Колебания (математика)

Колебания последовательности (показаны синим цветом) — это разница между верхним и нижним пределом последовательности.

В математике колебание — это число, которое количественно определяет , функции при приближении к или последовательности насколько эта последовательность или функция варьируется между крайними значениями бесконечности или точке. Как и в случае с пределами , существует несколько определений, которые придают интуитивному понятию форму, пригодную для математической обработки: колебание последовательности действительных чисел , колебание действительной функции в точке и колебание функции на интервал ) (или открытое множество .

Определения

Колебание последовательности

Позволять $(a_{n})$ быть последовательностью действительных чисел. Колебания $\omega (a_{n})$ этой последовательности определяется как разница (возможно, бесконечная) между верхним и нижним пределом $(a_{n})$ :

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

.

Колебания равны нулю тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Не определено, если $\limsup _{n\to \infty }$ и $\liminf _{n\to \infty }$ оба равны +∞ или оба равны −∞, то есть если последовательность стремится к +∞ или −∞.

Колебание функции на открытом множестве

Позволять $f$ быть действительной функцией действительной переменной. Колебания $f$ на интервале $I$ в своей области это разница между верхней и нижней границей $f$ :

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

В более общем смысле, если $f:X\to \mathbb {R}$ это функция в топологическом пространстве $X$ (например, метрическое пространство ), то колебание $f$ на открытой площадке $U$ является

\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).

Колебание функции в точке

Колебание функции $f$ действительной переменной в точке $x_{0}$ определяется как предел как $\epsilon \to 0$ колебания $f$ на $\epsilon$ - окрестности $x_{0}$ :

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

Это то же самое, что разница между верхним и нижним пределом функции в точке $x_{0}$ , предоставил точку $x_{0}$ не исключен из лимитов.

В более общем смысле, если $f:X\to \mathbb {R}$ является действительной функцией в метрическом пространстве , то колебание равно

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).

Примеры

${\frac {1}{x}}$ имеет колебание ∞ при $x$ = 0 и колебание 0 при других конечных $x$ и при −∞ и +∞.
$\sin {\frac {1}{x}}$ ( синусоидальная кривая тополога ) имеет колебание 2 при $x$ = 0 и 0 в другом месте.
$\sin x$ имеет колебание 0 на каждом конечном $x$ и 2 в точках −∞ и +∞.
$(-1)^{x}$ или 1, -1, 1, -1, 1, -1... имеет колебание 2.

В последнем примере последовательность является периодической , и любая последовательность, которая является периодической, но не является постоянной, будет иметь ненулевые колебания. Однако ненулевые колебания обычно не указывают на периодичность.

Геометрически график осциллирующей функции действительных чисел следует некоторому пути в плоскости xy , не попадая во все меньшие области. В случаях с хорошим поведением путь может выглядеть как цикл, возвращающийся сам на себя, то есть периодическое поведение; в худшем случае весьма нерегулярное движение, охватывающее целый регион.

Непрерывность

Осцилляция может использоваться для определения непрерывности функции и легко эквивалентна обычному определению ε - δ (в случае функций, определенных всюду на действительной прямой): функция ƒ непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда колебание равно нулю; ^[1] в символах, $\omega _{f}(x_{0})=0.$ Преимущество этого определения состоит в том, что оно дает количественную оценку разрыва: колебание показывает, насколько функция разрывна в определенной точке.

Например, при классификации разрывов :

при устранимом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
при скачковом разрыве размер скачка представляет собой колебание (при условии, что значение в точке лежит между этими пределами с двух сторон);
при существенном разрыве колебания измеряют отсутствие предела.

Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек – непрерывные точки представляют собой пересечение множеств, где колебание меньше ε (следовательно, G _δ множество ) – и дает очень быстрое доказательство одного направление условия интегрируемости Лебега . ^[2]

Колебание эквивалентно определению ε - δ путем простой перестановки и использования предела ( lim sup , lim inf ) для определения колебания: если (в данной точке) для данного ε ₀ не существует δ , которое удовлетворяет определению ε - δ , то колебание равно не менее ε ₀ , и наоборот, если для каждого ε существует желаемое δ, колебание равно 0. Определение колебания можно естественным образом обобщить на отображения из топологического пространства в метрическое пространство. .

Обобщения

В более общем смысле, если f : X → Y является функцией из топологического пространства X в метрическое пространство Y , то колебание f определяется в каждом x ∈ X формулой

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}

См. также

Ссылки

^ Введение в реальный анализ , обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, Теорема 3.5.2, стр. 172
^ Введение в реальный анализ , обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование правильного интеграла Римана», стр. 171–177.

Дальнейшее чтение

Хьюитт и Стромберг (1965). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. п. 78 . ISBN 9780387901381 .
Окстоби, Дж (1996). Мера и категория (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2 .
Пью, CC (2002). Настоящий математический анализ . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 164–165 . ISBN 0-387-95297-7 .

[1] Введение в реальный анализ , обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, Теорема 3.5.2, стр. 172

[2] Введение в реальный анализ , обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование правильного интеграла Римана», стр. 171–177.

[1]

[2]