График полюс – ноль

В математике , теории обработки сигналов и теории управления график полюс -ноль представляет собой графическое представление рациональной передаточной функции в комплексной плоскости , которое помогает передать определенные свойства системы, такие как:

Стабильность
Причинная система / антипричинная система
Область конвергенции (ROC)
Минимальная фаза /не минимальная фаза

График полюс-ноль показывает расположение в комплексной плоскости полюсов и нулей передаточной функции динамической системы , такой как контроллер, компенсатор, датчик, эквалайзер, фильтр или канал связи. По соглашению полюса системы обозначаются на графике буквой X, а нули обозначаются кружком или О.

График полюс-ноль строится в плоскости комплексной частотной области , которая может представлять собой систему с непрерывным или дискретным временем:

Системы с непрерывным временем используют преобразование Лапласа и отображаются в s-плоскости : $s=\sigma +j\omega$ $s=\sigma +j\omega$
- Реальные компоненты частоты располагаются вдоль вертикальной оси (воображаемая линия $s{=}j\omega$ где $\sigma {=}0$ )
Системы дискретного времени используют Z-преобразование и отображаются в z-плоскости : $z=Ae^{j\phi }$ $z=Ae^{j\phi}$
- Компоненты реальной частоты расположены вдоль единичной окружности.

Системы непрерывного времени

В общем случае рациональная с непрерывным временем передаточная функция для системы LTI имеет вид:

$H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}$

где

$B$ и $A$ являются полиномами в $s$ ,
$M$ - порядок полинома числителя,
$b_{m}$ это $m$ ^й коэффициент полинома числителя,
$N$ - порядок полинома знаменателя, а
$a_{n}$ это $n$ ^й коэффициент полинома знаменателя.

Или $M$ или $N$ или оба могут быть равны нулю, но в реальных системах должно быть так, что $M\leq N$ ; в противном случае усиление было бы неограниченным на высоких частотах.

Полюсы и нули

нули системы являются корнями полинома числителя: $s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}$ такой, что $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$
полюса системы являются корнями многочлена знаменателя: $s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}$ такой, что $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.$

Область конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной передаточной функции с непрерывным временем представляет собой полуплоскость или вертикальную полосу, каждая из которых не содержит полюсов. В общем, ROC не уникален, и конкретный ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система причинной или антикаузальной.

Если ROC включает воображаемую ось , то система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) .
Если ROC простирается вправо от полюса с наибольшей действительной частью (но не на бесконечности), то система является причинной.
Если ROC простирается влево от полюса с наименьшей действительной частью (но не на отрицательной бесконечности), то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирают с включением воображаемой оси, поскольку для большинства практических систем важно иметь стабильность BIBO .

Пример

$H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}$

Эта система не имеет (конечных) нулей и двух полюсов: $s=\alpha _{1}=-3+4j$ и $s=\alpha _{2}=-3-4j$

График полюс-ноль будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что эти два полюса являются комплексно-сопряженными , что является необходимым и достаточным условием наличия действительных коэффициентов в дифференциальном уравнении, представляющем систему.

Системы дискретного времени

с дискретным временем В общем случае рациональная передаточная функция для системы LTI имеет вид:

$H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}$

где

$M$ - порядок полинома числителя,
$b_{m}$ это $m$ ^й коэффициент полинома числителя,
$N$ - порядок полинома знаменателя, а
$a_{n}$ это $n$ ^й коэффициент полинома знаменателя.

Или $M$ или $N$ или оба могут быть нулевыми.

Полюсы и нули

$z=\beta _{m}$ такой, что $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$ являются нулями системы
$z=\alpha _{n}$ такой, что $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$ являются полюсами системы.

Область конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной передаточной функции дискретного времени представляет собой диск или кольцо , не содержащее несократившихся полюсов. В общем, ROC не уникален, и конкретный ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система причинной или антикаузальной.

Если ROC включает в себя единичный круг , то система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) .
Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей (но не бесконечной) величиной, то система имеет правостороннюю импульсную характеристику. Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей величиной и на бесконечности нет полюса, то система является причинной.
Если ROC простирается внутрь от полюса с наименьшей (ненулевой) величиной, то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирается с включением единичного круга, поскольку для большинства практических систем важно иметь стабильность BIBO .

Пример

Если $P(z)$ и $Q(z)$ полностью факторизованы, их решение можно легко построить в плоскости z . Например, учитывая следующую передаточную функцию: $H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}$