Простафафарез

Простафафарез (от греческого προσθαφαίρεσις ) был алгоритмом , используемым в конце 16 -го века и начале 17 -го века для приблизительного умножения и деления с использованием формул из тригонометрии . В течение 25 лет, предшествующих изобретению логарифма в 1614 году, это был единственный известный в целом применимый способ быстрого приближения продуктов. Его название происходит от греческого простира (πρόσθεν), означающего до и афарезиса (ἀφαίρεσις), что означает, что забрать или вычитание. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

В древние времена этот термин использовался, чтобы означать сокращение, чтобы донести кажущееся место движущейся точки или планеты в среднее место (см. Уравнение центра ). Николас Коперник упоминает «простафафарезис» несколько раз в своей работе 1543 года «Революция Орбия Коэлестиума» , чтобы означать «великий параллакс», вызванный смещением наблюдателя из -за годового движения Земли.

История и мотивация

В Европе 16-го века небесная навигация по судам в длинных путешествиях в значительной степени опиралась на эфемериды , чтобы определить их положение и курс. Эти объемные диаграммы, подготовленные астрономами , подробно описали положение звезд и планет в разные моменты времени. Модели, используемые для их вычисления, были основаны на сферической тригонометрии , которая связывает углы и длину дуги сферических треугольников (см. Диаграмму, справа), используя такие формулы, как

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha

и

\sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,

где a , b и c - углы, поднятые в центре сферы соответствующими дугами.

Когда одна количества в такой формуле неизвестно, но другие известны, неизвестное количество может быть рассчитано с использованием ряда умножений, подразделений и тригонометрических поисков таблицы. Астрономы должны были сделать тысячи таких расчетов, и, поскольку наилучшим доступным методом умножения было длительное умножение , большая часть этого времени была потрачена налогом, умножая продукты.

Математики, особенно те, кто также был астрономами, искали более легкий путь, и тригонометрия была одной из самых продвинутых и знакомых полей для этих людей. Протехафарезис появился в 1580 -х годах, но его создатель не известен наверняка; ^{[ 4 ]} Среди его участников были математики Ибн Юнис , Йоханнес Вернер , Пол Виттич , Джуст Бюрги , Кристофер Клавий и Франсуа Вейте . Виттич, Ибн Юнис и Клавиус были астрономами и все были приписаны различными источниками с обнаружением метода. Его наиболее известным сторонником был Тайчо Брахе , который широко использовал его для астрономических расчетов, таких как описанные выше. Он также использовался Джоном Нейпиром , которому приписывают изобретение логарифмов, которые вытеснят его.

Личности

Тригонометрические идентичности, эксплуатируемые простафаферизом, связывают продукты тригонометрических функций с суммами. Они включают следующее:

{\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}

Считается, что первые два из них были получены Jost Bürgi , ^{[ Цитация необходима ]} Кто связывал их с [Tycho?] Brahe; ^{[ Цитация необходима ]} Остальные легко следуют из этих двух. Если обе стороны умножаются на 2, эти формулы также называются формулами Werner .

Алгоритм

Используя вторую формулу выше, методика умножения двух чисел работает следующим образом:

Уменьшить масштаб : смещение десятичной точки влево или вправо, масштабируйте оба числа до значений между $-1$ и $1$ , быть названным как $\cos \alpha$ и $\cos \beta$ .
Обратный косинус : используя обратную косинусную таблицу, найдите два угла $\alpha$ и $\beta$ чьи косинусы являются нашими двумя ценностями.
Сумма и разница : найдите сумму и разницу двух углов.
Средние косинусы : найдите косинусы о углех суммы и разницы, используя косинусную таблицу и среду их, давая (в соответствии со второй формулой выше) продукт $\cos \alpha \cos \beta$ .
Расширение : Сдвиньте десятичное место в ответе. Комбинированное количество мест, которые мы сдвинули десятичное значение на первом шаге для каждого входа, но в противоположном направлении.

309 →	10 ³ × 0.309 →	72°
78.8 →	10 ² × 0.788 →	38°
Сумма и разница ↓
	−0.342 ←	110°
	0.829 ←	34°
средний ↓
24340 ←	10 ³⁺² × 0.2435

Например, умножить $309$ и $78.8$ :

Рассказывать : сдвиньте десятичную точку три и два места слева, соответственно. Мы получаем $\cos \alpha =0.309$ и $\cos \beta =0.788$ .
Обратный косинус : $\arccos 0.309\approx 72^{\circ }$ , и $\arccos 0.788\approx 38^{\circ }$ .
Сумма и разница : $72^{\circ }+38^{\circ }=110^{\circ }$ , и $72^{\circ }-38^{\circ }=34^{\circ }$ .
Средние косинусы : ${\tfrac {1}{2}}(\cos 110^{\circ }+\cos 34^{\circ })$ около ${\tfrac {1}{2}}(-0.342+0.829)=0.2435$ .
Масштабировать : для каждого из $105$ и $720$ Мы сместили десятичную точку в общей сложности пять мест слева, поэтому в ответе мы переключаем пять мест вправо. Результат $24\,350$ Полем Это очень близко к фактическому продукту, $24\,349.2$ ( процентная ошибка ≈0,003%).

Если мы хотим продукт косинусов двух начальных значений, что полезно в некоторых астрономических расчетах, упомянутых выше, это удивительно еще проще: необходимы только шаги 3 и 4 выше.

3420 →	10 ⁴ × 0.342 →	70°
1/127 →	1/10 ² × 1/1.27 →	38°
Сумма и разница ↓
	−0.309 ←	108°
	0.848 ←	32°
средний ↓
26.95 ←	10 ⁴⁻² × 0.2695

Чтобы разделить, мы используем определение секунды как взаимного косинуса. Разделить $3420$ к $127$ , мы масштабируем цифры до $0.342$ и $1.27$ Полем Сейчас $0.342$ это косинус $70^{\circ }$ Полем Используя таблицу Secants , мы находим $1.27$ является секунд $38^{\circ }$ Полем Это означает, что $1/1.27\approx \cos 38^{\circ }$ и поэтому мы можем умножить $0.342$ к $1/1.27$ Используя вышеуказанную процедуру. Средний косинус суммы углов, $70^{\circ }+38^{\circ }=108^{\circ }$ , с косинусом их различия, $70^{\circ }-38^{\circ }=32^{\circ }$ ,

{\tfrac {1}{2}}(\cos 108^{\circ }+\cos 32^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.309+0.848)=0.2695.

Масштабирование, чтобы найти десятичную точку, дает приблизительный ответ, $26.95$ .

Алгоритмы, использующие другие формулы, похожи, но каждый использует разные таблицы (синус, обратный синус, косинус и обратный косинус) в разных местах. Первые два - самые простые, потому что каждый из них требует только двух таблиц. Однако использование второй формулы имеет уникальное преимущество, что если доступно только косинусная таблица, ее можно использовать для оценки обратных косинусов путем поиска угла с ближайшим значением косинуса.

Обратите внимание, насколько похож приведенный выше алгоритм на процесс умножения с использованием логарифмов, который следует за этими шагами: масштабируйте, возьмите логарифмы, добавьте, принимайте обратный логарифм, масштабируйте. Неудивительно, что инициаторы логарифмов использовали простафарезис. Действительно, эти два тесно связаны математически. В современных терминах протерафарезиз можно рассматривать как полагаясь на логарифм комплексных чисел, в частности на формулу Эйлера

e^{ix}=\cos x+i\sin x.

Уменьшение ошибки

Если все операции выполняются с высокой точностью, продукт может быть столь же точным, насколько это возможно. Хотя суммы, различия и средние значения легко вычислять с высокой точностью, даже вручную, тригонометрические функции и особенно обратные тригонометрические функции не являются. По этой причине точность метода в значительной степени зависит от точности и детализации используемых тригонометрических таблиц.

Например, синусоидальная таблица с входом для каждой степени может быть отключена на целых 0,0087, если мы просто округлите угол до ближайшей степени ; Каждый раз, когда мы удваиваем размер таблицы (например, предоставляя записи за каждую полстрасию вместо каждой степени), мы вдвое сокращаем эту ошибку. Таблицы были кропотливо построены для простафафера с ценностями на каждую секунду или 3600 -е место.

Функции обратных синусов и косинусов особенно неприятны, потому что они становятся крутыми вблизи -1 и 1. Одним из решений является включение больше значений таблицы в эту область. Другой - масштабировать входные данные до числа от -0,9 и 0,9. Например, 950 станет 0,095 вместо 0,950.

Другим эффективным подходом к повышению точности является линейная интерполяция , которая выбирает значение между двумя смежными значениями таблицы. Например, если мы знаем, что синус 45 ° составляет около 0,707, а синус 46 ° составляет около 0,719, мы можем оценить синус 45,7 ° как 0,707 × (1 - 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. Фактический синус составляет 0,7157. Таблица косинусов с всего 180 записей в сочетании с линейной интерполяцией так же точна, как таблица с около 45 000 записей без нее. Даже быстрая оценка интерполированного значения часто гораздо ближе, чем ближайшее табличное значение. Смотрите таблицу поиска для более подробной информации.

Обратная идентичность

Формулы продукта также можно манипулировать для получения формул, которые выражают добавление с точки зрения умножения. Хотя они менее полезны для вычислительных продуктов, они по -прежнему полезны для получения тригонометрических результатов:

{\begin{aligned}\sin a+\sin b&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\sin a-\sin b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a+\cos b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a-\cos b&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\end{aligned}}

Смотрите также

Правило слайда

Ссылки

^ Протехрез в Словаре века , The Century Co., Нью -Йорк, 1911.
^ Пирс, RC Jr. (январь 1977 г.). «Краткая история логарифмов». Двухлетний журнал по математике колледжа . 8 (1). Математическая ассоциация Америки: 22–26. doi : 10.2307/3026878 . JSTOR 3026878 .
^ Простафафарезис , Брайан Борчерс
^ Торен, Виктор Э. (1988). «Протестафафарезис повторно» . Historia Mathematica . 15 (1): 32–39. doi : 10.1016/0315-0860 (88) 90047-x .

Внешние ссылки

Простафафарезис формулы
Даниэль Э. Отеро Генри Бриггс Архивировал 2005-05-22 на машине Wayback . Введение: необходимость скорости в расчете.
MathWorld: Простафафарезис формулы
Адам Мосли. Tycho Brahe и математические методы . Кембриджский университет.
IEEE Computer Society. История вычислений: Джон Нейпир и изобретение логарифмов .
Математические слова: Простафафарезис
Беатрис Лумпкин. Афро-афро-американский вклад в математическую архив с 2020-10-26 на машине Wayback . Обсуждает вклад Ибн Юниса в простафарезис.
Простафафарезиз и феномен «Бэт» в теории вибраций, Николас Дж. Роуз

[1] Протехрез в Словаре века , The Century Co., Нью -Йорк, 1911.

[2] Пирс, RC Jr. (январь 1977 г.). «Краткая история логарифмов». Двухлетний журнал по математике колледжа . 8 (1). Математическая ассоциация Америки: 22–26. doi : 10.2307/3026878 . JSTOR 3026878 .

[3] Простафафарезис , Брайан Борчерс

[4] Торен, Виктор Э. (1988). «Протестафафарезис повторно» . Historia Mathematica . 15 (1): 32–39. doi : 10.1016/0315-0860 (88) 90047-x .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]