Аксиома открытой раскраски

Аксиома открытой раскраски (сокращенно OCA ) — это аксиома о раскраске ребер графа , которого вершины являются подмножеством действительных чисел : две разные версии были представлены Абрахамом, Рубином и Шелахом (1985) и Тодорчевичем (1989) .

Заявление

Предположим, что X — подмножество действительных чисел, и каждая пара элементов X либо в белый цвет, при этом набор белых пар открыт в полном графе на X. окрашена либо в черный , Аксиома открытой раскраски гласит, что либо:

X имеет несчетное подмножество, причем любая пара из этого подмножества белая; или
X можно разделить на счетное количество подмножеств, так что любая пара из одного подмножества будет черной.

Более слабая версия, OCA _P на компактное совершенное множество в X. , заменяет условие несчетности в первом случае И OCA, и OCA _P могут быть сформулированы эквивалентно для произвольных сепарабельных пространств .

Связь с другими аксиомами

OCA _P может быть доказана в ZFC для аналитических подмножеств польского пространства и из аксиомы детерминированности . Полный OCA совместим с ZFC (но независим от него) и следует из правильной аксиомы форсирования .

OCA подразумевает, что наименьшее неограниченное множество пространства Бэра имеет мощность. $\aleph _{2}$ . Более того, предполагая OCA, пространство Бэра содержит мало «пробелов» между наборами последовательностей, а точнее, что единственными возможными пробелами являются пробелы Хаусдорфа и аналогичные (κ,ω)-пробелы, где κ — начальный ординал не меньше, чем ω ₂ .

Ссылки

Авраам, Ури; Рубин, Мататьяху; Шела, Сахарон (1985), «О непротиворечивости некоторых теорем разделения для непрерывных раскрасок и о структуре типов ℵ ₁ -плотного вещественного порядка», Ann. Чистое приложение. Логика , 29 (2): 123–206, doi : 10.1016/0168-0072(84)90024-1 , Збл 0585.03019
Каротенуто, Джемма (2013), Введение в OCA (PDF) , конспекты лекций Маттео Виале
Кунен, Кеннет (2011), Теория множеств , Исследования по логике, том. 34, Лондон: Публикации колледжа, ISBN 978-1-84890-050-9 , Збл 1262.03001
Мур, Джастин Тэтч (2011), «Логика и основы правильной аксиомы принуждения», в Бхатиа, Раджендра (ред.), Труды международного конгресса математиков (ICM 2010), Хайдарабад, Индия, 19–27 августа 2010 г. Том. II: Приглашенные лекции (PDF) , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 3–29, ISBN. 978-981-4324-30-4 , Збл 1258.03075
Тодорчевич, Стево (1989), Проблемы разделения в топологии , Современная математика, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-5091-1 , МР 0980949 , Збл 0659.54001