Корреляция расстояний

В статистике и вероятностей теории дистанционная корреляция или дистанционная ковариация — это мера зависимости между двумя парными случайными векторами произвольной, не обязательно одинаковой размерности . Коэффициент корреляции расстояний населения равен нулю тогда и только тогда, когда случайные векторы независимы . Таким образом, дистанционная корреляция измеряет как линейную, так и нелинейную связь между двумя случайными величинами или случайными векторами. Это контрастирует с корреляцией Пирсона , которая может обнаружить только линейную связь между двумя случайными величинами .

Дистанционная корреляция может использоваться для проведения статистического теста зависимости с помощью теста перестановки . Сначала вычисляется корреляция расстояний (включая повторное центрирование евклидовых матриц расстояний) между двумя случайными векторами, а затем сравнивается это значение с корреляциями расстояний при многих перетасовках данных.

Предыстория [ править ]

Классическая мера зависимости – коэффициент корреляции Пирсона , ^[1]в основном чувствителен к линейной зависимости между двумя переменными. Дистанционная корреляция была введена в 2005 году Габором Дж. Секели Пирсона в нескольких лекциях для устранения этого недостатка корреляции , а именно того, что она может легко равняться нулю для зависимых переменных. Корреляция = 0 (некоррелированность) не подразумевает независимости, тогда как корреляция расстояний = 0 подразумевает независимость. Первые результаты по дистанционной корреляции были опубликованы в 2007 и 2009 годах. ^[2]^[3] Было доказано, что ковариация расстояния аналогична броуновской ковариации. ^[3] Эти меры являются примерами энергетических расстояний .

Корреляция расстояний выводится из ряда других величин, которые используются в ее спецификации, а именно: дисперсии расстояния , стандартного отклонения расстояния и ковариации расстояния . Эти величины играют ту же роль, что и обычные моменты с соответствующими названиями в спецификации коэффициента корреляции произведения-момента Пирсона .

Определения [ править ]

Ковариация расстояний [ править ]

Начнем с определения ковариации выборочного расстояния . Пусть ( X _k , Y _k ), k = 1, 2, ..., n будет статистической выборкой из пары случайных величин с действительным или векторным значением ( X , Y ). Сначала вычислите размером n на n матрицы расстояний ( a _{j , k} ) и ( b _{j , k} ), содержащие все попарные расстояния.

{\begin{aligned}a_{j,k}&=\|X_{j}-X_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\|Y_{j}-Y_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}

где ||⋅ || обозначает евклидову норму . Затем возьмем все двуцентровые расстояния

A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },

где $\textstyle {\overline {a}}_{j\cdot }$ среднее значение $j$ -й строки, $\textstyle {\overline {a}}_{\cdot k}$ - $среднее значение k$ -го столбца, а $\textstyle {\overline {a}}_{\cdot \cdot }$ — среднее значение матрицы расстояний $X.$ выборки Обозначения аналогичны для $значений b$ . (В матрицах центрированных расстояний ( A _{j , k} ) и ( B _{j , k} ) сумма всех строк и всех столбцов равна нулю.) Квадрат ковариации выборочного расстояния (скаляр) представляет собой просто среднее арифметическое произведений A _{j , к} Б _{j , к} :

\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}A_{j,k}\,B_{j,k}.

Статистика T _n = n dCov ²_n ( X , Y ) определяет последовательный многомерный тест независимости случайных векторов в произвольных измерениях. Информацию о реализации см. в dcov.test в пакете Energy для R. функции ^[4]

Популяционное значение ковариации расстояния может быть определено аналогичным образом. Пусть X — случайная величина, принимающая значения в p -мерном евклидовом пространстве с распределением вероятностей $µ$ , и пусть Y — случайная величина, принимающая значения в q -мерном евклидовом пространстве с распределением вероятностей $ν$ , и предположим, что X и Y имеют конечные значения. ожидания. Писать

a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\|X-x\|],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\|x-x'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).

Наконец, определите генеральное значение ковариации квадрата расстояния X и Y как

\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.

Можно показать, что это эквивалентно следующему определению:

{\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|]-\operatorname {E} [\|X-X''\|\,\|Y-Y'\|]\\={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y'\|]+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|Y-Y''\|],\end{aligned}}

где E обозначает ожидаемую стоимость, а $\textstyle (X,Y),$ $\textstyle (X',Y'),$ и $\textstyle (X'',Y'')$ независимы и одинаково распределены. Штрихованные случайные величины $\textstyle (X',Y')$ и $\textstyle (X'',Y'')$ обозначать независимые и одинаково распределенные (iid) копии переменных $X$ и $Y$ и аналогично iid. ^[5]Ковариация расстояния может быть выражена через классическую ковариацию Пирсона : cov следующим образом:

\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y'\|)-2\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y''\|).

Это тождество показывает, что ковариация расстояний не совпадает с ковариацией расстояний cov(‖ X − X' ‖, ‖ Y − Y' ‖ ). Это может быть ноль, даже если X и Y не являются независимыми.

Альтернативно, ковариация расстояния может быть определена как взвешенное L ² норма расстояния между совместной характеристической функцией случайных величин и произведением их маргинальных характеристических функций: ^[6]

\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left|\varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right|^{2}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}}}\,dt\,ds

где $\varphi _{X,Y}(s,t)$ , $\varphi _{X}(s)$ , и $\varphi _{Y}(t)$ являются функциями характеристическими ( X , Y ), X и Y соответственно, p , q обозначают евклидову размерность X и Y , и, таким образом, s и t , а c _p , c _q являются константами. Весовая функция $({c_{p}c_{q}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}})^{-1}$ выбирается для создания масштабно-эквивариантной и инвариантной меры вращения, которая не стремится к нулю для зависимых переменных. ^[6]^[7] Одна из интерпретаций определения характеристической функции состоит в том, что переменные e ^isX и е ^ЭТО являются циклическими представлениями X и Y с разными периодами, заданными s и t , и выражением φ _{X , Y} ( s , t ) − φ _X ( s ) φ _Y ( t ) в числителе определения характеристической функции дистанционной ковариации это просто классическая ковариация e ^isX и е ^ЭТО. Определение характеристической функции ясно показывает, что dCov ²( X , Y ) = 0 тогда и только тогда, когда X и Y независимы.

расстояния и стандартное расстояния отклонение Отклонение

Дисперсия расстояния — это частный случай ковариации расстояния, когда две переменные идентичны. Популяционное значение дисперсии расстояний представляет собой квадратный корень из

\operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E} [\|X-X'\|^{2}]+\operatorname {E} ^{2}[\|X-X'\|]-2\operatorname {E} [\|X-X'\|\,\|X-X''\|],

где $X$ , $X'$ , и $X''$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , $\operatorname {E}$ обозначает ожидаемое значение и $f^{2}(\cdot )=(f(\cdot ))^{2}$ для функции $f(\cdot )$ , например, $\operatorname {E} ^{2}[\cdot ]=(\operatorname {E} [\cdot ])^{2}$ .

Дисперсия выборочного расстояния представляет собой квадратный корень из

\operatorname {dVar} _{n}^{2}(X):=\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,X)={\tfrac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }^{2},

что является родственником Коррадо Джини , средней разницы введенной в 1912 году (но Джини не работал с центральными расстояниями). ^[8]

— Стандартное отклонение расстояния это квадратный корень из дисперсии расстояния .

Корреляция расстояний [ править ]

расстояний Корреляция ^[2]^[3]двух случайных величин получается путем деления их ковариации расстояния на произведение их стандартных отклонений расстояний . Корреляция расстояний представляет собой квадратный корень из

\operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)={\frac {\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}{\sqrt {\operatorname {dVar} ^{2}(X)\,\operatorname {dVar} ^{2}(Y)}}},

а корреляция выборочного расстояния определяется путем замены ковариации выборочного расстояния и дисперсии расстояния на приведенные выше коэффициенты генеральной совокупности.

Для простого расчета корреляции расстояний выборки см. функцию dcor в пакете Energy для R . ^[4]

Свойства [ править ]

Корреляция расстояний [ править ]

$0\leq \operatorname {dCor} _{n}(X,Y)\leq 1$ и $0\leq \operatorname {dCor} (X,Y)\leq 1$ ; это контрастирует с корреляцией Пирсона, которая может быть отрицательной.
$\operatorname {dCor} (X,Y)=0$ тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ независимы.
$\operatorname {dCor} _{n}(X,Y)=1$ подразумевает, что размеры линейных подпространств, натянутых $выборками X$ и $Y$ соответственно, почти наверняка равны, и если предположить, что эти подпространства равны, то в этом подпространстве $Y=A+b\,\mathbf {C} X$ для некоторого вектора $A$ , скаляра $b$ и ортонормированной матрицы $\mathbf {C}$ .

Ковариация расстояний [ править ]

$\operatorname {dCov} (X,Y)\geq 0$ и $\operatorname {dCov} _{n}(X,Y)\geq 0$ ;
$\operatorname {dCov} ^{2}(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {C} _{1}\,X,a_{2}+b_{2}\,\mathbf {C} _{2}\,Y)=|b_{1}\,b_{2}|\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)$ для всех постоянных векторов $a_{1},a_{2}$ , скаляры $b_{1},b_{2}$ и ортонормированные матрицы $\mathbf {C} _{1},\mathbf {C} _{2}$ .
Если случайные векторы $(X_{1},Y_{1})$ и $(X_{2},Y_{2})$ тогда независимы
$\operatorname {dCov} (X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})\leq \operatorname {dCov} (X_{1},Y_{1})+\operatorname {dCov} (X_{2},Y_{2}).$
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $X_{1}$ и $Y_{1}$ обе константы, или $X_{2}$ и $Y_{2}$ обе константы, или $X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}$ являются взаимно независимыми.
$\operatorname {dCov} (X,Y)=0$ тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ независимы.

Последнее свойство является наиболее важным эффектом при работе с центральными расстояниями.

Статистика $\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)$ является смещенной оценкой $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)$ . При независимости X и Y ^[9]

{\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|].\end{aligned}}

Непредвзятый оценщик $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)$ дают Секели и Риццо. ^[10]

Разница в расстоянии [ править ]

$\operatorname {dVar} (X)=0$ если и только если $X=\operatorname {E} [X]$ почти наверняка.
$\operatorname {dVar} _{n}(X)=0$ тогда и только тогда, когда все выборочные наблюдения идентичны.
$\operatorname {dVar} (A+b\,\mathbf {C} \,X)=|b|\operatorname {dVar} (X)$ для всех постоянных векторов $A$ , скаляров $b$ и ортонормированных матриц $\mathbf {C}$ .
Если $X$ и $Y$ независимы, то $\operatorname {dVar} (X+Y)\leq \operatorname {dVar} (X)+\operatorname {dVar} (Y)$ .

Равенство выполняется в (iv) тогда и только тогда, когда одна из случайных величин $X$ или $Y$ является константой.

Обобщение [ править ]

Ковариацию расстояния можно обобщить, включив в нее степени евклидова расстояния. Определять

{\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y'\|^{\alpha }]+\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y''\|^{\alpha }].\end{aligned}}

Тогда для каждого $0<\alpha <2$ , $X$ и $Y$ независимы тогда и только тогда, когда $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha )=0$ . Важно отметить, что эта характеристика не справедлива для показателя $\alpha =2$ ; в данном случае для двумерной $(X,Y)$ , $\operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =2)$ является детерминированной функцией корреляции Пирсона. ^[2] Если $a_{k,\ell }$ и $b_{k,\ell }$ являются $\alpha$ степени соответствующих расстояний, $0<\alpha \leq 2$ , затем $\alpha$ Ковариацию выборочного расстояния можно определить как неотрицательное число, для которого

\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }\,B_{k,\ell }.

Можно продлить $\operatorname {dCov}$ к в метрическом пространстве со значениями случайным величинам $X$ и $Y$ : Если $X$ имеет закон $\mu$ в метрическом пространстве с метрикой $d$ , затем определите $a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [d(X,x)]$ , $D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]$ , и (при условии $a_{\mu }$ конечно, т.е. $X$ имеет конечный первый момент), $d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )$ . Тогда, если $Y$ имеет закон $\nu$ (возможно, в другом метрическом пространстве с конечным первым моментом), определим

\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.

Это неотрицательно для всех таких $X,Y$ тогда и только тогда, когда оба метрических пространства имеют отрицательный тип. ^[11] Здесь метрическое пространство $(M,d)$ имеет отрицательный тип, если $(M,d^{1/2})$ изометрично подмножеству гильбертова пространства . ^[12] Если оба метрических пространства имеют сильный отрицательный тип, то $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=0$ если только $X,Y$ независимы. ^[11]

ковариации расстояния Альтернативное определение

Исходная ковариация расстояния была определена как квадратный корень из $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)$ , а не сам квадрат коэффициента. $\operatorname {dCov} (X,Y)$ обладает тем свойством, что это энергетическое расстояние между совместным распределением $\operatorname {X} ,Y$ и продукт его предельных значений. Однако согласно этому определению дисперсия расстояния, а не стандартное отклонение расстояния, измеряется в тех же единицах, что и $\operatorname {X}$ расстояния.

В качестве альтернативы можно определить ковариацию расстояния как квадрат энергетического расстояния: $\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y).$ В этом случае стандартное отклонение расстояния $X$ измеряется в тех же единицах, что и $X$ расстояние, и существует несмещенная оценка ковариации расстояния генеральной совокупности. ^[10]

Согласно этим альтернативным определениям, корреляция расстояний также определяется как квадрат $\operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)$ , а не квадратный корень.

формулировка: ковариация броуновская Альтернативная

Броуновская ковариация мотивирована обобщением понятия ковариации на случайные процессы. Квадрат ковариации случайных величин X и Y можно записать в следующем виде:

\operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]

где E обозначает ожидаемое значение , а штрих обозначает независимые и одинаково распределенные копии. Нам понадобится следующее обобщение этой формулы. Если U(s), V(t) — произвольные случайные процессы, определенные для всех действительных s и t, то определите U-центрированную версию X по формуле

X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left[U(X)\mid \left\{U(t)\right\}\right]

всякий раз, когда вычтенное условное ожидаемое значение существует, и обозначим Y _V V-центрированную версию Y. ^[3]^[13]^[14] Ковариация (U,V) для (X,Y) определяется как неотрицательное число, квадрат которого равен

\operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\right]

всякий раз, когда правая часть неотрицательна и конечна. Самый важный пример - когда U и V являются двусторонними независимыми броуновскими движениями / винеровскими процессами с нулевым математическим ожиданием и ковариацией | s | + | т | − | с - т | = 2 min( s , t ) (только для неотрицательных s, t). (Это в два раза больше ковариации стандартного винеровского процесса; здесь фактор 2 упрощает вычисления.) В этом случае ковариация ( U , V ) называется броуновской ковариацией и обозначается как

\operatorname {cov} _{W}(X,Y).

Есть удивительное совпадение: броуновская ковариация совпадает с ковариацией расстояния:

\operatorname {cov} _{\mathrm {W} }(X,Y)=\operatorname {dCov} (X,Y),

и, таким образом, броуновская корреляция аналогична корреляции расстояний.

С другой стороны, если мы заменим броуновское движение детерминированной тождественной функцией id, тогда Cov _id ( X , Y ) будет просто абсолютным значением классической ковариации Пирсона ,

\operatorname {cov} _{\mathrm {id} }(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov} (X,Y)\right\vert .

Связанные показатели [ править ]

Другие корреляционные метрики, включая корреляционные метрики на основе ядра (такие как критерий независимости Гильберта-Шмидта или HSIC), также могут обнаруживать линейные и нелинейные взаимодействия. Как дистанционная корреляция, так и метрики на основе ядра могут использоваться в таких методах, как канонический корреляционный анализ и анализ независимых компонентов, чтобы получить более высокую статистическую мощность .

См. также [ править ]

Коэффициент РВ
Соответствующую статистику третьего порядка см. в разделе Асимметрия расстояний .

Примечания [ править ]

^ Пирсон 1895a , 1895b
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Секели, Риццо и Бакиров 2007 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Секели и Риццо, 2009a .
^ Перейти обратно: ^а ^б Риццо и Секели 2021 .
^ Секели и Риццо 2014 , с. 11.
^ Перейти обратно: ^а ^б Секели и Риццо 2009a , с. 1249, Теорема 7, (3.7).
^ Секели и Риццо 2012 .
^ Джини 1912 .
^ Секели и Риццо 2009b .
^ Перейти обратно: ^а ^б Секели и Риццо 2014 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Лион 2014 .
^ Клебанов 2005 , с. ^{[ нужна страница ]}.
^ Бикель и Сюй 2009 .
^ Косорок 2009 .

Ссылки [ править ]

Бикель, Питер Дж.; Сюй, Ин (2009). «Обсуждение: ковариация броуновского расстояния» . Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1266–1269. arXiv : 0912.3295 . doi : 10.1214/09-AOAS312A .
Джини, К. (1912). Изменчивость и мутабельность . Болонья: типография Паоло Куппини. Бибкод : 1912vamu.book.....G .
Клебанов, Л.Б. (2005). N- расстояния и их приложения . Прага: Каролинум Пресс , Карлов университет. ISBN 9788024611525 .
Косорок, Майкл Р. (2009). «Обсуждение: ковариация броуновского расстояния». Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1270–1278. arXiv : 1010.0822 . doi : 10.1214/09-AOAS312B . S2CID 88518490 .
Лайонс, Рассел (2014). «Ковариация расстояний в метрических пространствах». Анналы вероятности . 41 (5): 3284–3305. arXiv : 1106.5758 . дои : 10.1214/12-AOP803 . S2CID 73677891 .
Пирсон, К. (1895a). «Заметка о регрессии и наследовании в случае двух родителей». Труды Королевского общества . 58 : 240–242. Бибкод : 1895RSPS...58..240P .
Пирсон, К. (1895b). «Заметки по истории корреляции» . Биометрика . 13 : 25–45. дои : 10.1093/biomet/13.1.25 .
Риццо, Мария; Секели, Габор (22 февраля 2021 г.). «Энергия: электронная статистика: многомерный вывод через энергию данных» . Версия: 1.7-8 . Проверено 31 октября 2021 г.
Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л.; Бакиров, Наиль К. (2007). «Измерение и проверка независимости путем корреляции расстояний». Анналы статистики . 35 (6): 2769–2794. arXiv : 0803.4101 . дои : 10.1214/009053607000000505 . S2CID 5661488 .
Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л. (2009a). «Ковариация броуновского расстояния» . Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1236–1265. дои : 10.1214/09-AOAS312 . ПМЦ 2889501 . ПМИД 20574547 .
Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л. (2009b). «Ответ: ковариация броуновского расстояния» . Анналы прикладной статистики . 3 (4): 1303–1308. arXiv : 1010.0844 . doi : 10.1214/09-AOAS312REJ .
Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л. (2012). «О единственности дистанционной ковариации». Статистика и вероятностные буквы . 82 (12): 2278–2282. дои : 10.1016/j.spl.2012.08.007 .
Секели, Габор Дж.; Риццо, Мария Л. (2014). «Частичная корреляция расстояний с методами определения несходств». Анналы статистики . 42 (6): 2382–2412. arXiv : 1310.2926 . Бибкод : 2014arXiv1310.2926S . дои : 10.1214/14-AOS1255 . S2CID 55801702 .

Внешние ссылки [ править ]

Электронная статистика (статистика энергетики). Архивировано 13 сентября 2019 г. на Wayback Machine.

[1] Пирсон 1895a , 1895b

[FOOTNOTESzékelyRizzoBakirov2007-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Секели, Риццо и Бакиров 2007 .

[FOOTNOTESzékelyRizzo2009a-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Секели и Риццо, 2009a .

[FOOTNOTERizzoSzékely2021-4] Перейти обратно: ^а ^б Риццо и Секели 2021 .

[FOOTNOTESzékelyRizzo201411-5] Секели и Риццо 2014 , с. 11.

[SR2009a-6] Перейти обратно: ^а ^б Секели и Риццо 2009a , с. 1249, Теорема 7, (3.7).

[FOOTNOTESzékelyRizzo2012-7] Секели и Риццо 2012 .

[FOOTNOTEGini1912-8] Джини 1912 .

[FOOTNOTESzékelyRizzo2009b-9] Секели и Риццо 2009b .

[FOOTNOTESzékelyRizzo2014-10] Перейти обратно: ^а ^б Секели и Риццо 2014 .

[FOOTNOTELyons2014-11] Перейти обратно: ^а ^б Лион 2014 .

[FOOTNOTEKlebanov2005[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_October_2021]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="This_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears.&#32;(October_2021)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-12] Клебанов 2005 , с. ^{[ нужна страница ]}.

[FOOTNOTEBickelXu2009-13] Бикель и Сюй 2009 .

[FOOTNOTEKosorok2009-14] Косорок 2009 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]