Нулевая бесконечность

В теоретической физике нулевая бесконечность — это область на границе асимптотически плоского пространства-времени . В общей теории относительности прямые пути в пространстве-времени, называемые геодезическими , могут быть пространственно-подобными, времяподобными или светоподобными (также называемыми нулевыми). Различие между этими путями связано с тем, является ли пространственно-временной интервал пути положительным (соответствует пространственному), отрицательным (соответствует времениподобному) или нулевым (соответствует нулю). Светоподобные пути физически соответствуют физическим явлениям, которые распространяются в пространстве со скоростью света , таким как электромагнитное излучение и гравитационное излучение . Граница плоского пространства-времени известна как конформная бесконечность, и ее можно рассматривать как конечные точки всех геодезических, уходящих в бесконечность. ^[1] Область нулевой бесконечности соответствует концу всех нулевых геодезических в плоском пространстве Минковского . Различные области конформной бесконечности чаще всего визуализируются на диаграмме Пенроуза , где они составляют границу диаграммы. Существуют две отдельные области нулевой бесконечности, называемые прошлой и будущей нулевой бесконечностью, которые можно обозначить буквой « I » как ${\mathcal {I}}^{+}$ и ${\mathcal {I}}^{-}$ . Эти две области часто называют «скрип-плюс» и «скри-минус» соответственно. ^[2] Геометрически каждая из этих областей фактически имеет структуру топологически цилиндрической трехмерной области.

Изучение нулевой бесконечности возникло из-за необходимости описать глобальные свойства пространства-времени. В то время как ранние методы общей теории относительности были сосредоточены на локальной структуре, построенной вокруг локальных систем отсчета, работы, начавшиеся в 1960-х годах, начали анализировать глобальные описания общей теории относительности, анализируя структуру пространства-времени в целом. ^[3] Первоначальное исследование нулевой бесконечности началось с работы Роджера Пенроуза по анализу пространства-времени черной дыры . ^[4] Нулевая бесконечность — полезный математический инструмент для анализа поведения в асимптотически плоских пространствах, когда необходимо определить пределы нулевых путей. Например, пространство-время черной дыры асимптотически плоское, и нулевую бесконечность можно использовать для характеристики излучения в пределе, когда оно распространяется наружу от черной дыры. ^[5] Нулевая бесконечность также может рассматриваться в контексте пространства-времени, которое не обязательно асимптотически плоское, например, в космологии FLRW. ^[2]

Конформная компактификация в пространстве-времени Минковского

Метрика равна плоского пространства-времени Минковского в сферических координатах $ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$ . Конформная компактификация вызывает преобразование, которое сохраняет углы, но изменяет локальную структуру метрики и добавляет границу многообразия, делая его компактным. ^[6] Для заданной метрики $g_{ij}$ , конформная компактификация масштабирует всю метрику на некоторый конформный коэффициент такой, что ${\overline {g_{ij}}}=\Omega ^{2}g_{ij}$ так, что все точки, находящиеся на бесконечности, масштабируются до конечного значения. ^[3] Обычно радиальные и временные координаты преобразуются в нулевые координаты. $u=t+r$ и $v=t-r$ . Затем они преобразуются как $p=\tan ^{-1}u$ и $q=\tan ^{-1}v$ чтобы использовать свойства обратной касательной функции для отображения бесконечности в конечное значение. ^[2] Типичные временные и пространственные координаты можно представить как $T=p+q$ и $R=p-q$ . После этих преобразований координат вводится конформный множитель, приводящий к новой нефизической метрике пространства Минковского: ^[7]

$ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin ^{2}R)d\Omega ^{2}$ .

Это метрика на диаграмме Пенроуза , проиллюстрированная. В отличие от исходной метрики, эта метрика описывает многообразие с краем, заданным ограничениями на $R$ и $T$ . На этой границе есть две нулевые поверхности , соответствующие прошлой и будущей нулевой бесконечности. В частности, будущая нулевая бесконечность состоит из всех точек, где $T=\pi -R$ и $0<R<\pi$ , а прошлая нулевая бесконечность состоит из всех точек, где $T=R-\pi$ и $0<R<\pi$ . ^[2]

Судя по координатным ограничениям, нулевая бесконечность представляет собой трехмерную нулевую поверхность с цилиндрической топологией. $\mathbb {R} \times S^{2}$ . ^[1]^[8]

Приведенная здесь конструкция характерна для плоской метрики пространства Минковского. Однако такая конструкция обобщается и на другие асимптотически плоские пространства. В таких сценариях нулевая бесконечность все еще существует в виде трехмерной нулевой поверхности на границе пространственно-временного многообразия, но общая структура многообразия может быть другой. Например, в пространстве Минковского все нулевые геодезические начинаются в прошлой нулевой бесконечности и заканчиваются в будущей нулевой бесконечности. Однако в пространстве-времени черной дыры черной дыры Шварцшильда горизонт событий ведет к двум возможностям: геодезические могут закончиться на нулевой бесконечности, но могут также закончиться на будущей сингулярности черной дыры. Наличие нулевой бесконечности (наряду с другими областями конформной бесконечности) гарантирует геодезическое завершение на пространственно-временном многообразии, где все геодезические заканчиваются либо в истинной сингулярности, либо пересекают границу бесконечности. ^[7]

Другие физические приложения

Симметрии нулевой бесконечности характерно отличаются от симметрий типичных областей пространства-времени. В то время как симметрии плоского пространства-времени Минковского задаются группой Пуанкаре , симметрии нулевой бесконечности вместо этого задаются группой Бонди-Мецнера-Сакса (BMS) . ^[9]^[10] Работа Бонди , Мецнера и Сакса охарактеризовала гравитационное излучение с помощью анализа, связанного с нулевой бесконечностью, тогда как предыдущие работы, такие как структура ADM, имели дело с характеристиками пространственноподобной бесконечности. ^[8] В последние годы возрос интерес к изучению гравитонов на границе нулевой бесконечности. ^[8]^[11] Используя группу BMS, кванты на нулевой бесконечности можно охарактеризовать как безмассовые частицы со спином 2 , что согласуется с квантами общей теории относительности, являющимися гравитонами. ^[8]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511524646 . ISBN 978-0-521-09906-6 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кэрролл, Шон М. (2019). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2019sgai.book.....C . дои : 10.1017/9781108770385 . ISBN 9781108488396 . S2CID 126323605 . Проверено 8 мая 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Миснер, CW ; Торн, Канзас ; Уилер, Дж.А. ; Чандрасекхар, С. (1 августа 1974 г.). « Гравитация ». Физика сегодня . 27 (8): 47–48. Бибкод : 1974ФТ....27ч..47М . дои : 10.1063/1.3128805 . ISSN 0031-9228 .
^ Пенроуз, Роджер (18 января 1965 г.). «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени» . Письма о физических отзывах . 14 (3): 57–59. Бибкод : 1965PhRvL..14...57P . doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
^ Ленер, Луис (декабрь 1998 г.). Гравитационное излучение пространства-времени черной дыры (кандидатская диссертация). Университет Питтсбурга. Бибкод : 1998PhDT.........6L .
^ Стюарт, Джон (1991). Расширенная общая теория относительности . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511608179 . ISBN 978-0-521-44946-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Д'Инверно, РА (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна (1-е изд.). Кларендон Пресс. ISBN 978-0198596868 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Аштекар, Абхай (2015). «Геометрия и физика нулевой бесконечности» . Обзоры по дифференциальной геометрии . 20 (1): 99–122. arXiv : 1409.1800 . дои : 10.4310/SDG.2015.v20.n1.a5 . ISSN 2164-4713 . S2CID 54611087 .
^ Бонди, Х .; Ван дер Бург, MGJ; Мецнер, А. (21 августа 1962 г.). «Гравитационные волны в общей теории относительности, VII. Волны из осесимметричной изолированной системы» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 269 (1336): 21–52. Бибкод : 1962RSPSA.269...21B . дои : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN 0080-4630 . S2CID 120125096 .
^ Дрей, Т; Штребель, М. (11 января 1984 г.). «Угловой момент на нулевой бесконечности» . Классическая и квантовая гравитация . 1 (1): 15–26. Бибкод : 1984CQGra...1...15D . дои : 10.1088/0264-9381/1/1/005 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250751212 .
^ Адамо, Тим; Казали, Эдуардо; Скиннер, Дэвид (15 апреля 2014 г.). «Амбитвисторные струны и уравнения рассеяния на одной петле» . Журнал физики высоких энергий . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Бибкод : 2014JHEP...04..104A . дои : 10.1007/JHEP04(2014)104 . ISSN 1029-8479 . S2CID 119194796 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511524646 . ISBN 978-0-521-09906-6 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кэрролл, Шон М. (2019). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2019sgai.book.....C . дои : 10.1017/9781108770385 . ISBN 9781108488396 . S2CID 126323605 . Проверено 8 мая 2023 г.

[:5-3] Jump up to: ^а ^б Миснер, CW ; Торн, Канзас ; Уилер, Дж.А. ; Чандрасекхар, С. (1 августа 1974 г.). « Гравитация ». Физика сегодня . 27 (8): 47–48. Бибкод : 1974ФТ....27ч..47М . дои : 10.1063/1.3128805 . ISSN 0031-9228 .

[:8-4] Пенроуз, Роджер (18 января 1965 г.). «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени» . Письма о физических отзывах . 14 (3): 57–59. Бибкод : 1965PhRvL..14...57P . doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .

[:10-5] Ленер, Луис (декабрь 1998 г.). Гравитационное излучение пространства-времени черной дыры (кандидатская диссертация). Университет Питтсбурга. Бибкод : 1998PhDT.........6L .

[:6-6] Стюарт, Джон (1991). Расширенная общая теория относительности . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511608179 . ISBN 978-0-521-44946-5 .

[:7-7] Jump up to: ^а ^б Д'Инверно, РА (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна (1-е изд.). Кларендон Пресс. ISBN 978-0198596868 .

[:4-8] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Аштекар, Абхай (2015). «Геометрия и физика нулевой бесконечности» . Обзоры по дифференциальной геометрии . 20 (1): 99–122. arXiv : 1409.1800 . дои : 10.4310/SDG.2015.v20.n1.a5 . ISSN 2164-4713 . S2CID 54611087 .

[:2-9] Бонди, Х .; Ван дер Бург, MGJ; Мецнер, А. (21 августа 1962 г.). «Гравитационные волны в общей теории относительности, VII. Волны из осесимметричной изолированной системы» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 269 (1336): 21–52. Бибкод : 1962RSPSA.269...21B . дои : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN 0080-4630 . S2CID 120125096 .

[:3-10] Дрей, Т; Штребель, М. (11 января 1984 г.). «Угловой момент на нулевой бесконечности» . Классическая и квантовая гравитация . 1 (1): 15–26. Бибкод : 1984CQGra...1...15D . дои : 10.1088/0264-9381/1/1/005 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250751212 .

[:9-11] Адамо, Тим; Казали, Эдуардо; Скиннер, Дэвид (15 апреля 2014 г.). «Амбитвисторные струны и уравнения рассеяния на одной петле» . Журнал физики высоких энергий . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Бибкод : 2014JHEP...04..104A . дои : 10.1007/JHEP04(2014)104 . ISSN 1029-8479 . S2CID 119194796 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]