Оптимизация формы

Оптимизация формы является частью области теории оптимального управления . Типичная проблема состоит в том, чтобы найти форму , которая является оптимальной, поскольку она минимизирует определенный функционал стоимости , одновременно удовлетворяя заданным ограничениям . Во многих случаях решаемый функционал зависит от решения данного уравнения в частных производных, определенного в переменной области.

Оптимизация топологии , кроме того, связана с количеством связанных компонентов/границ, принадлежащих домену. Такие методы необходимы, поскольку обычно методы оптимизации формы работают с подмножеством допустимых форм, которые имеют фиксированные топологические свойства, такие как наличие в них фиксированного количества отверстий. Методы топологической оптимизации могут помочь обойти ограничения чистой оптимизации формы.

Определение

Математически оптимизацию формы можно представить как задачу поиска ограниченного множества. $\Omega$ , минимизируя функционал

{\mathcal {F}}(\Omega )

,

возможно, с учетом ограничения формы

{\mathcal {G}}(\Omega )=0.

Обычно нас интересуют наборы $\Omega$ которые являются липшицевыми или C ¹ границы и состоят из конечного числа компонентов , то есть мы хотели бы найти в качестве решения довольно приятную форму, а не какую-то мешанину грубых кусочков и кусочков. Иногда для обеспечения корректности задачи и единственности решения необходимо наложить дополнительные ограничения.

Оптимизация формы — это задача бесконечномерной оптимизации . Кроме того, пространство допустимых форм, по которому проводится оптимизация, не допускает структуры векторного пространства , что затрудняет применение традиционных методов оптимизации.

Примеры

Среди всех трехмерных фигур заданного объема найдите ту, площадь поверхности которой минимальна. Здесь:
${\mathcal {F}}(\Omega )={\mbox{Area}}(\partial \Omega )$ ,
с
${\mathcal {G}}(\Omega )={\mbox{Volume}}(\Omega )={\mbox{const.}}$
Ответ, данный изопериметрическим неравенством , — это шар .
Найдите форму крыла самолета, обеспечивающую минимальное сопротивление . Здесь ограничениями могут быть прочность крыла или размеры крыла.
Найдите форму различных механических конструкций, которые могут противостоять заданному напряжению , имея при этом минимальную массу/объем.
Учитывая известный трехмерный объект с фиксированным источником излучения внутри, определите форму и размер источника на основе измерений, выполненных на части границы объекта. Формулировка этой обратной задачи с использованием метода наименьших квадратов приводит к задаче оптимизации формы.

Техники

Задачи оптимизации формы обычно решаются численно , с использованием итерационных методов . То есть человек начинает с первоначального предположения о форме, а затем постепенно развивает ее.пока он не примет оптимальную форму.

Следим за формой

Чтобы решить задачу оптимизации формы, нужно найти способ представить форму в памяти компьютера и проследить ее эволюцию. Обычно используют несколько подходов.

Один из подходов — следовать границам формы. Для этого можно выборка границы формы относительно плотная и однородная, то есть, чтобы рассмотреть достаточно точек, чтобы получить достаточно точный контур формы. Затем можно развивать форму, постепенно перемещая граничные точки. Это называется лагранжевым подходом .

Другой подход — рассмотреть функцию, определенную в прямоугольном прямоугольнике вокруг фигуры, которая положительна внутри фигуры, равна нулю на границе фигуры и отрицательна вне формы. Тогда можно будет развивать эту функцию вместо самой формы. Можно рассмотреть прямоугольную сетку на блоке и выполнить выборку функции в точках сетки. По мере развития формы точки сетки не меняются; изменяются только значения функции в точках сетки. Этот подход с использованием фиксированной сетки называется эйлеровым подходом . Идея использования функции для представления формы лежит в основе метода набора уровней .

Третий подход — рассматривать эволюцию формы как проблему потока. То есть можно представить, что форма сделана из пластического материала, постепенно деформирующегося так, что любую точку внутри или на границе формы всегда можно проследить до точки исходной формы взаимно однозначным образом. Математически, если $\Omega _{0}$ - это первоначальная форма, и $\Omega _{t}$ — форма в момент времени t , рассматриваются диффеоморфизмы

f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ for }}0\leq t\leq t_{0}.

Идея снова состоит в том, что формы — это сложные объекты, с которыми приходится иметь дело напрямую, поэтому манипулируйте ими с помощью функций.

Итерационные методы с использованием градиентов формы

Рассмотрим гладкое поле скоростей $V$ и семейство трансформаций $T_{s}$ исходного домена $\Omega _{0}$ под полем скоростей $V$ :

x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0

,

и обозначим

\Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.

Тогда Гато или производная формы ${\mathcal {F}}(\Omega )$ в $\Omega _{0}$ по форме это предел

d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}

если этот предел существует. Если, кроме того, производная линейна относительно $V$ , есть уникальный элемент $\nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})$ и

d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}

где $\nabla {\mathcal {F}}$ называется градиентом формы. Это дает естественное представление о градиентном спуске , где граница $\partial \Omega$ развивается в направлении отрицательного градиента формы, чтобы уменьшить значение функционала стоимости. Производные более высокого порядка могут быть определены аналогичным образом, что приводит к методам, подобным Ньютону.

Обычно градиентный спуск предпочтителен, даже если он требует большого количества итераций, поскольку может быть сложно вычислить производную второго порядка (то есть гессиан ) целевого функционала. ${\mathcal {F}}$ .

Если задача оптимизации формы имеет ограничения, то есть функционал ${\mathcal {G}}$ присутствует, необходимо найти способы конвертировать ограниченную задачу в неограниченную. Иногда могут сработать идеи, основанные на множителях Лагранжа , например метод сопряженного состояния .

Параметризация геометрии

Оптимизацию формы можно решить, используя стандартные методы оптимизации, если определена параметризация геометрии. Такая параметризация очень важна в области CAE, где целевые функции обычно представляют собой сложные функции, оцениваемые с использованием численных моделей (CFD, FEA,...). Удобный подход, подходящий для широкого класса задач, заключается в параметризации CAD-модели в сочетании с полной автоматизацией всех процессов, необходимых для вычисления функций (построение сетки, решение и обработка результатов). Морфирование сетки — правильный выбор для сложных задач, который решает типичные проблемы, связанные с повторным созданием сетки, такие как разрывы в вычисленных целевых и ограничительных функциях.

В этом случае параметризация определяется после этапа построения сетки, воздействуя непосредственно на числовую модель, используемую для расчета, которая изменяется с помощью методов обновления сетки. Для морфинга сетки доступно несколько алгоритмов ( деформация объемов , псевдотела , радиальные базисные функции ).Выбор подхода параметризации зависит главным образом от размера проблемы: подход САПР предпочтителен для моделей малого и среднего размера, тогда как подход морфинга сетки является лучшим (а иногда и единственно возможным) для больших и очень больших моделей. .Многокритериальная оптимизация Парето (NSGA II) может использоваться как мощный подход к оптимизации формы. В этом отношении подход к оптимизации по Парето демонстрирует полезные преимущества в методе проектирования, такие как эффект ограничения площади, который не может быть заявлен в других многокритериальных оптимизациях. Подход с использованием штрафной функции является эффективным методом, который можно использовать на первом этапе оптимизации. В этом методе задача проектирования формы с ограничениями адаптируется к задаче без ограничений с использованием ограничений в целевой функции в качестве штрафного коэффициента. В большинстве случаев штрафной коэффициент по времени зависит от величины изменения ограничения, а не от количества ограничений. В настоящей задаче оптимизации применяется метод реального кодирования GA. Поэтому расчеты основаны на реальных значениях переменных. ^[1]

См. также

Ссылки

^ Талебитоти, Р.; Шоджаифард, Миннесота; Ярмохаммадисатри, Садег (2015). «Оптимизация конструкции цилиндрического резервуара с использованием b-сплайновых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. doi : 10.1016/j.compfluid.2014.12.004 .

Источники

Аллер, Г. (2002) Оптимизация формы методом гомогенизации . Прикладные математические науки 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5
Ашок Д. Белегунду, Тирупати Р. Чандрупатла. (2003) Концепции и приложения оптимизации в Engineering Prentice Hall. ISBN 0-13-031279-7 .
член парламента Бендсё; Зигмунд О. (2003) Оптимизация топологии: теория, методы и приложения . Спрингер. ISBN 3-540-42992-1 .
Бургер, М.; Ошер, С.Л. (2005) Обзор методов набора уровней для обратных задач и оптимального проектирования . Европейский журнал прикладной математики, том 16, стр. 263–301.
Дельфур, MC; Золезио, Ж.-П. (2001) Формы и геометрии - анализ, дифференциальное исчисление и оптимизация . СИАМ. ISBN 0-89871-489-3 .
Хаслингер, Дж.; Мякинен, Р. (2003) Введение в оптимизацию формы: теория, аппроксимация и вычисления . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-536-9 .
Лапорт, Э.; Ле Таллек, П. (2003) Численные методы анализа чувствительности и оптимизации формы . Биркхойзер. ISBN 0-8176-4322-2 .
Мохаммади, Б.; Пиронно, О. (2001) Прикладная оптимизация формы жидкостей . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850743-7 .
Саймон Дж. (1980) Дифференцирование по области в краевых задачах . Число. Функц. Анальный. и Оптимизация, 2(7&8), 649-687 (1980).

Внешние ссылки

Группа Optopo — Моделирование и библиография группы Optopo в Политехнической школе (Франция). Метод гомогенизации и метод установки уровня.

[ssttds-1] Талебитоти, Р.; Шоджаифард, Миннесота; Ярмохаммадисатри, Садег (2015). «Оптимизация конструкции цилиндрического резервуара с использованием b-сплайновых кривых». Компьютер и жидкости . 109 : 100–112. doi : 10.1016/j.compfluid.2014.12.004 .

[1]