Последовательность Беренда

В теории чисел последовательность Беренда — это целочисленная последовательность , кратные которой включают почти все целые числа. Последовательности названы в честь Феликса Беренда .

Определение

Если $A$ представляет собой последовательность целых чисел больше единицы, и если $M(A)$ обозначает набор положительных целых кратных членов $A$ , затем $A$ является последовательностью Беренда, если $M(A)$ имеет естественную плотность единицу. Это означает, что доля целых чисел от 1 до $n$ которые принадлежат $M(A)$ сходится, в пределе больших $n$ , к одному.

Примеры

Простые числа образуют последовательность Беренда, поскольку каждое целое число больше единицы кратно простому числу. В более общем смысле, подпоследовательность $A$ простых чисел образует последовательность Беренда тогда и только тогда, когда сумма обратных чисел $A$ расходится. ^[1]

, Полупростые числа произведения двух простых чисел, также образуют последовательность Беренда. Единственные целые числа, которые не кратны полупростому числу, — это степени простого числа . Но поскольку степени простых чисел имеют нулевую плотность, их дополнения, кратные полупростым числам, имеют плотность единицу. ^[1]

История

Проблема характеристики этих последовательностей была описана Полом Эрдёшем в 1979 году как «очень трудная». ^[2]

Эти последовательности были названы в 1990 году Ричардом Р. Холлом «последовательностями Беренда», причем в определении использовалась логарифмическая плотность вместо естественной плотности. ^[3] Холл выбрал свое имя в честь Феликса Беренда , который доказал это для эпизода Беренда. $A$ , сумма обратных величин $A$ должны расходиться. ^[4] Позже Холл и Джеральд Тененбаум использовали естественную плотность для определения последовательностей Беренда вместо логарифмической плотности. ^[5] Эта вариация в определениях не имеет значения, какие последовательности являются последовательностями Беренда, потому что теорема Давенпорта-Эрдёша показывает, что для наборов кратных естественная плотность один и логарифмическая плотность один эквивалентны. ^[6]

Производные последовательности

Когда $A$ является последовательностью Беренда, можно получить другую последовательность Беренда, опуская $A$ любое конечное число элементов. ^[5]

Любую последовательность Беренда можно разложить на непересекающееся объединение бесконечного числа последовательностей Беренда. ^[1]

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ружа, Издательство ; Тененбаум, Г. (1996), «Заметки о последовательностях Беренда», Acta Mathematica Hungarica , 72 (4): 327–337, doi : 10.1007/BF00114546 , MR 1406402 , S2CID 120298578
^ Эрдеш, Пол (1979), «Некоторые нетрадиционные проблемы теории чисел» (PDF) , Journees Arithmétiques de Luminy (Colloq. Internat. CNRS, Center Univ. Luminy, Luminy, 1978), Asterisk , 61 : 73–82, MR 0556666
^ Холл, Р.Р. (1990), «Наборы кратных и последовательности Беренда», у Бейкера, А .; Боллобас, Б. ; Хайнал, А. (ред.), Дань памяти Полу Эрдешу , Cambridge University Press, стр. 249–258, MR 1117017
^ Беренд, Ф.А. (1948), «Обобщение неравенства Хейльбронна и Рорбаха», Бюллетень Американского математического общества , 54 (8): 681–684, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09056-5 , MR 0026081
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Холл, РР; Тененбаум, Г. (1992), «О последовательностях Беренда», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 112 (3): 467–482, Bibcode : 1992MPCPS.112..467H , doi : 10.1017/S0305004100071140 , MR 1177995 , S2CID 55529910
^ Тененбаум, Джеральд (2015), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел , Аспирантура по математике, том. 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 422, ISBN 978-0-8218-9854-3 , МР 3363366

[rt-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ружа, Издательство ; Тененбаум, Г. (1996), «Заметки о последовательностях Беренда», Acta Mathematica Hungarica , 72 (4): 327–337, doi : 10.1007/BF00114546 , MR 1406402 , S2CID 120298578

[e-2] Эрдеш, Пол (1979), «Некоторые нетрадиционные проблемы теории чисел» (PDF) , Journees Arithmétiques de Luminy (Colloq. Internat. CNRS, Center Univ. Luminy, Luminy, 1978), Asterisk , 61 : 73–82, MR 0556666

[h-3] Холл, Р.Р. (1990), «Наборы кратных и последовательности Беренда», у Бейкера, А .; Боллобас, Б. ; Хайнал, А. (ред.), Дань памяти Полу Эрдешу , Cambridge University Press, стр. 249–258, MR 1117017

[b-4] Беренд, Ф.А. (1948), «Обобщение неравенства Хейльбронна и Рорбаха», Бюллетень Американского математического общества , 54 (8): 681–684, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09056-5 , MR 0026081

[ht-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Холл, РР; Тененбаум, Г. (1992), «О последовательностях Беренда», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 112 (3): 467–482, Bibcode : 1992MPCPS.112..467H , doi : 10.1017/S0305004100071140 , MR 1177995 , S2CID 55529910

[t-6] Тененбаум, Джеральд (2015), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел , Аспирантура по математике, том. 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 422, ISBN 978-0-8218-9854-3 , МР 3363366

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]