Циклическое подпространство

В математике , в линейной алгебре и функциональном анализе циклическое подпространство — это некоторое специальное подпространство векторного пространства , связанное с вектором в векторном пространстве и линейным преобразованием векторного пространства. Циклическое подпространство, связанное с вектором v в векторном пространстве V и линейным преобразованием T V , называется T -циклическим подпространством, порожденным v . Понятие циклического подпространства является основным компонентом формулировки теоремы о циклическом разложении в линейной алгебре.

Определение

Позволять $T:V\rightarrow V$ быть линейным преобразованием векторного пространства $V$ и пусть $v$ быть вектором в $V$. $T$-циклическое подпространство $V$ созданный $v$, обозначенный $Z(v;T)$, является подпространством $V$ сгенерированный набором векторов $\{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}$. В случае, когда $V$ — топологическое векторное пространство , $v$ называется циклическим вектором для $T$ если $Z(v;T)$ плотный в $V$. Для частного случая конечномерных пространств это эквивалентно тому, что $Z(v;T)$ это все пространство $V$.

Существует еще одно эквивалентное определение циклических пространств. Позволять $T:V\rightarrow V$ быть линейным преобразованием топологического векторного пространства над полем $F$ и $v$ быть вектором в $V$. Набор всех векторов вида $g(T)v$, где $g(x)$ является многочленом в кольце $F[x]$ всех многочленов в $x$ над $F$, это $T$-циклическое подпространство, порожденное $v$.

Подпространство $Z(v;T)$ является инвариантным подпространством для $T$, в том смысле, что $TZ(v;T)\subset Z(v;T)$.

Примеры

1. Для любого векторного пространства $V$ и любой линейный оператор $T$ на $V$, $T$-циклическое подпространство, порожденное нулевым вектором, является нулевым подпространством $V$.
2. Если $I$ является тождественным оператором, тогда каждый $I$-циклическое подпространство одномерно.
3. $Z(v;T)$ является одномерным тогда и только тогда, когда $v$ – характеристический вектор (собственный вектор) $T$.
4. Позволять $V$ — двумерное векторное пространство и пусть $T$ быть линейным оператором на $V$ представленный матрицей ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ относительно стандартного упорядоченного базиса $V$. Позволять $v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$. Затем $Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots$. Поэтому $\{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}$ и так $Z(v;T)=V$. Таким образом $v$ является циклическим вектором для $T$.

Сопутствующая матрица

Позволять $T:V\rightarrow V$ быть линейным преобразованием $n$-мерное векторное пространство $V$ над полем $F$ и $v$ быть циклическим вектором для $T$. Тогда векторы

$B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}$

образуют упорядоченную основу для $V$. Пусть характеристический многочлен для $T$ быть

$p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$.

Затем

${\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}$

Поэтому относительно упорядоченного базиса $B$, оператор $T$ представлена ​​матрицей

${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}$

Эта матрица называется сопутствующей матрицей многочлена $p(x)$.

См. также

• Сопутствующая матрица
• Krylov subspace

Внешние ссылки

• PlanetMath: циклическое подпространство