Неограниченное внутреннее пространство продукта

В математике , в области функционального анализа , неопределенное пространство внутреннего продукта.

$(K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)$

представляет собой бесконечномерное комплексное векторное пространство $K$ оснащен как неопределенным внутренним произведением

$\langle \cdot ,\,\cdot \rangle \,$

и положительный полуопределенный внутренний продукт

$(x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle ,$

где метрический оператор $J$ является эндоморфизмом ​ $K$ подчиняясь

$J^{3}=J.\,$

Неопределенное пространство внутреннего продукта само по себе не обязательно является гильбертовым пространством ; но существование положительного полуопределенного внутреннего продукта на $K$ подразумевает, что можно сформировать факторпространство , в котором существует положительно определенный внутренний продукт. Учитывая достаточно сильную топологию этого факторпространства, оно имеет структуру гильбертова пространства, и многие объекты, представляющие интерес для типичных приложений, попадают в это факторпространство.

Неопределенное пространство внутреннего продукта называется пространством Крейна (или $J$-пробел ), если $(x,\,y)$ положительно определен и $K$ обладает мажорантной топологией . Пространства Крейна названы в честь советского математика Марка Григорьевича Крейна .

Внутренние произведения и метрический оператор

Рассмотрим комплексное векторное пространство $K$ снабжен неопределенной эрмитовой формой $\langle \cdot ,\,\cdot \rangle$. В теории пространств Крейна такую ​​эрмитову форму принято называть неопределенным скалярным произведением . Следующие подмножества определяются в терминах квадратичной нормы, индуцированной неопределенным скалярным произведением:

$K_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle =0\}$ («нейтральный»)

$K_{++}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle >0\}$ («положительный»)

$K_{--}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle <0\}$ («негативный»)

$K_{+0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{++}\cup K_{0}$ («неотрицательный»)

$K_{-0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{--}\cup K_{0}$ («неположительный»)

Подпространство ​ $L\subset K$ лежащий внутри $K_{0}$ называется нейтральным подпространством . Аналогично, подпространство, лежащее внутри $K_{+0}$ ( $K_{-0}$) называется положительным ( отрицательным ) полуопределенным , а подпространство, лежащее внутри $K_{++}\cup \{0\}$ ( $K_{--}\cup \{0\}$) называется положительно ( отрицательно ) определенным . Подпространство в любой из вышеперечисленных категорий можно назвать полуопределенным , а любое подпространство, которое не является полуопределенным, называется неопределенным .

Пусть наше неопределенное внутреннее пространство продукта также будет снабжено разложением на пару подпространств $K=K_{+}\oplus K_{-}$, называемое фундаментальным разложением , которое учитывает сложную структуру на $K$. Следовательно, соответствующие операторы линейного проектирования $P_{\pm }$ совпадают с тождеством на $K_{\pm }$ и уничтожить $K_{\mp }$, и они коммутируют с умножением на $i$ сложной структуры. Если это разложение таково, что $K_{+}\subset K_{+0}$ и $K_{-}\subset K_{-0}$, затем $K$ называется неопределенным пространством внутреннего продукта ; если $K_{\pm }\subset K_{\pm \pm }\cup \{0\}$, затем $K$ называется пространством Крейна при условии существования мажорантной топологии на $K$ (локально выпуклая топология, в которой скалярный продукт совместно непрерывен).

Оператор ​ $J\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ P_{+}-P_{-}$ называется метрическим оператором (реальной фазы) или фундаментальной симметрией и может использоваться для определения внутреннего произведения Гильберта $(\cdot ,\,\cdot )$:

$(x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle =\langle x,\,P_{+}y\rangle -\langle x,\,P_{-}y\rangle$

В пространстве Крейна внутреннее произведение Гильберта положительно определено, что дает $K$ структура гильбертова пространства (при подходящей топологии). При более слабом ограничении $K_{\pm }\subset K_{\pm 0}$, некоторые элементы нейтрального подпространства $K_{0}$ может все еще быть нейтральным по внутреннему продукту Гильберта, но многие из них таковыми не являются. Например, подпространства $K_{0}\cap K_{\pm }$ являются частью нейтрального подпространства скалярного произведения Гильберта, поскольку элемент $k\in K_{0}\cap K_{\pm }$ подчиняется $(k,\,k)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle k,\,Jk\rangle =\pm \langle k,\,k\rangle =0$. Но элемент $k=k_{+}+k_{-}$ ( $k_{\pm }\in K_{\pm }$), который случайно лежит в $K_{0}$ потому что $\langle k_{-},\,k_{-}\rangle =-\langle k_{+},\,k_{+}\rangle$ будет иметь положительную квадратичную норму относительно внутреннего произведения Гильберта.

Отметим, что определение неопределенного скалярного произведения как эрмитовой формы подразумевает, что:

$\langle x,\,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\langle x+y,\,x+y\rangle -\langle x-y,\,x-y\rangle )$

(Примечание: это неверно для эрмитовых форм с комплексными значениями. Это дает только действительную часть.)Следовательно, неопределенный внутренний продукт любых двух элементов $x,\,y\in K$ которые отличаются только элементом $x-y\in K_{0}$ равна квадратной норме их среднего ${\frac {x+y}{2}}$. Следовательно, скалярный продукт любого ненулевого элемента $k_{0}\in (K_{0}\cap K_{\pm })$ с любым другим элементом $k_{\pm }\in K_{\pm }$ должно быть равно нулю, иначе мы сможем построить некоторые $k_{\pm }+2\lambda k_{0}$ чей внутренний продукт с $k_{\pm }$ имеет неправильный знак, чтобы быть квадратной нормой $k_{\pm }+\lambda k_{0}\in K_{\pm }$.

Подобные аргументы относительно внутреннего продукта Гильберта (который, как можно показать, является эрмитовой формой, что оправдывает название «внутренний продукт») приводят к выводу, что его нейтральное пространство в точности $K_{00}=(K_{0}\cap K_{+})\oplus (K_{0}\cap K_{-})$, что элементы этого нейтрального пространства имеют нулевое гильбертово скалярное произведение с любым элементом $K$и что скалярное произведение Гильберта положительно полуопределено. Таким образом, он порождает положительно определенный внутренний продукт (также обозначаемый $(\cdot ,\,\cdot )$) на факторпространстве ${\tilde {K}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K/K_{00}$, что является прямой суммой ${\tilde {K}}_{\pm }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{\pm }/(K_{0}\cap K_{\pm })$. Таким образом $({\tilde {K}},\,(\cdot ,\,\cdot ))$ является гильбертовым пространством (при подходящей топологии).

Свойства и применение

Пространства Крейна естественным образом возникают в ситуациях, когда неопределенное скалярное произведение обладает аналитически полезным свойством (таким как лоренц-инвариантность ), которого нет у гильбертова внутреннего произведения. Также часто один из двух внутренних продуктов, обычно неопределенный, определяется глобально на многообразии, а другой зависит от координат и, следовательно, определяется только на локальном участке.

Во многих приложениях положительный полуопределенный внутренний продукт $(\cdot ,\,\cdot )$ зависит от выбранного фундаментального разложения, которое, вообще говоря, не является единственным. Но можно показать (см., например, предложения 1.1 и 1.2 в статье Х. Лангера ниже), что любые два метрических оператора $J$ и $J^{\prime }$ совместим с тем же неопределенным внутренним произведением на $K$ результат в гильбертовых пространствах ${\tilde {K}}$ и ${\tilde {K}}^{\prime }$ чьи разложения ${\tilde {K}}_{\pm }$ и ${\tilde {K}}_{\pm }^{\prime }$ иметь равные размеры. Хотя скалярные произведения Гильберта в этих факторпространствах обычно не совпадают, они индуцируют одинаковые квадратные нормы в том смысле, что квадратные нормы классов эквивалентности ${\tilde {k}}\in {\tilde {K}}$ и ${\tilde {k}}^{\prime }\in {\tilde {K}}^{\prime }$ в который данное $k\in K$ если они равны. Все топологические понятия в пространстве Крейна, такие как непрерывность , замкнутость множеств и спектр оператора на ${\tilde {K}}$, понимаются относительно этой топологии гильбертова пространства .

Изотропная часть и вырожденные подпространства

Позволять $L$, $L_{1}$, $L_{2}$ быть подпространствами $K$. Подпространство ​ $L^{[\perp ]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,y\rangle =0$ для всех $y\in L\}$ называется компаньоном ортогональным $L$, и $L^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L\cap L^{[\perp ]}$ является изотропной частью $L$. Если $L^{0}=\{0\}$, $L$ называется невырожденным ; в противном случае оно вырождено . Если $\langle x,\,y\rangle =0$ для всех $x\in L_{1},\,\,y\in L_{2}$, то два подпространства называются ортогональными , и мы пишем $L_{1}[\perp ]L_{2}$. Если $L=L_{1}+L_{2}$ где $L_{1}[\perp ]L_{2}$, мы пишем $L=L_{1}[+]L_{2}$. Если к тому же это прямая сумма , то пишем $L=L_{1}[{\dot {+}}]L_{2}$.

Понтрягинское пространство

Если $\kappa :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty$, пространство Крейна $(K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)$ называется пространством Понтрягина или $\Pi _{\kappa }$- космос . (Обычно неопределенному внутреннему продукту присваивается знак, который делает $\dim K_{+}$ конечно.) В этом случае $\dim K_{+}$ называется числом положительных квадратов $\langle \cdot ,\,\cdot \rangle$. Пространства Понтрягина названы в честь Льва Семеновича Понтрягина .

Оператор песо

Симметричный оператор A в неопределенном пространстве внутреннего произведения K с областью определения K называется оператором Песонена, если ( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) влечет x = 0.

Ссылки

• Азизов Т.Я.; Иохвидов, И.С.: Линейные операторы в пространствах с неопределенной метрикой , John Wiley & Sons, Чичестер, 1989, ISBN   0-471-92129-7 .
• Богнар, Дж.: Неопределенные пространства внутреннего продукта , Springer-Verlag, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1974, ISBN   3-540-06202-5 .
• Лангер, Х. (2001) [1994], «Пространство Крейна» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Лангер, Х.: Спектральные функции дефинитизируемых операторов в пространствах Крейна , Функциональный анализ, Материалы конференции, состоявшейся в Дубровнике, Югославия, 2–14 ноября 1981 г., Конспекты лекций по математике, 948 , Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1982, 1-46, ISSN   0075-8434 .
• Никольский, НК; Павлов, Б.С. (2001) [1994], «Гильбертово пространство с неопределенной метрикой» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Никольский, НК; Павлов, Б.С. (2001) [1994], «Пространство Понтрягина» , Энциклопедия Математики , EMS Press