Центры тяжести в неоднородных полях

В физике центр тяжести материального тела — это точка, которую можно использовать для суммарного описания гравитационных взаимодействий. В однородном гравитационном поле центром масс тяжести служит центр . Это очень хорошее приближение для меньших тел вблизи поверхности Земли, поэтому нет практической необходимости отличать «центр тяжести» от «центра массы» в большинстве приложений, таких как инженерия и медицина.

В неоднородном поле гравитационные эффекты, такие как потенциальная энергия , сила и крутящий момент , больше не могут быть рассчитаны с использованием только центра масс. В частности, неоднородное гравитационное поле может создавать крутящий момент на объекте, даже вокруг оси, проходящей через центр масс. Центр тяжести пытается объяснить этот эффект. Формально центр тяжести — это точка приложения равнодействующей силы тяжести к телу. Такая точка может не существовать, а если и существует, то не единственная. Далее можно определить уникальный центр тяжести, аппроксимируя поле как параллельное или сферически симметричное.

Понятие центра тяжести в отличие от центра масс редко используется в приложениях, даже в небесной механике , где важны неоднородные поля. Поскольку центр тяжести зависит от внешнего поля, его движение определить труднее, чем движение центра масс. Распространенным методом борьбы с гравитационными моментами является теория поля.

Центр масс

Один из способов определить центр тяжести тела — это единственная точка тела, если она существует, которая удовлетворяет следующему требованию: вокруг этой точки не существует крутящего момента при любом положении тела в силовом поле, в котором оно находится. помещается. Этот центр тяжести существует только тогда, когда сила однородна, и в этом случае он совпадает с центром масс. ^[1] Этот подход восходит к Архимеду . ^[2]

Центры тяжести в поле

Когда на тело воздействует неоднородное внешнее гравитационное поле, иногда можно определить центр тяжести относительно этого поля, который будет действовать как точка приложения гравитационной силы. Учебники, такие как «Фейнмановские лекции по физике», характеризуют центр тяжести как точку, относительно которой нет крутящего момента. Другими словами, центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы. ^[3] В этой формулировке центр тяжести $r cg$ определяется как точка, удовлетворяющая уравнению

\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }\times \mathbf {F} ={\boldsymbol {\tau }},

где $F$ и $τ$ — суммарная сила и крутящий момент, действующие на тело под действием силы тяжести. ^[4]

Одна из сложностей, связанных с $r cg,$ заключается в том, что его определяющее уравнение не является вообще разрешимым. Если $F$ и $τ$ не ортогональны , то решения нет; сила тяжести не имеет равнодействующей и не может быть заменена единственной силой в любой точке. ^[5] Существуют некоторые важные особые случаи, когда $F$ и $τ$ гарантированно ортогональны, например, если все силы лежат в одной плоскости или выровнены по одной точке. ^[6]

Если уравнение разрешимо, возникает еще одна сложность: его решения не единственны. Вместо этого существует бесконечно много решений; множество всех решений известно как линия действия силы. линия параллельна весу $F.$ Эта В общем, нет возможности выбрать конкретную точку в качестве уникального центра тяжести. ^[7] В некоторых особых случаях все же можно выбрать одну точку, например, если гравитационное поле параллельно или сферически симметрично. Эти случаи рассмотрены ниже.

Параллельные поля

Некоторая неоднородность гравитационного поля может быть смоделирована переменным, но параллельным полем: $g (r) = g (r) n$ , где $n$ — некоторый постоянный единичный вектор. Хотя неоднородное гравитационное поле не может быть точно параллельным, это приближение может быть справедливым, если тело достаточно мало. ^[8] Тогда центр тяжести можно определить как определенное средневзвешенное расположение частиц, составляющих тело. В то время как центр масс усредняется по массе каждой частицы, центр тяжести усредняется по весу каждой частицы:

\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},

где $w i$ — (скалярный) вес $i-$ й частицы, а $W$ — (скалярный) общий вес всех частиц. ^[9] Это уравнение всегда имеет единственное решение, и в приближении параллельного поля оно совместимо с требованием крутящего момента. ^[10]

Распространенная иллюстрация касается Луны в поле Земли . Используя средневзвешенное определение, центр тяжести Луны находится ниже (ближе к Земле), чем ее центр масс, поскольку ее нижняя часть находится под более сильным влиянием земной гравитации. ^[11] В конечном итоге это привело к тому, что Луна всегда показывает одно и то же лицо — явление, известное как приливная блокировка .

Сферически симметричные поля

Если внешнее гравитационное поле сферически симметрично, то оно эквивалентно полю точечной массы $M$ в центре симметрии $r$ . В этом случае центр тяжести можно определить как точку, в которой суммарная сила, действующая на тело, определяется законом Ньютона :

{\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,

где $G$ — гравитационная постоянная , а $m$ — масса тела. Пока общая сила отлична от нуля, это уравнение имеет единственное решение и удовлетворяет требованию крутящего момента. ^[12] Удобная особенность этого определения состоит в том, что если тело само сферически симметрично, то $r cg$ лежит в его центре масс. В общем, по мере увеличения расстояния между $r$ и телом центр тяжести приближается к центру масс. ^[13]

Другой способ взглянуть на это определение — рассмотреть гравитационное поле тела; тогда $r cg$ — очевидный источник гравитационного притяжения для наблюдателя, находящегося в точке $r$ . причине $rcg M$ иногда называют центром тяжести $По этой$ относительно точки $r$ . ^[7]

Использование

Определенные выше центры тяжести не являются фиксированными точками на теле; скорее, они меняются по мере изменения положения и ориентации тела. Эта характеристика затрудняет работу с центром тяжести, поэтому эта концепция не имеет практического применения. ^[14]

Когда необходимо учитывать гравитационный момент, проще представить гравитацию как силу, действующую в центре масс, плюс пару , зависящую от ориентации . ^[15] К последнему лучше всего подходить, рассматривая гравитационный потенциал как поле . ^[7]

Примечания

^ Милликен 1902 , стр. 34–35.
^ Ширли и Фэйрбридж 1997 , с. 92.
^ Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963 , стр. 19- 3; Типлер и Моска, 2004 , стр. 371–372; Поллард и Флетчер, 2005 г .; Розен и Готард, 2009 , стр. 75–76; Пайтел и Киусалас 2010 , стр. 442–443.
^ Типлер и Моска 2004 , с. 371.
^ Саймон 1964 , стр. 233, 260.
^ Саймон 1964 , с. 233
^ Jump up to: ^а ^б ^с Саймон 1964 , с. 260
^ Битти 2006 , стр. 45.
^ Битти 2006 , с. 48; Джонг и Роджерс 1995 , стр. 213.
^ Битти 2006 , стр. 47–48.
^ Азимов 1988 , с. 77; Фраучи и др. 1986 , с. 269.
^ Саймон 1964 , стр. 259–260; Гудман и Уорнер 2001 , с. 117; Хэмилл 2009 , стр. 494–496.
^ Саймон 1964 , стр. 260, 263–264.
^ Саймон 1964 , с. 260; Гудман и Уорнер 2001 , с. 118.
^ Гудман и Уорнер 2001 , с. 118.

Ссылки

Азимов, Исаак (1988) [1966], Понимание физики , Barnes & Noble Books, ISBN 0-88029-251-2
Битти, Миллард Ф. (2006), Принципы инженерной механики, Том 2: Динамика - анализ движения , Математические концепции и методы в науке и технике, том. 33, Спрингер, ISBN 0-387-23704-6
Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1963), Фейнмановские лекции по физике , том. 1 (шестое издание, издание февраля 1977 г.), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-02010-6
Фраучи, Стивен С .; Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (1986), Механическая Вселенная: механика и тепло, расширенное издание , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30432-6
Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз ; Сафко, Джон (2002), Классическая механика (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-65702-3
Гудман, Лоуренс Э.; Уорнер, Уильям Х. (2001) [1964], Статика , Дувр, ISBN 0-486-42005-1
Хэмилл, Патрик (2009), Промежуточная динамика , Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1
Чон, И.Г.; Роджерс, Б.Г. (1995), Инженерная механика: статика , Издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-026309-3
Милликен, Роберт Эндрюс (1902), Механика, молекулярная физика и тепло: двенадцатинедельный курс колледжа , Чикаго: Скотт, Форесман и компания , получено 25 мая 2011 г.
Поллард, Дэвид Д.; Флетчер, Раймонд К. (2005), Основы структурной геологии , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-83927-3
Пител, Эндрю; Киусалас, Яан (2010), Инженерная механика: статика , том. 1 (3-е изд.), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4
Розен, Джо; Готард, Лиза Куинн (2009), Энциклопедия физических наук , Издательство информационной базы, ISBN 978-0-8160-7011-4
Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении , том. 1 (4-е изд.), Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J , ISBN 0-534-49143-Х
Ширли, Джеймс Х.; Фэрбридж, Родс Уитмор (1997), Энциклопедия планетарных наук , Springer, ISBN 0-412-06951-2
Де Сильва, Кларенс В. (2002), Справочник по вибрации и ударам , CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0
Саймон, Кейт Р. (1964), Механика. , Паб Аддисон-Уэсли. Компания, OCLC 1080783137
- Саймон, Кейт Р. (1971), Механика , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-07392-8
Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2004), Физика для ученых и инженеров , том. 1A (5-е изд.), WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0900-7

[FOOTNOTEMillikan190234–35-1] Милликен 1902 , стр. 34–35.

[FOOTNOTEShirleyFairbridge199792-2] Ширли и Фэйрбридж 1997 , с. 92.

[3] Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963 , стр. 19- 3; Типлер и Моска, 2004 , стр. 371–372; Поллард и Флетчер, 2005 г .; Розен и Готард, 2009 , стр. 75–76; Пайтел и Киусалас 2010 , стр. 442–443.

[FOOTNOTETiplerMosca2004371-4] Типлер и Моска 2004 , с. 371.

[Symon233260-5] Саймон 1964 , стр. 233, 260.

[symon233-6] Саймон 1964 , с. 233

[symon260-7] Jump up to: ^а ^б ^с Саймон 1964 , с. 260

[FOOTNOTEBeatty200645-8] Битти 2006 , стр. 45.

[9] Битти 2006 , с. 48; Джонг и Роджерс 1995 , стр. 213.

[FOOTNOTEBeatty200647–48-10] Битти 2006 , стр. 47–48.

[11] Азимов 1988 , с. 77; Фраучи и др. 1986 , с. 269.

[12] Саймон 1964 , стр. 259–260; Гудман и Уорнер 2001 , с. 117; Хэмилл 2009 , стр. 494–496.

[symon260264-13] Саймон 1964 , стр. 260, 263–264.

[14] Саймон 1964 , с. 260; Гудман и Уорнер 2001 , с. 118.

[FOOTNOTEGoodmanWarner2001118-15] Гудман и Уорнер 2001 , с. 118.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]