Электронная функция
В математике , E-функции представляют собой тип степенного ряда который удовлетворяет определенным арифметическим условиям на коэффициенты. Они представляют интерес в теории трансцендентных чисел и являются более специальными, чем G-функции .
Определение
[ редактировать ]Функция f ( x ) называется типа E , или E -функцией , [1] если степенной ряд
удовлетворяет следующим трем условиям:
- Все коэффициенты cn полю принадлежат одному и тому же алгебраических чисел K , которое имеет конечную степень над рациональными числами;
- Для всех ,
- где левая часть представляет максимум абсолютных значений всех сопряжений алгебраических c n ;
- Для всех существует последовательность натуральных чисел q 0 , q 1 , q 2 ,... такая, что q n c k является целым алгебраическим числом в K для k = 0, 1, 2,..., n и n = 0 , 1, 2,... и для которых
Второе условие подразумевает, что f является целой функцией от x .
Использование
[ редактировать ]E -функции были впервые изучены Сигелем в 1929 году. [2] Он нашел способ показать, что значения, принимаемые некоторыми E -функциями, алгебраически независимы . Это был результат, который установил алгебраическую независимость классов чисел, а не просто линейную независимость. [3] С тех пор эти функции оказались полезными в теории чисел и, в частности, нашли применение в доказательствах трансцендентности и дифференциальных уравнениях . [4]
Теорема Зигеля–Шидловского.
[ редактировать ]Пожалуй, основным результатом, связанным с E -функциями, является теорема Зигеля–Шидловского (также известная как теорема Зигеля и Шидловского), названная в честь Карла Людвига Зигеля и Андрея Борисовича Шидловского.
даны n E -функции, E 1 ( x ),..., En x ( Предположим, что нам ) , которые удовлетворяют системе однородных линейных дифференциальных уравнений
где f ij — рациональные функции от x коэффициенты каждого E и f — элементы поля алгебраических чисел K. , а теорема утверждает, что если E1 , то ( x ),..., En x ( x ) алгебраически независимы над K ( Тогда ) для любого ненулевого алгебраического числа α , которое не является полюсом ни одного из f ij числа E 1 (α),..., En ( α ) алгебраически независимы.
Примеры
[ редактировать ]- Любой многочлен с алгебраическими коэффициентами является простым примером E -функции.
- Показательная функция является E -функцией, в ее случае c n = 1 для всех n .
- Если λ — алгебраическое число, то функция Бесселя J λ является E -функцией.
- Сумма или произведение двух E -функций является E -функцией. В частности, E -функции образуют кольцо .
- Если a — алгебраическое число и f ( x ) — E -функция, то f ( ax ) будет E -функцией.
- Если f ( x ) является E -функцией, то производная и интеграл от f также являются E -функциями.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Карл Людвиг Сигель, Трансцендентные числа , стр.33, Princeton University Press, 1949.
- ^ CL Siegel, О некоторых применениях диофантовых приближений , Abh. Академическая наука 1 , 1929.
- ^ Алан Бейкер, Трансцендентная теория чисел , стр. 109–112, Cambridge University Press, 1975.
- ^ Серж Ланг , Введение в трансцендентные числа , стр. 76-77, издательство Addison-Wesley Publishing Company, 1966.