Полиномиальное преобразование

В математике полиномиальное преобразование состоит из вычисления многочлена, корни которого являются заданной функцией корней многочлена. Полиномиальные преобразования, такие как преобразования Чирнхауза, часто используются для упрощения решения алгебраических уравнений .

Простые примеры

Перевод корней

Позволять

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

быть полиномом, и

\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}

быть его комплексными корнями (не обязательно различными).

Для любой константы $c$ многочлен, корни которого равны

\alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c

является

Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.

Если коэффициенты $P$ являются целыми числами и константа $c={\frac {p}{q}}$ — рациональное число , коэффициенты $Q$ могут быть не целыми числами, а полиномом $c н Q$ имеет целые коэффициенты и имеет те же корни, что $Q.$ и

Особый случай – это когда $c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.$ Полученный полином $Q$ не содержит ни одного члена по $y. п - 1$ .

Обратные корни

Позволять

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

быть полиномом. Многочлен, корни которого являются обратными корням $P$ как корнем, является его обратным многочленом.

Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.

Масштабирование корней

Позволять

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

быть полиномом, а $c$ — ненулевой константой. Многочлен, корни которого являются произведением $на c,$ корней $P$ называется

Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.

Фактор $с н$ появляется здесь, потому что, если $c$ и коэффициенты $P$ принадлежат некоторой области целостности , то же самое верно и для коэффициентов $Q.$ являются целыми числами или

В частном случае, когда $c=a_{0}$ , все коэффициенты $Q$ кратны $c$ , и ${\frac {Q}{c}}$ является моническим многочленом , коэффициенты которого принадлежат любой области целостности, содержащей $и$ коэффициенты $P.$ c Это полиномиальное преобразование часто используется для сведения вопросов об алгебраических числах к вопросам об алгебраических целых числах .

Объединив это с переводом корней на ${\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ , позволяет свести любой вопрос о корнях многочлена, например поиск корня , к аналогичному вопросу о более простом многочлене, который является моническим и не имеет члена степени $n - 1$ . Примеры этого см. в разделе Кубическая функция § Приведение к депрессивной кубической функции или Квартической функции § Преобразование в депрессивную квартику .

Преобразование рациональной функцией

Все предыдущие примеры представляют собой полиномиальные преобразования с помощью рациональной функции , также называемые преобразованиями Чирнхауза . Позволять

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

— рациональная функция, где $g$ и $h$ — взаимно простые многочлены. Полиномиальное преобразование многочлена $P$ с помощью $f$ - это многочлен $Q$ (определенный с точностью до произведения ненулевой константой), корни которого являются изображениями с помощью $f$ корней $P$ .

Такое полиномиальное преобразование может быть вычислено как результат . Фактически, корнями искомого многочлена $Q$ являются в точности такие комплексные числа $y$ , что существует комплексное число $x,$ такое, что одновременно (если коэффициенты $P, g$ и $h$ не являются действительными или комплексными числами) «комплексное число» необходимо заменить на «элемент алгебраически замкнутого поля , содержащий коэффициенты входных многочленов» )

{\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}

Это и есть определяющее свойство результирующего

\operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).

Обычно это сложно вычислить вручную. Однако, поскольку большинство систем компьютерной алгебры имеют встроенную функцию для вычисления результатов, вычислить ее с помощью компьютера несложно .

Характеристики

Если многочлен $P$ неприводим Q , то либо полученный многочлен $неприводим$ , либо является степенью неприводимого многочлена. Позволять $\alpha$ быть корнем $P$ и рассмотрим $L$ , расширение поля , порожденное $\alpha$ . Первый случай означает, что $f(\alpha )$ является примитивным элементом L $Q$ имеет $, который$ как минимальный полином . В последнем случае $f(\alpha )$ принадлежит подполю $L$ , и его минимальный многочлен — это неприводимый многочлен, имеющий $Q.$ степень

Преобразование для решения уравнений

Полиномиальные преобразования были применены для упрощения полиномиальных уравнений для решения, где это возможно, радикалами. Декарт ввел преобразование многочлена степени $d$ , исключающее член степени $d - 1$ путем перевода корней. Такой полином называется депрессивным . Этого уже достаточно, чтобы решить квадратное уравнение квадратными корнями. В случае кубики преобразования Чирнхауса заменяют переменную квадратичной функцией, тем самым позволяя исключить два члена, и поэтому их можно использовать для исключения линейного члена в подавленной кубике для достижения решения кубики с помощью комбинации квадратных и кубических корней. Преобразование Бринга-Джеррарда, которое является квартическим по переменной, приводит квинтику к нормальной форме Бринга-Джеррарда с членами степени 5,1 и 0.

Ссылки

Адамчик Виктор С.; Джеффри, Дэвид Дж. (2003). «Полиномиальные преобразования Чирнхауса, Бринга и Джеррарда» (PDF) . СИГСАМ Бык . 37 (3): 90–94. Збл 1055.65063 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2009 г.