Теорема Литтлвуда о подчинении

В математике , теорема Литтлвуда о подчинении доказанная Дж. Э. Литтлвудом в 1925 году, является теоремой теории операторов и комплексного анализа . Он утверждает, что любое голоморфное одновалентное самоотображение единичного круга в комплексные числа , фиксирующее 0, индуцирует оператор сжимающей композиции в различных функциональных пространствах голоморфных функций на диске. Эти пространства включают пространства Харди , пространства Бергмана и пространство Дирихле .

Теорема о подчинении

Пусть h — голоморфное однолистное отображение единичного круга D в себя такое, что h (0) = 0. Тогда оператор композиции C _h, определенный на голоморфных функциях f на D равенством

$C_{h}(f)=f\circ h$

определяет линейный оператор с операторной нормой меньше 1 в пространствах Харди $H^{p}(D)$, пространства Бергмана $A^{p}(D)$.(1 ≤ p < ∞) и пространство Дирихле ${\mathcal {D}}(D)$.

Нормы в этих пространствах определяются следующим образом:

$\|f\|_{H^{p}}^{p}=\sup _{r}{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}\,d\theta$

$\|f\|_{A^{p}}^{p}={1 \over \pi }\iint _{D}|f(z)|^{p}\,dx\,dy$

$\|f\|_{\mathcal {D}}^{2}={1 \over \pi }\iint _{D}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 4\pi }\iint _{D}|\partial _{x}f|^{2}+|\partial _{y}f|^{2}\,dx\,dy$

Неравенства Литтлвуда

Пусть f — голоморфная функция на единичном круге D и h — голоморфное однолистное отображение D в себя с h (0) = 0. Тогдаесли 0 < r < 1 и 1 ≤ p < ∞

$\int _{0}^{2\pi }|f(h(re^{i\theta }))|^{p}\,d\theta \leq \int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}\,d\theta .$

Это неравенство справедливо и при 0 < p < 1, хотя в этом случае операторная интерпретация отсутствует.

Доказательства

Случай р = 2

Чтобы доказать результат для H ² достаточно показать, что для f многочлен

$\displaystyle {\|C_{h}f\|^{2}\leq \|f\|^{2},}$

Пусть U — односторонний сдвиг, определяемый формулой

$\displaystyle {Uf(z)=zf(z)}.$

Это имеет присоединенный U *, заданный формулой

$U^{*}f(z)={f(z)-f(0) \over z}.$

Поскольку f (0) = a ₀ , это дает

$f=a_{0}+zU^{*}f$

и, следовательно,

$C_{h}f=a_{0}+hC_{h}U^{*}f.$

Таким образом

$\|C_{h}f\|^{2}=|a_{0}|^{2}+\|hC_{h}U^{*}f\|^{2}\leq |a_{0}^{2}|+\|C_{h}U^{*}f\|^{2}.$

Поскольку U * f имеет степень меньше f , по индукции следует, что

$\|C_{h}U^{*}f\|^{2}\leq \|U^{*}f\|^{2}=\|f\|^{2}-|a_{0}|^{2},$

и, следовательно,

$\|C_{h}f\|^{2}\leq \|f\|^{2}.$

Тот же метод доказательства работает для A ² и ${\mathcal {D}}.$

Общие пространства Харди

Если f находится в пространстве Харди H ^п , то он имеет факторизацию

$f(z)=f_{i}(z)f_{o}(z)$

где f _{i —} , внутренняя функция а f _— функция внешняя .

Затем

$\|C_{h}f\|_{H^{p}}\leq \|(C_{h}f_{i})(C_{h}f_{o})\|_{H^{p}}\leq \|C_{h}f_{o}\|_{H^{p}}\leq \|C_{h}f_{o}^{p/2}\|_{H^{2}}^{2/p}\leq \|f\|_{H^{p}}.$

Неравенства

При 0 < r < 1 неравенства Литтлвуда следуют путем применения неравенств пространства Харди к функции

$f_{r}(z)=f(rz).$

Неравенства также можно вывести, следуя Риссу (1925) , используя субгармонические функции . Из неравенств, в свою очередь, непосредственно следует теорема о подчинении для общих пространств Бергмана.

Ссылки

• Дюрен, PL (1970), Теория H ^п пространства , Чистая и прикладная математика, вып. 38, Академик Пресс
• Литтлвуд, Дж. Э. (1925), «О неравенствах в теории функций», Proc. Лондонская математика. Соц. , 23 : 481–519, doi : 10.1112/plms/s2-23.1.481
• Никольский Н.К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение. Том. 1. Харди, Ханкель и Теплиц , Математические обзоры и монографии, т. 1, с. 92, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-1083-9
• Рис, Ф. (1925), “О неравенстве М. Литтлвуда в теории функций”, Proc. Лондонская математика. Соц. , 23 :36–39, doi : 10.1112/plms/s2-23.1.1-s
• Шапиро, Дж. Х. (1993), Операторы композиции и классическая теория функций , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7