Унифицированное пространство

В математике топологическое пространство X является униформизируемым если существует на равномерная структура X , которая индуцирует топологию X. , Эквивалентно, X униформизуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно равномерному пространству (наделенному топологией, индуцированной равномерной структурой).

Любое ( псевдо ) метризуемое пространство униформизуемо, поскольку (псевдо)метрическая однородность индуцирует (псевдо)метрическую топологию. Обратное неверно: существуют униформизируемые пространства, которые не (псевдо)метризуемы. Однако верно, что топология униформизируемого пространства всегда может быть семейством псевдометрик ; индуцирована на самом деле это связано с тем, что любая однородность на множестве X может быть определена семейством псевдометрик.

Показать, что пространство униформизуемо, гораздо проще, чем доказать, что оно метризуемо. Фактически, униформизируемость эквивалентна общей аксиоме разделения :

Топологическое пространство униформизуемо тогда и только тогда, когда оно вполне регулярно .

Вызванная однородность

Один из способов построить равномерную структуру на топологическом пространстве X — это взять начальную однородность на X, C ( X ) , семейством действительных непрерывных функций на X. индуцированную Это самая грубая равномерность на X , при которой все такие функции равномерно непрерывны . Подбазой для этого единообразия является совокупность всех антуражей.

D_{f,\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:|f(x)-f(y)|<\varepsilon \}

где f ∈ C ( X ) и ε > 0.

Равномерная топология, порожденная указанной выше однородностью, является исходной топологией, индуцированной семейством C ( X ). В общем случае эта топология будет более грубой чем заданная топология на X. , Две топологии будут совпадать тогда и только тогда, когда X вполне регулярно.

Прекрасная однородность

Для данного униформизируемого пространства X существует тончайшая однородность на X, совместимая с топологией X, называемая тонкой однородностью или универсальной однородностью . Говорят, что однородное пространство является идеальным , если оно обладает тонкой однородностью, порождаемой его однородной топологией.

Тонкая однородность характеризуется универсальным свойством : любая непрерывная функция f из тонкого пространства X в равномерное пространство Y равномерно непрерывна. Это означает, что функтор F : CReg → Uni , который присваивает любому полностью регулярному пространству X точную однородность на X , сопряжен слева с функтором забывания, отправляющим однородное пространство в лежащее в его основе полностью регулярное пространство.

Явно, тонкая однородность на вполне регулярном пространстве X порождается всеми открытыми окрестностями D диагонали в X × X (с топологией произведения ) такими, что существует последовательность D ₁ , D ₂ , …открытых окрестностей диагонали с D = D ₁ и $D_{n}\circ D_{n}\subseteq D_{n-1}$ .

Равномерность на вполне регулярном пространстве X, индуцированная C ( X ) (см. предыдущий раздел), не всегда является тонкой равномерностью.

Ссылки

Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6 .