Конформная сварка

В математике геометрической конформная сварка ( сшивание или склеивание ) — это процесс в теории функций для создания римановой поверхности путем соединения двух римановых поверхностей, каждая с удаленным диском, вдоль их граничных окружностей. Эту задачу можно свести к поиску однолистных голоморфных отображений f , g единичного круга и его дополнения в расширенную комплексную плоскость, допускающих непрерывные расширения до замыкания своих областей, таких, что образы являются дополнительными жордановыми областями и таких, что на единичной окружности они отличаются данным квазисимметричным гомеоморфизмом . Известно несколько доказательств с использованием различных методов, включая уравнение Бельтрами , преобразование Гильберта на окружности и элементарные методы аппроксимации. Шэрон и Мамфорд (2006) описывают первые два метода конформной сварки, а также предоставляют численные расчеты и приложения для анализа форм на плоскости.

Сварка по уравнению Бельтрами

Этот метод был впервые предложен Пфлюгером (1960) .

Если f — диффеоморфизм окружности, расширение Александера дает возможность расширить f до диффеоморфизма единичного круга D :

$\displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}$

где ψ — гладкая функция со значениями в [0,1], равная 0 вблизи 0 и 1 вблизи 1, и

$\displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}$

причем g (θ + 2π) = g (θ) + 2π.

Расширение F можно продолжить на любой диск большего размера | г | < R с R > 1. Соответственно в единичном диске

$\displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}$

Теперь расширим µ до коэффициента Бельтрами на всем C, установив его равным 0 для | г | ≥ 1. Пусть G — соответствующее решение уравнения Бельтрами:

$\displaystyle {G_{\overline {z}}=\mu G_{z}.}$

Пусть F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) для | г | ≤ 1 и F ₂ ( z ) знак равно грамм ( z ) за | г | ≥ 1. Таким образом, F ₁ и F ₂ — однолистные голоморфные отображения | г | < 1 и | г | > 1 внутри и снаружи жордановой кривой. Они непрерывно продолжаются до гомеоморфизмов f _i единичной окружности на жордановую кривую на границе. По своей конструкции они удовлетворяют конформные условия сварки:

$\displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}$

Сварка с использованием преобразования Гильберта на окружности

Использование преобразования Гильберта для установления конформной сварки впервые было предложено грузинскими математиками Д. Г. Манджавидзе и Б. В. Хведелидзе в 1958 году. Подробное изложение было дано тогда же Ф. Д. Гаховым и изложено в его классической монографии ( Гахов (1990) ).

Пусть e _n (θ) = e ^{в θ} — стандартный ортонормированный базис L ² ( Т ). Пусть Н ² ( T ) — пространство Харди , замкнутое подпространство, натянутое на с _en n ≥ 0. Пусть P — ортогональный проектор на пространство Харди и положим T = 2 P - I . Оператор H = iT представляет собой преобразование Гильберта на окружности и может быть записан как сингулярный интегральный оператор .

Учитывая диффеоморфизм f единичной окружности, задача состоит в том, чтобы определить две однолистные голоморфные функции

$\displaystyle {f_{-}(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots ,\,\,\,\,\,f_{+}(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots ,}$

определенное в |z| < 1 и |z| > 1, и оба плавно продолжаются до единичной окружности, отображаясь на жорданову область и ее дополнение, такие, что

$\displaystyle {f_{-}(e^{i\theta })=f_{+}(f(e^{i\theta })).}$

Пусть F — ограничение f ₊ на единичную окружность. Затем

$\displaystyle {TF=-F+2e^{i\theta }}$

и

$\displaystyle {TF\circ f=F\circ f.}$

Следовательно

$\displaystyle {T(F\circ f)\circ f^{-1}-T(F)=2F-2e^{i\theta }.}$

Если V ( f ) обозначает ограниченный обратимый оператор на L ² индуцированный диффеоморфизмом f , то оператор

$\displaystyle {K_{f}=V(f)PV(f)^{-1}-P}$

компактен, на самом деле он задается оператором с гладким ядром, поскольку P и T задаются сингулярными интегральными операторами. Приведенное выше уравнение затем сводится к

$\displaystyle {(I-K_{f})F=e^{i\theta }.}$

Оператор I − K _f является фредгольмовым оператором нулевого индекса. Оно имеет нулевое ядро ​​и поэтому обратимо. Фактически элемент ядра будет состоять из пары голоморфных функций на D и D. ^с которые имеют гладкие граничные значения на окружности, связанной f . Поскольку голоморфная функция на D ^с обращается в нуль в точке ∞, положительные степени этой пары также дают решения, которые линейно независимы, что противоречит тому факту, что I − K _f является фредгольмовым оператором. Таким образом, приведенное выше уравнение имеет единственное решение F , которое является гладким и из которого f _± может быть восстановлено, обратив описанные выше шаги. Действительно, если посмотреть на уравнение, которому удовлетворяет логарифм производной F , следует, что F не имеет нигде исчезающей производной на единичной окружности. Более того, F взаимно однозначно на окружности, поскольку если он принимает значение a в разных точках z ₁ и z ₂ , то логарифм R ( z ) = ( F ( z ) − a )/( z - z ₁ ) ( z − z ₂ ) будет удовлетворять интегральному уравнению, о котором известно, что оно не имеет ненулевых решений. Учитывая эти свойства на единичной окружности, требуемые свойства f _± следуют из принципа аргумента .

Ссылки

• Пфлюгер, А. (1960), «О построении римановых поверхностей путем адгезии», J. Indian Math. , 24 : 401–412
• Лехто, О.; Виртанен, К.И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости , Springer-Verlag, с. 92
• Лехто, О. (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, стр. 100–101, ISBN  0-387-96310-3
• Шэрон, Э.; Мамфорд, Д. (2006), «Двумерный анализ с использованием конформного отображения» (PDF) , International Journal of Computer Vision , 70 : 55–75, doi : 10.1007/s11263-006-6121-z , заархивировано из оригинала ( PDF) от 3 августа 2012 г. , получено 1 июля 2012 г.
• Гахов Ф.Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN  0-486-66275-6
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0198533497