Kater's pendulum

Оригинальный маятник Катера, демонстрирующий использование, из статьи Катера 1818 года. маятника Период определялся путем сравнения его колебаний с маятником в точных часах, стоящих за ним. Прицел (слева) использовался, чтобы избежать ошибки параллакса .

— Маятник Катера это обратимый свободно качающийся маятник, изобретенный британским физиком и армейским капитаном Генри Катером в 1817 году и опубликованный 29 января 1818 года. для использования в качестве гравиметра для измерения местного ускорения силы тяжести . маятника центр тяжести и центр колебаний Его преимущество заключается в том, что, в отличие от предыдущих маятниковых гравиметров, не нужно определять , что обеспечивает большую точность. Примерно столетие, вплоть до 1930-х годов, маятник Катера и различные его усовершенствования оставались стандартным методом измерения силы земного притяжения при геодезических изысканиях. Сейчас он используется только для демонстрации принципов маятника.

Описание

Маятник можно использовать для измерения ускорения свободного падения g, поскольку при узких колебаниях период его качания T зависит только от g и его длины L :

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,$

Таким образом, измерив длину L и период T маятника, g можно вычислить .

Маятник Катера состоит из жесткого металлического стержня с двумя точками поворота, по одной на каждом конце стержня. Его можно подвешивать на любой оси и поворачивать. Он также имеет регулируемый груз, который можно перемещать вверх и вниз по перекладине, или один регулируемый шарнир для регулировки периодов качания. При использовании его поворачивают на одном шарнире и засекают период , а затем переворачивают и поворачивают на другом шарнире и засекают период. Подвижный груз (или ось) регулируется до тех пор, пока два периода не станут равными. В этот момент период T равен периоду «идеального» простого маятника, длина которого равна расстоянию между точками опоры. По периоду и измеренному расстоянию L между точками опоры ускорение свободного падения можно с большой точностью рассчитать по уравнению (1), приведенному выше.

Ускорение силы тяжести маятника Катера определяется выражением

$g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{\ell _{1}+\ell _{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{\ell _{1}-\ell _{2}}}}}$

где Т ₁ и Т ₂ - периоды времени колебаний при подвешивании на К ₁ и К ₂ соответственно, а ℓ ₁ и ℓ ₂ - расстояния ножевых кромок К ₁ и К ₂ от центра тяжести соответственно.

История

Измерение силы тяжести маятниками

Маятник Катера и подставка.

Первым человеком, обнаружившим, что гравитация меняется на поверхности Земли, был французский учёный Жан Рише в экспедицию в Кайенну , Французская Гвиана , который в 1671 году был отправлен Французской Академией наук , с заданием произвести измерения с помощью маятниковых часов . Благодаря наблюдениям, которые он сделал в следующем году, Ричер определил, что часы были 2 + 1/2 на минуты в день медленнее , чем в Париже, или, что эквивалентно длине маятника с колебанием в одну секунду, там было 1 + 1 ⁄ 4 парижских линии , или на 2,6 мм короче, чем в Париже. Ученые того времени осознали и доказали Исааком Ньютоном в 1687 году, что это произошло из-за того, что Земля была не идеальной сферой, а слегка сплюснутой ; на экваторе он был толще из-за вращения Земли. Поскольку поверхность в Кайенне находилась дальше от центра Земли, чем в Париже, гравитация там была слабее. После того, как было сделано это открытие, свободно качающиеся маятники стали использоваться в качестве прецизионных гравиметров , которые отправлялись в путешествия в разные части мира для измерения местного ускорения гравитации. Накопление данных географической гравитации привело к созданию все более точных моделей общей формы Земли.

Маятники настолько повсеместно использовались для измерения гравитации, что во времена Катера местная сила гравитации обычно выражалась не значением ускорения g, используемым сейчас, а длиной в этом месте секундного маятника , маятника с периодом две секунды, поэтому каждое колебание занимает одну секунду. Из уравнения (1) видно, что для секундного маятника длина просто пропорциональна g :

$g=\pi ^{2}L\,$

Погрешность маятников гравиметра

Во времена Катера период Т маятников можно было очень точно измерить, синхронизируя их с помощью прецизионных часов, устанавливаемых по прохождению звезд над головой. До открытия Катера точность измерений g была ограничена трудностью точного измерения другого фактора L - длины маятника. L в приведенном выше уравнении (1) представляла собой длину идеального математического «простого маятника», состоящего из точечной массы, качающейся на конце безмассового шнура. Однако «длину» реального маятника, качающегося твердого тела, известного в механике как составной маятник , определить труднее. В 1673 году голландский учёный Христиан Гюйгенс в своём математическом анализе маятников «Horologium Oscillatorium» показал, что настоящий маятник имеет тот же период, что и простой маятник с длиной, равной расстоянию между точкой поворота и точкой, называемой центром колебаний , которая маятника находится под центром тяжести и зависит от распределения массы по длине маятника. Проблема заключалась в том, что не было возможности точно определить положение центра колебаний реального маятника. Теоретически его можно было рассчитать по форме маятника, если бы металлические части имели одинаковую плотность, но качество металлургии и математические способности того времени не позволяли выполнить точный расчет.

Чтобы обойти эту проблему, большинство ранних исследователей гравитации, такие как Жан Пикард (1669 г.), Шарль Мари де ла Кондамин (1735 г.) и Жан-Шарль де Борда (1792 г.), аппроксимировали простой маятник, используя металлическую сферу, подвешенную на легком маятнике. проволока. Если проволока имела незначительную массу, центр колебаний был близок к центру тяжести сферы. Но даже точно определить центр тяжести сферы было сложно. Кроме того, этот тип маятника по своей сути не был очень точным. Сфера и проволока не раскачивались вперед и назад как единое целое, поскольку сфера приобретала небольшой угловой момент при каждом качании . Кроме того, проволока упруго растягивалась во время качания маятника, слегка изменяя L во время цикла.

Kater's solution

Однако в «Horologium Oscillatorium » Гюйгенс также доказал, что точка поворота и центр колебаний взаимозаменяемы. То есть, если любой маятник подвешен вверх тормашками от своего центра колебаний, он будет иметь тот же период качания, а новый центр колебаний будет старой точкой поворота. Расстояние между этими двумя сопряженными точками было равно длине простого маятника с тем же периодом.

В составе комитета, назначенного Королевским обществом в 1816 году для реформирования британских мер, Палата общин наняла Катера на точное определение длины секундного маятника в Лондоне. Он понял, что принцип Гюйгенса можно использовать для определения центра колебаний и, следовательно, длины L жесткого (составного) маятника. Если бы маятник подвешивался вверх тормашками за вторую точку поворота, которую можно было регулировать вверх и вниз на стержне маятника, а вторую ось регулировали до тех пор, пока маятник не имел бы тот же период, что и при качании правой стороной вверх от первой оси, вторая точка поворота будет находиться в центре колебаний, а расстояние между двумя точками поворота будет равно L .

Катер был не первым, кому пришла в голову эта идея. Французский математик Гаспар де Прони впервые предложил обратимый маятник в 1800 году, но его работа была опубликована только в 1889 году. В 1811 году Фридрих Боненбергер снова открыл его, но Катер самостоятельно изобрел его и первым применил его на практике.

Рисунок маятника Катера
(а) противоположные оси ножевого края, к которым подвешивается маятник
(b) груз точной регулировки перемещается с помощью регулировочного винта
(c) груз грубой регулировки, прикрепленный к штоку установочным винтом
(г) боб
(д) указатели для чтения

Маятник

Катер построил маятник, состоящий из латунного стержня длиной около 2 метров. 1 + 1/2 Ширина дюйма и толщина одна восьмая дюйма, с грузом (d) на одном конце. В качестве шарнира с низким коэффициентом трения он использовал пару коротких треугольных лезвий-ножей, прикрепленных к стержню. При использовании маятник подвешивался на настенном кронштейне, опираясь краями лезвий ножей на плоские агатовые пластины. Маятник имел два таких шарнира лезвия ножа (а) , обращенных друг к другу, на расстоянии примерно метра (40 дюймов) друг от друга, так что поворот маятника, когда он подвешивался на каждом шарнире, занимал примерно одну секунду.

Катер обнаружил, что регулировка одного из шарниров приводила к неточностям, из-за чего было трудно поддерживать точно параллельную ось обоих шарниров. Вместо этого он прикрепил лезвия ножа к стержню и отрегулировал периоды маятника с помощью небольшого подвижного груза (b,c) на валу маятника. Поскольку гравитация на Земле меняется максимум на 0,5%, а в большинстве мест гораздо меньше, вес пришлось лишь слегка отрегулировать. Перемещение веса к одному из шарниров уменьшило период подвешивания на этом шарнире и увеличило период подвешивания на другом шарнире. Это также имело то преимущество, что точное измерение расстояния между шарнирами нужно было выполнить только один раз.

Экспериментальная процедура

Для использования маятник подвешивался к настенному кронштейну, при этом шарниры лезвия ножа опирались на две небольшие горизонтальные агатовые пластины, перед точными маятниковыми часами для отсчета времени. Сначала его раскачивали на одной оси, и колебания определяли время, затем переворачивали и качали на другой оси, и колебания снова синхронизировали. Небольшой грузик (b) регулировали с помощью регулировочного винта, и процесс повторялся до тех пор, пока маятник не имел одинаковый период при качании на каждой оси. Поместив измеренный период T и измеренное расстояние между поворотными лопастями L в уравнение периода (1), g можно рассчитать очень точно.

Kater performed 12 trials. Он очень точно измерил период своего маятника, используя часовой маятник методом совпадений ; определить интервал между совпадениями , когда два маятника качались синхронно. Расстояние между поворотными лопастями он измерил с помощью микроскопа-компаратора с точностью до 10. ⁻⁴ дюйм (2,5 мкм). Как и в случае с другими измерениями гравитации с помощью маятника, ему пришлось внести небольшие поправки в результат с учетом ряда переменных факторов:

• конечная ширина качания маятника, что увеличивало период
• температура, из-за которой длина стержня менялась из-за теплового расширения.
• атмосферное давление, что уменьшило эффективную массу маятника за счет плавучести вытесненного воздуха, увеличив период
• высоте, что уменьшало силу гравитации по мере удаления от центра Земли. Измерения силы тяжести всегда привязаны к уровню моря .

Он представил свой результат как длину секундного маятника . После исправлений он обнаружил, что средняя длина маятника солнечных секунд в Лондоне, на уровне моря, при температуре 62 ° F (17 ° C), качающегося в вакууме, составила 39,1386 дюйма. Это эквивалентно ускорению свободного падения 9,81158 м/с. ² . Наибольшее отклонение его результатов от среднего составило 0,00028 дюйма (7,1 мкм). Это представляло собой точность измерения силы тяжести 0,7×10. ⁻⁵ (7 миллигалов ).

В 1824 году британский парламент сделал измерение Катера секундным маятником официальным резервным стандартом длины для определения ярда на случай, если прототип ярда будет разрушен.

Использовать

Гравиметр с вариантом маятника Репсольда

Значительное увеличение точности измерения силы тяжести, ставшее возможным благодаря маятнику Катера, сделало гравиметрию неотъемлемой частью геодезии . Чтобы быть полезным, необходимо было найти точное местоположение (широту и долготу) «станции», где проводились измерения силы тяжести, поэтому маятниковые измерения стали частью съемки . Маятники Катера использовались при великих исторических геодезических исследованиях большей части мира, проводившихся в XIX веке. В частности, маятники Катера использовались в Великой тригонометрической съемке Индии.

Реверсивные маятники оставались стандартным методом измерения абсолютной силы тяжести, пока их не вытеснили гравиметры свободного падения. в 1950-х годах

Маятник Репсольда – Бесселя

Маятник Репсольда.

Многократное определение времени каждого периода маятника Катера и корректировка весов до тех пор, пока они не станут равными, отнимали много времени и были подвержены ошибкам. Фридрих Бессель в 1826 году показал, что в этом нет необходимости. Поскольку периоды, измеренные от каждой точки поворота, T ₁ и T ₂ , близки по значению, период T эквивалентного простого маятника можно вычислить по ним:

$T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)$

Здесь $h_{1}\,$ и $h_{2}\,$ - это расстояния двух шарниров от центра тяжести маятника. Расстояние между шарнирами, $h_{1}+h_{2}\,$, можно измерить с большой точностью. $h_{1}\,$ и $h_{2}\,$, и, следовательно, их разница $h_{1}-h_{2}\,$, не может быть измерено с сопоставимой точностью. Их можно найти, балансируя маятник на острие ножа, чтобы найти его центр тяжести, и измеряя расстояния каждой оси от центра тяжести. Однако, поскольку $T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,$ намного меньше, чем $T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,$, второй член справа в приведенном выше уравнении мал по сравнению с первым, поэтому $h_{1}-h_{2}\,$ не обязательно определяться с высокой точностью, а описанной выше процедуры балансировки достаточно для получения точных результатов.

Поэтому маятник вообще не обязательно должен быть регулируемым, это может быть просто стержень с двумя шарнирами. Пока каждый шарнир близок к центру колебаний другого, поэтому два периода близки, период T эквивалентного простого маятника можно рассчитать с помощью уравнения (2), а силу тяжести можно рассчитать по T и L. с (1).

Кроме того, Бессель показал, что если маятник будет иметь симметричную форму, но иметь внутренний вес на одном конце, ошибка, вызванная эффектом сопротивления воздуха, будет компенсироваться. Кроме того, другую ошибку, вызванную конечным диаметром кромок поворотного ножа, можно устранить путем замены кромок ножей местами.

Бессель не сконструировал такой маятник, но в 1864 году Адольф Репсольд по контракту со Швейцарской геодезической комиссией разработал симметричный маятник длиной 56 см со сменными поворотными лопастями, с периодом около 3/4 ​ секунды . Маятник Репсольда широко использовался швейцарскими и российскими геодезическими агентствами, а также в Службе Индии . Другие широко используемые маятники этой конструкции были созданы Чарльзом Пирсом и К. Деффоржем.

Международная ассоциация геодезии

Конференция по измерению европейской дуги 1875 года рассмотрела вопрос о лучшем приборе для определения гравитации. Ассоциация приняла решение в пользу реверсивного маятника, и было решено повторить в Берлине, на станции, где Фридрих Вильгельм Бессель провел свои знаменитые измерения, определение силы тяжести с помощью приборов различного типа, применяемых в разных странах, чтобы сравнить их и, таким образом, получить уравнение их шкал после углубленного обсуждения, в котором принял участие американский ученый Чарльз Сандерс Пирс . Действительно, поскольку фигуру Земли можно было определить по изменениям длины секундного маятника , Береговой службы США весной 1875 года руководство дало Чарльзу Сандерсу Пирсу указание отправиться в Европу с целью проведения экспериментов с маятником на главных начальных станциях. операции такого рода, чтобы привести определения сил гравитации в Америке в связь с таковыми в других частях мира; а также с целью тщательного изучения методов проведения этих исследований в разных странах Европы.

Определение силы тяжести обратимым маятником допускало ошибки двух типов. С одной стороны, сопротивление воздуха, а с другой стороны, движения, которые колебания маятника сообщали плоскости его подвеса. Эти движения были особенно важны для аппарата, сконструированного братьями Репсольдом по указаниям Бесселя, поскольку маятник имел большую массу, чтобы противодействовать действию вязкости воздуха. Пока Эмиль Плантамур проводил серию экспериментов с этим устройством, Адольф Хирш нашел способ продемонстрировать движение плоскости подвеса маятника с помощью хитроумного процесса оптического усиления. Исаак-Шарль Элизе Селлерье, математик из Женевы, и Чарльз Сандерс Пирс независимо разработали поправочную формулу, которая позволила использовать наблюдения, сделанные с помощью гравиметра этого типа.

Президент Постоянной комиссии по измерению европейской дуги с 1874 по 1886 год, Карлос Ибаньес Ибаньес де Иберо стал первым президентом Международной геодезической ассоциации (1887–1891) после смерти Иоганна Якоба Байера . Под председательством Ибаньеса Международная геодезическая ассоциация приобрела глобальное измерение с присоединением США , Мексики , Чили , Аргентины и Японии . В результате работ Международной геодезической ассоциации в 1901 году Фридрих Роберт Гельмерт нашел, главным образом гравиметрическим путем, параметры эллипсоида , удивительно близкие к реальности.

Внешние ссылки

• Точное измерение g с помощью маятника Катера, Университет Шеффилда. Выведены уравнения.
• Катер, Генри (июнь 1818 г.) Отчет об экспериментах по определению продолжительности секунд колебаний маятника на широте Лондона, The Edinburgh Review, Vol. 30, стр.407 Содержит подробное описание эксперимента, описание маятника, определение значения, интерес французских учёных.