Вариационный многомасштабный метод

Вариационный многомасштабный метод (VMS) — это метод, используемый для построения моделей и численных методов для многомасштабных явлений. Структура VMS в основном применялась для разработки стабилизированных методов конечных элементов , в которых не обеспечивается устойчивость стандартного метода Галеркина как с точки зрения сингулярного возмущения, так и с точки зрения условий совместимости с пространствами конечных элементов.

Стабилизированные методы привлекают все большее внимание в вычислительной гидродинамике , поскольку они предназначены для устранения недостатков, типичных для стандартного метода Галеркина : задач о потоках с преобладанием адвекции и задач, в которых произвольная комбинация интерполяционных функций может привести к нестабильным дискретным формулировкам. Вехой в разработке стабилизированных методов для этого класса задач можно считать метод Петрова-Галеркина Streamline Upwind (SUPG), разработанный в 80-е годы Бруксом и Хьюзом для течений с преобладанием конвекции для несжимаемых уравнений Навье-Стокса. Вариационный многомасштабный метод (VMS) был предложен Хьюзом в 1995 году. В широком смысле, VMS — это метод, используемый для получения математических моделей и численных методов, способных улавливать многомасштабные явления; на самом деле его обычно применяют для задач с огромными диапазонами масштабов, которые разделены на несколько групп масштабов. Основная идея метода состоит в том, чтобы построить разложение решения по сумме как $u={\bar {u}}+u'$, где ${\bar {u}}$ обозначается как крупномасштабное решение и решается численно, тогда как $u'$ представляет собой мелкомасштабное решение и определяется аналитически, исключая его из задачи уравнения грубого масштаба.

Абстрактная структура

Абстрактная задача Дирихле с вариационной формулировкой

Рассмотрим открытую ограниченную область $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ с гладкой границей $\Gamma \subset \mathbb {R} ^{d-1}$, существование $d\geq 1$ количество измерений пространства. Обозначая ${\mathcal {L}}$ общий несимметричный дифференциальный оператор второго порядка, рассмотрим следующую краевую задачу :

${\text{find }}u:\Omega \to \mathbb {R} {\text{ such that}}:$

${\begin{cases}{\mathcal {L}}u=f&{\text{ in }}\Omega \\u=g&{\text{ on }}\Gamma \\\end{cases}}$

существование $f:\Omega \to \mathbb {R}$ и $g:\Gamma \to \mathbb {R}$ заданные функции. Позволять $H^{1}(\Omega )$ — гильбертово пространство интегрируемых с квадратом функций с интегрируемыми с квадратом производными:

$H^{1}(\Omega )=\{f\in L^{2}(\Omega ):\nabla f\in L^{2}(\Omega )\}.$

Рассмотрим пространство пробного решения ${\mathcal {V}}_{g}$ и пространство весовых функций ${\mathcal {V}}$ определяется следующим образом:

${\mathcal {V}}_{g}=\{u\in H^{1}(\Omega ):\,u=g{\text{ on }}\Gamma \},$

${\mathcal {V}}=H_{0}^{1}(\Omega )=\{v\in H^{1}(\Omega ):\,v=0{\text{ on }}\Gamma \}.$

Вариационная формулировка определенной выше краевой задачи гласит:

${\text{find }}u\in {\mathcal {V}}_{g}{\text{ such that: }}a(v,u)=f(v)\,\,\,\,\forall v\in {\mathcal {V}}$,

существование $a(v,u)$ билинейная форма, удовлетворяющая $a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)$, $f(v)=(v,f)$ ограниченный линейный функционал на ${\mathcal {V}}$ и $(\cdot ,\cdot )$ это $L^{2}(\Omega )$ внутренний продукт. Кроме того, двойственный оператор ${\mathcal {L}}^{*}$ из ${\mathcal {L}}$ определяется как дифференциальный оператор такой, что ${\mathcal {(}}v,{\mathcal {L}}u)=({\mathcal {L}}^{*}v,u)\,\,\,\forall u,\,v\in {\mathcal {V}}$.

Вариационный многомасштабный метод

Одномерное представление $u$, ${\bar {u}}$ и $u'$

В подходе VMS функциональные пространства разлагаются посредством многомасштабного разложения прямой суммы для обоих ${\mathcal {V}}_{g}$ и ${\mathcal {V}}$ на подпространства грубого и мелкого масштаба как:

${\mathcal {V}}={\bar {\mathcal {V}}}\oplus {\mathcal {V}}'$

и

${\mathcal {V}}_{g}={\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}\oplus {\mathcal {V}}_{g}'.$

Следовательно, перекрывающееся разложение суммы для обоих предполагается $u$ и $v$ как:

$u={\bar {u}}+u'{\text{ and }}v={\bar {v}}+v'$,

где ${\bar {u}}$ представляет собой грубые (разрешимые) масштабы и $u'$ мелкие с (подсеточные) масштабы, ${\bar {u}}\in {\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}$, ${u'}\in {{\mathcal {V}}_{g}}'$, ${\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}$ и $v'\in {\mathcal {V}}'$. В частности, относительно этих функций сделаны следующие предположения:

${\begin{aligned}{\bar {u}}=g&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V_{g}}}},\\u'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &u'\in {\mathcal {V_{g}}}',\\{\bar {v}}=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\v'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &v'\in {\mathcal {V}}'.\end{aligned}}$

Учитывая это, вариационную форму можно переписать в виде

$a({\bar {v}}+v',{\bar {u}}+u')=f({\bar {v}}+v')$

и, используя билинейность $a(\cdot ,\cdot )$ и линейность $f(\cdot )$,

$a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')+a(v',{\bar {u}})+a(v',u')=f({\bar {v}})+f(v').$

Последнее уравнение приводит к задаче грубого масштаба и задаче мелкого масштаба:

${\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}$

${\begin{aligned}&&a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')&=f({\bar {v}})&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}&\,\,\,\,{\text{coarse-scale problem}}\\&&a(v',{\bar {u}})+a(v',u')&=f(v')&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'&\,\,\,\,{\text{fine-scale problem}}\\\end{aligned}}$

или, что то же самое, учитывая, что $a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)$ и $f(v)=(v,f)$:

${\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}$

${\begin{aligned}&&({\bar {v}},{\mathcal {L}}{\bar {u}})+({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')&=({\bar {v}},f)&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\&&(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}})+(v',{\mathcal {L}}u')&=(v',f)&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'.\\\end{aligned}}$

Переставив вторую задачу как $(v',{\mathcal {L}}u')=-(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)$, соответствующее уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид:

${\begin{cases}{\mathcal {L}}u'=-({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)&{\text{ in }}\Omega \\u'=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}$

который показывает, что мелкомасштабное решение $u'$ зависит от сильной невязки уравнения грубого масштаба ${\mathcal {L}}{\bar {u}}-f$. Мелкомасштабное решение можно выразить через ${\mathcal {L}}{\bar {u}}-f$ через функцию Грина $G:\Omega \times \Omega \to \mathbb {R} {\text{ with }}G=0{\text{ on }}\Gamma \times \Gamma$:

$u'(y)=-\int _{\Omega }G(x,y)({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,\,\,\forall y\in \Omega .$

Позволять $\delta$ быть дельта-функцией Дирака , по определению функция Грина находится путем решения $\forall y\in \Omega$

${\begin{cases}{\mathcal {L}}^{*}G(x,y)=\delta (x-y)&{\text{ in }}\Omega \\G(x,y)=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}$

Более того, можно выразить $u'$ в терминах нового дифференциального оператора ${\mathcal {M}}$ аппроксимирующий дифференциальный оператор $-{\mathcal {L}}^{-1}$ как

$u'={\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f),$с ${\mathcal {M}}\approx -{\mathcal {L}}^{-1}$. Чтобы исключить явную зависимость в уравнении грубого масштаба от членов подсеточного масштаба, учитывая определение двойственного оператора, последнее выражение можно подставить во второй член уравнения грубого масштаба:

$({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)).$

С ${\mathcal {M}}$ является приближением $-{\mathcal {L}}^{-1}$, вариационная многомасштабная формулировка будет заключаться в нахождении приближенного решения ${\tilde {\bar {u}}}\approx {\bar {u}}$ вместо ${\bar {u}}$. Поэтому грубая задача переписывается как:

${\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\;\;\;a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=({\bar {v}},f)\;\;\;\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}},$

существование

$({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=-\int _{\Omega }\int _{\Omega }({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}})(y)G(x,y)({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,d\Omega _{y}.$

Представляем форму

$B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}))$

и функционал

$L({\bar {v}},G)=({\bar {v}},f)+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}f)$,

формулировка VMS уравнения грубого масштаба преобразуется в следующую:

${\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\,B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=L({\bar {v}},G)\,\,\,\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}}.$

Поскольку обычно невозможно определить оба ${\mathcal {M}}$ и $G$, обычно принимают приближение. В этом смысле пространства грубого масштаба ${\bar {\mathcal {V}}}_{g}$ и ${\bar {\mathcal {V}}}$ в качестве конечномерного пространства функций выбираются как:

${\bar {\mathcal {V}}}_{g}\equiv {\mathcal {V}}_{g_{h}}:={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}(\Omega )$

и

${\bar {\mathcal {V}}}\equiv {\mathcal {V}}_{h}:={\mathcal {V}}\cap X_{h}^{r}(\Omega ),$

существование $X_{r}^{h}(\Omega )$ пространство конечных элементов лагранжевых многочленов степени $r\geq 1$ поверх встроенной сетки $\Omega$ . Обратите внимание, что ${\mathcal {V}}_{g}'$ и ${\mathcal {V}}'$ являются бесконечномерными пространствами, а ${\mathcal {V}}_{g_{h}}$ и ${\mathcal {V}}_{h}$ являются конечномерными пространствами.

Позволять $u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}$ и $v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}$ быть соответственно аппроксимациями ${\tilde {\bar {u}}}$ и ${\bar {v}}$, и пусть ${\tilde {G}}$ и ${\tilde {\mathcal {M}}}$ быть соответственно аппроксимациями $G$ и ${\mathcal {M}}$. Проблема VMS с приближением конечных элементов гласит:

${\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:B(v_{h},u_{h},{\tilde {G}})=L(v_{h},{\tilde {G}})\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}$

или, что то же самое:

${\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:a(v_{h},u_{h})+({\mathcal {L}}^{*}v_{h},{\mathcal {\tilde {M}}}({\mathcal {L}}{u_{h}}-f))=(v_{h},f)\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}$

VMS и стабилизированные методы

Рассмотрим задачу адвекции-диффузии :

${\begin{cases}-\mu \Delta u+{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla u=f&{\text{ in }}\Omega \\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega \end{cases}}$

где $\mu \in \mathbb {R}$ коэффициент диффузии с $\mu >0$ и ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{d}$ – заданное поле адвекции. Позволять ${\mathcal {V}}=H_{0}^{1}(\Omega )$ и $u\in {\mathcal {V}}$, ${\boldsymbol {b}}\in [L^{2}(\Omega )]^{d}$, $f\in L^{2}(\Omega )$. Позволять ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{diff}+{\mathcal {L}}_{adv}$, существование ${\mathcal {L}}_{diff}=-\mu \Delta$ и ${\mathcal {L}}_{adv}={\boldsymbol {b}}\cdot \nabla$. Вариационная форма приведенной выше задачи гласит:

${\text{find}}\,u\in {\mathcal {V}}:\;\;\;a(v,u)=(f,v)\;\;\;\forall v\in {\mathcal {V}},$

существование

$a(v,u)=(\nabla v,\mu \nabla u)+(v,{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla u).$

Рассмотрим аппроксимацию методом конечных элементов в пространстве приведенной выше задачи, введя пространство ${\mathcal {V}}_{h}={\mathcal {V}}\cap X_{h}^{r}$ по сетке $\Omega _{h}=\bigcup _{k=1}^{N}\Omega _{k}$ сделанный из $N$ элементы, с $u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}$.

Стандартная формулировка Галёркина этой задачи гласит:

${\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}:\;\;\;a(v_{h},u_{h})=(f,v_{h})\;\;\;\forall v\in {\mathcal {V}},$

Рассмотрим сильно последовательный метод стабилизации описанной выше задачи в рамках метода конечных элементов:

${\text{ find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}:\,\,\,a(v_{h},u_{h})+{\mathcal {L}}_{h}(u_{h},f;v_{h})=(f,v_{h})\,\,\,\forall v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}$

для подходящей формы ${\mathcal {L}}_{h}$ что удовлетворяет:

${\mathcal {L}}_{h}(u,f;v_{h})=0\,\,\,\forall v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}.$

Форма ${\mathcal {L}}_{h}$ может быть выражено как $(\mathbb {L} v_{h},\tau ({\mathcal {L}}u_{h}-f))_{\Omega _{h}}$, существование $\mathbb {L}$ дифференциальный оператор, такой как:

$\mathbb {L} ={\begin{cases}+{\mathcal {L}}&\,\,\,&{\text{ Galerkin/least squares (GLS)}}\\+{\mathcal {L}}_{adv}&\,\,\,&{\text{ Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)}}\\-{\mathcal {L}}^{*}&\,\,\,&{\text{ Multiscale}}\\\end{cases}}$

и $\tau$ – параметр стабилизации. Стабилизированный метод с $\mathbb {L} =-{\mathcal {L}}^{*}$ обычно относится к многомасштабному стабилизированному методу . В 1995 году Томас Дж. Р. Хьюз показал, что стабилизированный метод многомасштабного типа можно рассматривать как модель подсеточного масштаба, где параметр стабилизации равен

$\tau =-{\tilde {\mathcal {M}}}\approx -{\mathcal {M}}$

или, с точки зрения функции Грина, как

$\tau \delta (x-y)={\tilde {G}}(x,y)\approx G(x,y),$

что дает следующее определение $\tau$:

$\tau ={\frac {1}{|\Omega _{k}|}}\int _{\Omega _{k}}\int _{\Omega _{k}}G(x,y)\,d\Omega _{x}\,d\Omega _{y}.$

Свойства параметров стабилизации

Для одномерной задачи адвекционной диффузии при соответствующем выборе базисных функций и $\tau$, VMS обеспечивает проекцию в аппроксимационном пространстве. Кроме того, основанное на сопряжении выражение для $\tau$ можно вывести,

$\tau _{e}=-{\frac {{\mathcal {L}}({\tilde {z}},u_{h})_{e}}{(\phi _{e}L_{h}(u_{h})),L^{*}({\tilde {z}}))_{e}}}$

где $\tau _{e}$ – параметр поэлементной стабилизации, ${\mathcal {L}}({\tilde {z}},u_{h})_{e}$ - поэлементный остаток и сопряженный ${\tilde {z}}$ проблема решается,

${\mathcal {a}}({\tilde {z}},v)+L_{h}({\tilde {z}},v)=\int _{\Omega _{e}}v\,dx$

Фактически, можно показать, что $\tau$ рассчитанное таким образом позволяет вычислить линейный функционал $\int _{\Omega }u\,dx$ точно.

VMS-моделирование турбулентности для моделирования крупных вихрей несжимаемых течений

Идея моделирования турбулентности VMS для моделирования больших вихрей ( LES ) несжимаемых уравнений Навье – Стокса была предложена Хьюзом и др. в 2000 году, и основная идея заключалась в использовании вместо классических методов фильтрации - вариационных проекций.

Уравнения несжимаемой жидкости Навье – Стокса.

Рассмотрим уравнения Навье–Стокса несжимаемой жидкости для ньютоновской жидкости постоянной плотности $\rho$ в домене $\Omega \in \mathbb {R} ^{d}$ с границей $\partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$, существование $\Gamma _{D}$ и $\Gamma _{N}$ участки границы, к которым Дирихле и Неймана ( соответственно граничные условия применяются $\Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset$):

${\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}$

существование ${\boldsymbol {u}}$ скорость жидкости, $p$ давление жидкости, ${\boldsymbol {f}}$ определенный срок принуждения, ${\boldsymbol {\hat {n}}}$ направленный наружу единичный вектор нормали к $\Gamma _{N}$, и ${\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)$ тензор вязкого напряжения, определяемый как:

${\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}}).$

Позволять $\mu$ быть динамической вязкостью жидкости, ${\boldsymbol {I}}$ второго порядка тождественный тензор и ${\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})$ тензор скорости деформации, определяемый как:

${\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})={\frac {1}{2}}((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T}).$

Функции ${\boldsymbol {g}}$ и ${\boldsymbol {h}}$ даны граничные данные Дирихле и Неймана, а ${\boldsymbol {u}}_{0}$ это начальное состояние .

Вариационная формулировка глобального пространства-времени

Чтобы найти вариационную формулировку уравнений Навье – Стокса, рассмотрим следующие бесконечномерные пространства:

${\mathcal {V}}_{g}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},$

${\mathcal {V}}_{0}=[H_{0}^{1}(\Omega )]^{d}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},$

${\mathcal {Q}}=L^{2}(\Omega ).$

Кроме того, пусть ${\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}={\mathcal {V}}_{g}\times {\mathcal {Q}}$ и ${\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}={\mathcal {V}}_{0}\times {\mathcal {Q}}$. Слабая форма нестационарно-несжимаемых уравнений Навье – Стокса имеет вид: данный ${\boldsymbol {u}}_{0}$,

$\forall t\in (0,T),\;{\text{find }}({\boldsymbol {u}},p)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ such that }}$

${\begin{aligned}{\bigg (}{\boldsymbol {v}},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})+c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})-b({\boldsymbol {v}},p)+b({\boldsymbol {u}},q)=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}\;\;\forall ({\boldsymbol {v}},q)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}\end{aligned}}$

где $(\cdot ,\cdot )$ представляет собой $L^{2}(\Omega )$ внутренний продукт и $(\cdot ,\cdot )_{\Gamma _{N}}$ тот $L^{2}(\Gamma _{N})$ внутренний продукт. Более того, билинейные формы $a(\cdot ,\cdot )$, $b(\cdot ,\cdot )$ и трехлинейная форма $c(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ определяются следующим образом:

${\begin{aligned}a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=&(\nabla {\boldsymbol {v}},\mu ((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T})),\\b({\boldsymbol {v}},q)=&(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}},q),\\c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})=&({\boldsymbol {v}},\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}).\end{aligned}}$

Метод конечных элементов для пространственной дискретизации и моделирования VMS-LES

Чтобы дискретизировать в пространстве уравнения Навье – Стокса, рассмотрим функциональное пространство конечных элементов

$X_{r}^{h}=\{u^{h}\in C^{0}({\overline {\Omega }}):u^{h}|_{k}\in \mathbb {P} _{r},\;\forall k\in \mathrm {T} _{h}\}$

кусочных лагранжевых полиномов степени $r\geq 1$ по домену $\Omega$ триангулированный с помощью сетки $\mathrm {T} _{h}$ из тетраэдров диаметров $h_{k}$, $\forall k\in \mathrm {T} _{h}$. Следуя подходу, показанному выше, давайте введем многомасштабное разложение пространства в прямую сумму ${\boldsymbol {\mathcal {V}}}$ который представляет собой либо ${\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}$ и ${\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}$:

${\boldsymbol {\mathcal {V}}}={\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}\oplus {\boldsymbol {\mathcal {V}}}',$

существование

${\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{g_{h}}\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{0_{h}}\times {\mathcal {Q}}$

конечномерное функциональное пространство, связанное с грубым масштабом , и

${\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{g}'\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{0}'\times {\mathcal {Q}}$

бесконечномерное функциональное пространство мелкого масштаба , с

${\mathcal {V}}_{g_{h}}={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}$,

${\mathcal {V}}_{0_{h}}={\mathcal {V}}_{0}\cap X_{r}^{h}$

и

${\mathcal {Q}}_{h}={\mathcal {Q}}\cap X_{r}^{h}$.

Разложение перекрывающейся суммы тогда определяется как:

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{h}+{\boldsymbol {u}}'{\text{ and }}p=p^{h}+p'\\&{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}^{h}+{\boldsymbol {v}}'\;{\text{ and }}q=q^{h}+q'\end{aligned}}$

Используя приведенное выше разложение в вариационной форме уравнений Навье – Стокса, можно получить уравнение грубого и мелкого масштаба; члены мелкого масштаба, входящие в уравнение грубого масштаба, интегрируются по частям , а переменные мелкого масштаба моделируются как:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}'\approx &-\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}),\\p'\approx &-\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}).\end{aligned}}$

В выражениях выше ${\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})$ и ${\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})$ являются остатками уравнения количества движения и уравнения неразрывности в сильных формах, определяемых как:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})=&\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}^{h}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})-{\boldsymbol {f}},\\{\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}^{h},\end{aligned}}$

при этом параметры стабилизации задаются равными:

${\begin{aligned}\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\bigg (}{\frac {\sigma ^{2}\rho ^{2}}{\Delta t^{2}}}+{\frac {\rho ^{2}}{h_{k}^{2}}}|{\boldsymbol {u}}^{h}|^{2}+{\frac {\mu ^{2}}{h_{k}^{4}}}C_{r}{\bigg )}^{-1/2},\\\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\frac {h_{k}^{2}}{\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})}},\end{aligned}}$

где $C_{r}=60\cdot 2^{r-2}$ — константа, зависящая от степени полинома $r$, $\sigma$ – константа, равная порядку формулы обратного дифференцирования (BDF), принятой в качестве схемы временного интегрирования, и $\Delta t$ это шаг по времени. Полудискретная вариационная многомасштабная многомасштабная формулировка (VMS-LES) уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости гласит: данный ${\boldsymbol {u}}_{0}$,

$\forall t\in (0,T),\;{\text{find }}{\boldsymbol {U}}^{h}=\{{\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g_{h}}{\text{ such that }}A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=F({\boldsymbol {V}}^{h})\;\;\forall {\boldsymbol {V}}^{h}=\{{\boldsymbol {v}}^{h},q^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0_{h}},$

существование

$A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})+A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h}),$

и

$F({\boldsymbol {V}}^{h})=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}.$

Формы $A^{NS}(\cdot ,\cdot )$ и $A^{VMS}(\cdot ,\cdot )$ определяются как:

${\begin{aligned}A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&{\bigg (}{\boldsymbol {v}}^{h},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})+c({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})-b({\boldsymbol {v}}^{h},p^{h})+b({\boldsymbol {u}}^{h},q^{h}),\\A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&\underbrace {{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}^{h}+\nabla q^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{SUPG}}-\underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{c}({\boldsymbol {u}}_{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}))+{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot (\nabla {\boldsymbol {u}}^{h})^{T},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{VMS}}-\underbrace {(\nabla {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})\otimes \tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}))} _{\text{LES}}.\end{aligned}}$

Из приведенных выше выражений видно, что:

• форма $A^{NS}(\cdot ,\cdot )$ содержит стандартные члены уравнений Навье–Стокса в вариационной формулировке;
• форма $A^{VMS}(\cdot ,\cdot )$ содержать четыре термина:

1. первый член — классический член стабилизации СУПГ;
2. второй член представляет собой дополнительный член стабилизации к СУПГ;
3. третий член – член стабилизации, типичный для моделирования VMS;
4. четвертый член характерен для моделирования LES и описывает перекрестное напряжение Рейнольдса.

См. также

• Уравнения Навье – Стокса.
• Моделирование больших вихрей
• Метод конечных элементов
• Формула обратного дифференцирования
• Вычислительная гидродинамика
• Формула Петрова–Галеркина, стабилизирующая давление, для уравнений Навье–Стокса несжимаемой жидкости