Выпуклость (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии выпуклость — ограничительное техническое условие для алгебраических многообразий, первоначально введенное для анализа пространств модулей Концевича. ${\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )$ в квантовых когомологиях . ^[1]^: §1^[2]^[3] Эти пространства модулей являются гладкими орбифолдами , если целевое пространство выпукло. Разнообразие $X$ называется выпуклым, если возврат касательного расслоения к устойчивой рациональной кривой $f:C\to X$ имеет глобально генерируемые разделы. ^[2] Геометрически это означает, что кривая может свободно перемещаться. $X$ бесконечно мало, без каких-либо препятствий. Выпуклость обычно называют техническим состоянием.

H^{1}(C,f^{*}T_{X})=0

поскольку теорема об исчезновении Серра гарантирует, что этот пучок имеет глобально порожденные сечения. Интуитивно это означает, что в окрестности точки, где есть векторное поле, локальный параллельный перенос может быть расширен глобально. Это обобщает идею выпуклости в евклидовой геометрии , где даны две точки $p,q$ в выпуклом множестве $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ , все точки $tp+(1-t)q$ содержатся в этом наборе. Есть векторное поле. ${\mathcal {X}}_{U_{p}}$ в районе $U_{p}$ из $p$ транспортировка $p$ в каждую точку $p'\in \{tp+(1-t)q:t\in [0,1]\}\cap U_{p}$ . Поскольку векторное расслоение $\mathbb {R} ^{n}$ тривиально и, следовательно, генерируется глобально, существует векторное поле ${\mathcal {X}}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ такое, что равенство ${\mathcal {X}}|_{U_{p}}={\mathcal {X}}_{U_{p}}$ держится на ограничении.

Примеры

Существует множество примеров выпуклых пространств, включая следующие.

Пространства с тривиальными рациональными кривыми

Если единственное отображение рациональной кривой в $X$ являются отображениями констант, то обратный ход касательного пучка является свободным пучком ${\mathcal {O}}_{C}^{\oplus n}$ где $n=\dim(X)$ . Эти пучки имеют тривиальные ненулевые когомологии и, следовательно, всегда выпуклы. В частности, абелевы многообразия этим свойством обладают , поскольку многообразие Альбанезе рациональной кривой $C$ тривиально, и каждое отображение от многообразия к абелеву многообразию проходит через Альбанезе. ^[4]

Проективные пространства

Проективные пространства являются примерами однородных пространств, но их выпуклость также можно доказать с помощью вычисления пучковых когомологий. Напомним, последовательность Эйлера связывает касательное пространство через короткую точную последовательность

0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Если нам нужно учитывать только степень $d$ вложений, существует короткая точная последовательность

0\to {\mathcal {O}}_{C}\to {\mathcal {O}}_{C}(d)^{\oplus (n+1)}\to f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

давая длинную точную последовательность

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(C,{\mathcal {O}})\to H^{0}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{0}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\\&\to H^{1}(C,{\mathcal {O}})\to H^{1}(C,{\mathcal {O}}(d)^{\oplus (n+1)})\to H^{1}(C,f^{*}{\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})\to 0\end{aligned}}

начиная с первых двух $H^{1}$ -термы равны нулю, что следует из $C$ принадлежность к роду $0$ , а второй расчет следует из теоремы Римана–Роха , имеем выпуклость $\mathbb {P} ^{n}$ . Тогда любое узловое отображение можно свести к этому случаю, рассмотрев одну из компонент $C_{i}$ из $C$ .

Однородные пространства

Другой большой класс примеров — однородные пространства. $G/P$ где $P$ является параболической подгруппой $G$ . Они имеют глобально генерируемые разделы, поскольку $G$ действует транзитивно на $X$ , что означает, что он может принимать базы в $T_{x}X$ к основе в любой другой точке $T_{y}X$ , следовательно, он имеет глобально генерируемые разделы. ^[3] Тогда откат всегда генерируется глобально. К этому классу примеров относятся грассманианы , проективные пространства и многообразия флагов .

Продуктовые пространства

Кроме того, произведения выпуклых пространств по-прежнему остаются выпуклыми. Это следует из теоремы Кюннета в когомологиях когерентных пучков.

Проективные расслоения над кривыми

Еще одним нетривиальным классом примеров выпуклых многообразий являются проективные расслоения. $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ для алгебраического векторного расслоения ${\mathcal {E}}\to C$ над гладкой алгебраической кривой ^[3]^{стр. 6}.

Приложения

Существует много полезных технических преимуществ рассмотрения пространств модулей устойчивых кривых, отображающихся в выпуклые пространства. То есть пространства модулей Концевича ${\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )$ имеют хорошие геометрические и теоретико-деформационные свойства.

Теория деформации

Деформации $f:C\to X$ в схеме графов Гильберта $\operatorname {Hom} (C,X)\subset \operatorname {Hilb} _{C\times X/\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$ имеет касательное пространство

T_{\operatorname {Hom} (C,X)}([f])\cong H^{0}(C,f^{*}T_{X})

^[1]

где $[f]\in \operatorname {Hom} (C,X)$ — это точка на схеме, представляющая карту. Выпуклость $X$ дает формулу измерения ниже. Кроме того, выпуклость подразумевает, что все бесконечно малые деформации беспрепятственны. ^[5]

Структура

Эти пространства являются нормальными проективными многообразиями чистой размерности.

\dim({\overline {M}}_{0,n}(X,\beta ))=\dim(X)+\int _{\beta }c_{1}(T_{X})+n-3

^[3]

которые локально являются факторами гладкого многообразия по конечной группе. Кроме того, открытое подмногообразие ${\overline {M}}_{0,n}^{*}(X,\beta )$ параметризация неособых отображений представляет собой гладкое тонкое пространство модулей. В частности, это подразумевает стеки ${\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}(X,\beta )$ являются орбифолдами .