптической или коэрцитивной , если существует константа $c > 0$ такая, что для всех $u \in V$ , $B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.$

Связанная квадратичная форма

Для любой билинейной формы $B : V \times V \to K$ существует ассоциированная квадратичная форма $Q : V \to K,$ определяемая формулой $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

Когда $char(K) \neq 2$ , квадратичная форма Q определяется симметричной частью билинейной формы B и не зависит от антисимметричной части. В этом случае существует взаимно однозначное соответствие между симметричной частью билинейной формы и квадратичной формой и имеет смысл говорить о симметричной билинейной форме, ассоциированной с квадратичной формой.

Когда $char(K) = 2$ и $dim V > 1$ , это соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами нарушается.

Связь с тензорными произведениями

По универсальному свойству тензорного произведения существует каноническое соответствие между билинейными формами на $V$ и линейными $V \otimes V \to K.$ отображениями Если $B$ — билинейная форма на $V,$ соответствующее линейное отображение имеет вид

v \otimes ш \mapsto B (v, ш)

В другом направлении, если $F : V \otimes V \to K$ — линейное отображение, соответствующая билинейная форма задается путем составления F с билинейным отображением $V \times V \to V \otimes V$ , которое переводит $(v, w)$ в $v \otimes w$ .

Множество всех линейных отображений $V \otimes V \to K$ является пространством, двойственным к $V \otimes V$ , поэтому билинейные формы можно рассматривать как элементы $(V \otimes V) *$ который (когда $V$ конечномерен) канонически изоморфен $V * \otimes V *$ .

Аналогично, симметричные билинейные формы можно рассматривать как элементы $(Sym 2 V) *$ (двойственная второй симметричной степени V $)$ и знакопеременные билинейные формы как элементы $(Λ 2 V) * ≃ Л 2 V *$ (вторая внешняя V $степень *$ ). Если $char K \neq 2$ , $(Sym 2 V) * ≃ Сим 2 (V *)$ .

Обобщения

Пары различных векторных пространств

Большая часть теории доступна для билинейного отображения двух векторных пространств над одним и тем же базовым полем в это поле.

Б : В \times Ш \to К

.

Здесь мы по-прежнему имеем индуцированные линейные отображения из $V$ в $W *$ , и от $W$ до $V *$ . Может случиться так, что эти отображения являются изоморфизмами; предполагая конечные размеры, если один из них является изоморфизмом, то и другой должен быть изоморфизмом. В этом случае , что B говорят является идеальной парой .

В конечных размерностях это эквивалентно невырожденности спаривания (пространства обязательно имеют одинаковые размерности). Для модулей (вместо векторных пространств), так же как невырожденная форма слабее унимодулярной формы, невырожденное спаривание является более слабым понятием, чем идеальное спаривание. Спаривание может быть невырожденным, но не быть идеальным спариванием, например, $Z \times Z \to Z$ через $(x, y) \mapsto 2 xy$ невырождено, но индуцирует умножение на 2 на отображении $Z \to Z. *$ .

Терминология варьируется в зависимости от охвата билинейных форм. Например, Ф. Риз Харви обсуждает «восемь типов внутреннего продукта». ^[6] Для их определения он использует диагональные матрицы A _ij, имеющие только +1 или −1 для ненулевых элементов. Некоторые из «внутренних произведений» представляют собой симплектические формы , а некоторые — полуторалинейные или эрмитовые формы . Вместо общего поля $K$ экземпляры с действительными числами $R$ , комплексными числами $C$ и кватернионами $H.$ указаны Билинейная форма $\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}$ называется вещественным симметричным случаем и обозначается $R (p, q)$ , где $p + q = n$ . Затем он формулирует связь с традиционной терминологией: ^[7]

Некоторые из реальных симметричных случаев очень важны. Положительно определенный случай R ( n ,0) называется евклидовым пространством , а случай одного минуса R ( n −1,1) называется лоренцевым пространством . Если n = 4 , то лоренцево пространство также называют пространством Минковского или пространством-временем Минковского . Особый случай R ( p , p ) будет называться разделенным случаем .

Общие модули

Даны кольцо $R$ , правый $R$ -модуль $M$ и двойственный к нему модуль $M. *$ , отображение $B : M * \times M \to R$ называется билинейной формой , если

B (ты + v, Икс) знак равно B (ты, Икс) + B (v, Икс)

B (ты, Икс + y) знак равно B (ты, Икс) + B (ты, y)

B (αu, xβ) знак равно αB (ты, Икс) б

для всех $u, v \in M *$ , все $x, y \in M$ все $α, β \in R.$ и

Отображение $⟨\cdot,\cdot⟩ : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ известно как естественное спаривание , также называемое канонической билинейной формой на $M * \times М.$ ^[8]

Линейное отображение $S : M * \to М * : u \mapsto S (u)$ индуцирует билинейную форму $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , и линейное отображение $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ индуцирует билинейную форму $B : M * \times M \to р : (ты, Икс) \mapsto ⟨ ты, Т (Икс)⟩$ .

И наоборот, билинейная форма $B : M * \times M \to R$ индуцирует R -линейные отображения $S : M * \to М * : ты \mapsto (Икс \mapsto B (ты, Икс))$ и $Т' : M \to M ** : Икс \mapsto (ты \mapsto B (ты, Икс))$ . Вот, $М **$ обозначает двойник M $.$ двойной

См. также

Цитаты

^ «Глава 3. Билинейные формы — Конспект лекций по МА1212» (PDF) . 16 января 2021 г.
^ Джейкобсон 2009 , с. 346.
^ Zhelobenko 2006 , p. 11.
^ Гроув 1997 .
^ Адкинс и Вайнтрауб 1992 , с. 359.
^ Харви 1990 , с. 22.
^ Харви 1990 , с. 23.
^ Бурбаки 1970 , с. 233.

Ссылки

Адкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 136, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-97839-9 , Збл 0768.00003
Бурбаки, Н. (1970), Алгебра , Спрингер
Куперштейн, Брюс (2010), «Глава 8: Билинейные формы и карты», Advanced Linear Algebra , CRC Press , стр. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
Гроув, Ларри К. (1997), Группы и персонажи , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для бакалавров по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3 , Збл 0288.15002
Харви, Ф. Риз (1990), «Глава 2: Восемь типов пространств внутреннего продукта», Спиноры и калибровки , Academic Press , стр. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
Попов, В.Л. (1987), «Билинейная форма» , в книге Хазевинкель, М. (ред.), Энциклопедия математики , том. 1, Kluwer Academic Publishers , стр. 390–392 . Также: Билинейная форма , с. 390, в Google Книгах.
Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. Я (2-е изд.), Курьерская корпорация, ISBN 978-0-486-47189-1
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Результаты математики и ее границы , том. 73, Спрингер Верлаг , ISBN 3-540-06009-Х , Збл 0292.10016
Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 50, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-55177-9
Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Linear Algebra , Dover, ISBN 0-486-63518-Х
Желобенко, Дмитрий Петрович (2006), Основные структуры и методы теории представлений , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3731-1

Внешние ссылки

«Билинейная форма» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Билинейная форма» . ПланетаМатематика .

В эту статью включены материалы Unimodular на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] «Глава 3. Билинейные формы — Конспект лекций по МА1212» (PDF) . 16 января 2021 г.

[FOOTNOTEJacobson2009346-2] Джейкобсон 2009 , с. 346.

[FOOTNOTEZhelobenko200611-3] Zhelobenko 2006 , p. 11.

[FOOTNOTEGrove1997-4] Гроув 1997 .

[FOOTNOTEAdkinsWeintraub1992359-5] Адкинс и Вайнтрауб 1992 , с. 359.

[FOOTNOTEHarvey199022-6] Харви 1990 , с. 22.

[FOOTNOTEHarvey199023-7] Харви 1990 , с. 23.

[FOOTNOTEBourbaki1970233-8] Бурбаки 1970 , с. 233.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]