Jump to content

Электронная функция

В математике , E-функции представляют собой тип степенного ряда который удовлетворяет определенным арифметическим условиям на коэффициенты. Они представляют интерес в теории трансцендентных чисел и являются более специальными, чем G-функции .

Определение

[ редактировать ]

Функция f ( x ) называется типа E , или E -функцией , [1] если степенной ряд

удовлетворяет следующим трем условиям:

  • Все коэффициенты cn полю принадлежат одному и тому же алгебраических чисел K , которое имеет конечную степень над рациональными числами;
  • Для всех ,   
где левая часть представляет максимум абсолютных значений всех сопряжений алгебраических c n ;
  • Для всех существует последовательность натуральных чисел q 0 , q 1 , q 2 ,... такая, что q n c k является целым алгебраическим числом в K для k = 0, 1, 2,..., n и n = 0 , 1, 2,... и для которых

Второе условие подразумевает, что f является целой функцией от x .

Использование

[ редактировать ]

E -функции были впервые изучены Сигелем в 1929 году. [2] Он нашел способ показать, что значения, принимаемые некоторыми E -функциями, алгебраически независимы . Это был результат, который установил алгебраическую независимость классов чисел, а не просто линейную независимость. [3] С тех пор эти функции оказались полезными в теории чисел и, в частности, нашли применение в доказательствах трансцендентности и дифференциальных уравнениях . [4]

Теорема Зигеля–Шидловского.

[ редактировать ]

Пожалуй, основным результатом, связанным с E -функциями, является теорема Зигеля–Шидловского (также известная как теорема Зигеля и Шидловского), названная в честь Карла Людвига Зигеля и Андрея Борисовича Шидловского.

даны n E -функции, E 1 ( x ),..., En x ( Предположим, что нам ) , которые удовлетворяют системе однородных линейных дифференциальных уравнений

где f ij — рациональные функции от x коэффициенты каждого E и f — элементы поля алгебраических чисел K. , а теорема утверждает, что если E1 , то ( x ),..., En x ( x ) алгебраически независимы над K ( Тогда ) для любого ненулевого алгебраического числа α , которое не является полюсом ни одного из f ij числа E 1 (α),..., En ( α ) алгебраически независимы.

  1. Любой многочлен с алгебраическими коэффициентами является простым примером E -функции.
  2. Показательная функция является E -функцией, в ее случае c n = 1 для всех n .
  3. Если λ — алгебраическое число, то функция Бесселя J λ является E -функцией.
  4. Сумма или произведение двух E -функций является E -функцией. В частности, E -функции образуют кольцо .
  5. Если a — алгебраическое число и f ( x ) E -функция, то f ( ax ) будет E -функцией.
  6. Если f ( x ) является E -функцией, то производная и интеграл от f также являются E -функциями.
  1. ^ Карл Людвиг Сигель, Трансцендентные числа , стр.33, Princeton University Press, 1949.
  2. ^ CL Siegel, О некоторых применениях диофантовых приближений , Abh. Академическая наука 1 , 1929.
  3. ^ Алан Бейкер, Трансцендентная теория чисел , стр. 109–112, Cambridge University Press, 1975.
  4. ^ Серж Ланг , Введение в трансцендентные числа , стр. 76-77, издательство Addison-Wesley Publishing Company, 1966.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Е-функция» . Математический мир .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a00013dbcad6ffe36ce60231f90e2aec__1710014940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a0/ec/a00013dbcad6ffe36ce60231f90e2aec.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
E-function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)