Гипотеза сингулярных кардиналов

В теории множеств гипотеза сингулярных кардиналов (SCH) возникла из вопроса о том, может ли наименьшее кардинальное число , для которого обобщенная гипотеза континуума (GCH) может потерпеть неудачу, быть сингулярным кардиналом .

Согласно Митчеллу (1992), гипотеза сингулярных кардиналов такова:

Если κ — какой-либо сингулярный сильный предел кардинала , то 2 ^Мистер = Мистер ⁺ .

Здесь, κ ⁺ обозначает преемник κ кардинал - .

Поскольку SCH является следствием GCH, который, как известно, совместим с ZFC , SCH совместим с ZFC. Также было показано, что отрицание SCH совместимо с ZFC, если предположить существование достаточно большого кардинального числа. Фактически, по результатам Моти Гитика , ZFC + ¬SCH эквисовместимо с ZFC + существованием измеримого кардинала κ порядка Митчелла κ ⁺⁺ .

Другой формой SCH является следующее утверждение:

2 ^{ср( к )} < k подразумевает k ^{ср( к )} = Мистер ⁺ ,

где cf обозначает функцию конфинальности . Обратите внимание, что κ ^{ср( к )} = 2 ^Мистер для всех сингулярных сильных предельных кардиналов κ . Вторая формулировка SCH строго сильнее первой версии, поскольку в первой упоминаются только сильные пределы. Из модели , в которой первая версия SCH не работает при ℵ _ω , а GCH выполняется выше ℵ _ω+2 , мы можем построить модель, в которой первая версия SCH выполняется, но вторая версия SCH не работает, добавив ℵ _ω подмножества Коэна . до ℵ _n для некоторого n .

Джек Сильвер доказал, что если κ сингулярна с несчетной конфинальностью и 2 ^л = λ ⁺ для всех бесконечных кардиналов λ < κ , то 2 ^Мистер = Мистер ⁺ . В оригинальном доказательстве Сильвера использовались общие сверхспособности . Из теоремы Сильвера следует следующий важный факт: если гипотеза сингулярных кардиналов справедлива для всех сингулярных кардиналов счетной конфинальности, то она справедлива и для всех сингулярных кардиналов. В частности, тогда, если $\kappa$ является наименьшим контрпримером к гипотезе сингулярных кардиналов, тогда $\mathrm {cf} (\kappa )=\mathrm {\omega }$.

Отрицание гипотезы об сингулярных кардиналах тесно связано с нарушением GCH при измеримом кардинале. Хорошо известный результат Даны Скотт заключается в том, что если GCH ниже измеримого кардинала $\kappa$ на множестве меры один, т. е. существует нормальное $\kappa$-полный ультрафильтр D на ${\mathcal {P}}(\kappa )$ такой, что $\{\alpha <\kappa \mid 2^{\alpha }=\alpha ^{+}\}\in D$, затем $2^{\kappa }=\kappa ^{+}$. Начиная с $\kappa$ сверхкомпактный кардинал , Сильвер смог создать модель теории множеств, в которой $\kappa$ измерима и в которой $2^{\kappa }>\kappa ^{+}$. Затем, применив прикрытое воздействие к измеримому $\kappa$, получается модель теории множеств, в которой $\kappa$ является сильным предельным кардиналом счетной конфинальности и в котором $2^{\kappa }>\kappa ^{+}$— нарушение СЧ. Гитик , опираясь на работу Вудина , смог заменить суперкомпакт в доказательстве Сильвера измеримым порядком Митчелла. $\kappa ^{++}$. Это установило верхнюю границу прочности устойчивости отказа SCH. Гитик снова, используя результаты теории внутренней модели , смог показать, что измеримый кардинал порядка Митчелла $\kappa ^{++}$ также является нижней границей устойчивости устойчивости отказа SCH.

Большое разнообразие предложений подразумевает SCH. Как было отмечено выше, GCH подразумевает SCH. С другой стороны, правильная аксиома форсинга , из которой следует $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ и, следовательно, несовместимо с GCH, также подразумевает SCH. Соловей показал, что большие кардиналы почти подразумевают SCH, в частности, если $\kappa$ является сильно компактным кардиналом , то выше выполняется SCH $\kappa$. С другой стороны, отсутствие (внутренних моделей) различных больших кардиналов (ниже измеримого кардинала порядка Митчелла) $\kappa ^{++}$) также подразумевают SCH.

Ссылки

• Томас Джех : Свойства функции Гимеля и классификация сингулярных кардиналов , Fundamenta Mathematicae 81 (1974): 57–64.
• Уильям Дж. Митчелл, «О единственной кардинальной гипотезе», Пер. амер. Математика. Соц. , том 329 (2): стр. 507–530, 1992.
• Джейсон Обри, Проблема сингулярных кардиналов ( PDF ), пояснительный отчет VIGRE, факультет математики, Мичиганский университет .