Аналитический набор

В математической области описательной теории множеств — подмножество польского пространства. $X$ является аналитическим множеством , если оно является непрерывным образом польского пространства. Эти множества впервые были определены Лузиным (1917) и его учеником Суслином (1917) . ^{[ 1 ]}

Определение

Существует несколько эквивалентных определений аналитического множества. Следующие условия на подпространство A польского пространства X эквивалентны:

А – аналитический.
A пусто или является непрерывным образом пространства Бэра ω ^ой.
A — пространство Суслина , другими словами, A — образ польского пространства при непрерывном отображении.
A — непрерывный образ борелевского множества в польском пространстве.
A — множество Суслина , образ операции Суслина .
Есть польское пространство $Y$ и Бореля набор $B\subseteq X\times Y$ такой, что $A$ это проекция $B$ на $X$ ; то есть,

A=\{x\in X|(\exists y\in Y)\langle x,y\rangle \in B\}.

A — проекция замкнутого множества в декартово произведение X на пространство Бэра.
A — проекция множества δ _в G декартово произведение X с канторовым пространством 2 ^ой.

Альтернативная характеристика в конкретном, важном случае, что $X$ является пространством Бэра ω ^ой, заключается в том, что аналитические множества являются в точности проекциями деревьев на $\omega \times \omega$ . Аналогично, аналитические подмножества канторова пространства 2 ^ой являются именно проекциями деревьев на $2\times \omega$ .

Характеристики

Аналитические подмножества польских пространств замкнуты относительно счетных объединений и пересечений, непрерывных образов и прообразов. Дополнение аналитического множества не обязательно должно быть аналитическим. Суслин доказал, что если дополнение к аналитическому множеству аналитично, то это множество борелевское. (Наоборот, любое борелевское множество аналитично, а борелевские множества замкнуты относительно дополнений.) Лузин доказал в более общем плане, что любые два непересекающихся аналитических множества разделяются борелевским множеством: другими словами, существует борелевское множество, включающее одно и непересекающееся с другим. Иногда это называют «принципом отделимости Лузина» (хотя он подразумевался при доказательстве теоремы Суслина).

Аналитические множества всегда измеримы по Лебегу (действительно, универсально измеримы ) и обладают свойством Бэра и свойством совершенного множества .

Примеры

Когда $A$ представляет собой набор натуральных чисел, обратитесь к множеству $\{x-y\mid y\leq x\land x,y\in A\}$ как набор разностей $A$ . Множество разностных множеств натуральных чисел является аналитическим множеством и является полным для аналитических множеств. ^{[ 2 ]}

Проективная иерархия

Аналитические множества еще называют ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ (см. проективная иерархия ). Обратите внимание, что жирный шрифт в этом символе не соответствует соглашению Википедии, а скорее используется отдельно от его светлого аналога. $\Sigma _{1}^{1}$ (см. аналитическую иерархию ). Дополнения к аналитическим множествам называются коаналитическими множествами , а множество коаналитических множеств обозначается через ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ . Пересечение ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ — множество борелевских множеств.

См. также

Проекция (теория меры)

Ссылки

^ Лоренц, Г.Г. (2001). «Кто открыл аналитические множества?» . Математический интеллект . 23 (4): 28–32. дои : 10.1007/BF03024600 . ISSN 0343-6993 .
^ Дж. Х. Шмерль, « В чем разница? ». Анналы чистой и прикладной логики, том. 93 (1998), стр. 255–261.

Элькин, А.Г. (2001) [1994], «Аналитическое множество» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Ефимов, Б.А. (2001) [1994], «Принципы разделимости Лузина» , Энциклопедия математики , EMS Press
Кекрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
Лузин, Н. Н. (1917), «К классификации М. Бэра», «Доклады Академии наук» , серия I , 164 : 91–94.
Н. Н. Лусин, «Уроки аналитических множеств и их приложений», Готье-Виллар (1930).
Мошовакис, Яннис Н. (1980), Описательная теория множеств , Северная Голландия, ISBN 0-444-70199-0
Мартин, Дональд А .: Измеримые кардиналы и аналитические игры. Fundamenta Mathematicae 66 (1969/1970), с. 287-291.
Суслен, М. (1917), «Об определении измеримых множеств B без трансфинитных чисел», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91.

[1] Лоренц, Г.Г. (2001). «Кто открыл аналитические множества?» . Математический интеллект . 23 (4): 28–32. дои : 10.1007/BF03024600 . ISSN 0343-6993 .

[2] Дж. Х. Шмерль, « В чем разница? ». Анналы чистой и прикладной логики, том. 93 (1998), стр. 255–261.

[ 1 ]

[ 2 ]