Кардинальные глаза

В математике кардинал Мало — это особый вид большого кардинального числа. Кардиналы Мало были впервые описаны Полом Мало ( 1911 , 1912 , 1913 ). не может доказать существование ни одной из этих разновидностей кардиналов Мало Как и в случае со всеми большими кардиналами, ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив ).

Кардинальное число $\kappa$ называется сильно Мало, если $\kappa$ сильно недоступно и множество $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ стационарен по κ .

Кардинал $\kappa$ называется слабо Малом, если $\kappa$ слабо недостижимо, а множество слабо недоступных кардиналов меньше $\kappa$ стационарен в $\kappa$ .

Термин «кардинал Мало» теперь обычно означает «сильно кардинал Мало», хотя кардиналы, первоначально рассматриваемые Мало, были слабо кардиналами Мало.

Минимальное условие, достаточное для кардинала Мало.

Если κ — предельный ординал и множество регулярных ординалов, меньших κ, стационарно в κ, то κ является слабо маломовым.

Основная трудность в доказательстве этого состоит в том, чтобы показать, что κ регулярно. Мы предположим, что оно не является регулярным, и построим клубное множество , которое даст нам такое ц, что:

µ = cf(µ) < cf(κ) < µ < κ, что является противоречием.

Если бы κ не было регулярным, то cf(κ) < κ. Мы могли бы выбрать строго возрастающую и непрерывную cf(κ)-последовательность, которая начинается с cf(κ)+1 и имеет κ в качестве своего предела. Пределы этой последовательности будут клубом по κ. Значит, среди этих пределов должен быть правильный µ. Таким образом, µ является пределом начальной подпоследовательности cf(κ)-последовательности. Таким образом, его конфинальность меньше конфинальности κ и одновременно больше ее; что является противоречием. Таким образом, предположение о том, что κ не является регулярным, должно быть ложным, т. е. κ регулярно.

Ниже не может существовать стационарного множества $\aleph _{0}$ с требуемым свойством, поскольку {2,3,4,...} является клубом в ω, но не содержит правильных ординалов; поэтому κ несчетно. И это обычный предел обычных кардиналов; поэтому он слабо недоступен. Затем используется набор несчетных предельных кардиналов ниже κ в качестве клубного множества, чтобы показать, что стационарное множество можно считать состоящим из слабых недоступных.

Если κ является слабо Мало, а также сильным пределом, то κ является Мало.

κ слабо недоступен и является сильным пределом, поэтому он сильно недостижим.

Мы показываем, что множество несчетных сильных предельных кардиналов ниже κ является клубным в κ. Пусть µ ₀ будет большим из порога и ω ₁ . Для каждого конечного n пусть µ _n+1 = 2 ^μ_мкм что меньше κ, поскольку является сильным предельным кардиналом. Тогда их предел является сильным кардинальным пределом и по своей регулярности меньше κ. Пределы несчетных сильных предельных кардиналов также являются несчетными сильными предельными кардиналами. Значит, их множество — клуб по κ. Пересеките это клубное множество со стационарным набором слабо недоступных кардиналов меньше κ, чтобы получить стационарный набор сильно недоступных кардиналов меньше κ.

Пример: показ того, что кардиналы Мало κ κ-недоступны (сверхдоступны)

Термин «гипернедоступный» неоднозначен. В этом разделе кардинал κ называется гипернедоступным, если он κ-недоступен (в отличие от более распространенного значения 1-недоступного).

Предположим, что κ — Мало. С помощью трансфинитной индукции по α покажем, что κ является α-недоступной для любого α ⩽ κ. Поскольку κ есть Мало, κ недоступен; и, таким образом, 0-недоступно, что одно и то же.

Если κ α-недоступно, то существуют β-недоступные (при β < α) сколь угодно близкие к κ. Рассмотрим множество одновременных пределов таких β-недоступных, превышающих некоторый порог, но меньших κ. Он неограничен по κ (представьте себе, что он вращается через β-недоступные объекты β < α ω раз, каждый раз выбирая больший кардинал, а затем возьмем предел, который меньше κ по регулярности (это то, что терпит неудачу, если α ≥ κ)). Он закрытый, значит, это клуб в κ. Итак, в силу маловости κ, оно содержит недоступное. Это недоступное на самом деле является α-недоступным. Итак, κ является α+1-недоступным.

Если λ ⩽ κ — предельный ординал и κ α-недоступен для всех α < λ, то каждое β < λ также меньше α для некоторого α < λ. Так что этот случай тривиален. В частности, κ является κ-недоступным и, следовательно, гипердоступным .

Чтобы показать, что κ является пределом гипердоступных и, следовательно, 1-гипернедоступных, нам нужно показать, что диагональное множество кардиналов µ < κ, которые α-недоступны для любого α < µ, является клубом в κ. Выберем 0-недоступный выше порога, назовем его α ₀ . Затем выберите α ₀ -недоступный, назовите его α ₁ . Продолжайте повторять это и принимать ограничения за пределами, пока не достигнете фиксированной точки, назовите ее μ. Тогда µ обладает требуемым свойством (являясь одновременным пределом α-недостижимых для всех α < µ) и по регулярности меньше κ. Пределы таких кардиналов также обладают свойством, поэтому множество их клубовое по κ. В силу малости κ в этом множестве есть недоступное, и оно гипердоступно. Итак, κ 1-гипернедоступен. Мы можем пересечь это же клубное множество со стационарным множеством меньше κ, чтобы получить стационарное множество гипернедоступных объектов меньше κ.

Остальная часть доказательства того, что κ α-сверхдоступна, имитирует доказательство того, что она α-недоступна. Итак, κ гипер-гипер-недоступен и т. д.

α-Глаза, гиперГлаза и кардинальные глаза

Термин α-Мало неоднозначен и разные авторы дают неодинаковые определения. Одно из определений состоит в том, что Кардинал κ называется α-Мало для некоторого ординала α, если κ сильно недостижим и для любого ординала β<α множество кардиналов β-Мало ниже κ стационарно в κ. ^[1]^{п. 3} Однако условие «κ сильно недоступно» иногда заменяется другими условиями, такими как «κ регулярно» или «κ слабо недостижимо» или «κ мало». Мы можем определить «гипер-Мало», «α-гипер-Мало», «гипер-гипер-Мало», «слабо α-Мало», «слабо гипер-Мало», «слабо α-гипер-Мало» и т. д. по аналогии с определениями недоступных, так, например, кардинал κ называется гипер-Мало, если он κ-Мало.

Регулярный несчетный кардинал κ является в значительной степени Мало тогда и только тогда, когда существует нормальный (т. е. нетривиальный и замкнутый относительно диагональных пересечений ) κ-полный фильтр на степенном множестве κ, замкнутый относительно операции Мало, который отображает множество ординалов S до {α $\in$ S : α имеет несчетную конфинальность и S∩α стационарно относительно α}

Для а < к ⁺, определим подмножества M _α (κ) ⊆ κ индуктивно следующим образом:

M ₀ (κ) — множество регулярных кардиналов ниже κ,
M _α+1 (κ) — множество регулярных λ < κ таких, что M _α (κ) ∩ λ стационарно по λ,
для пределов α с cf(α) < κ, M _α (κ) является пересечением M _β (κ) по всем β < α, и
для пределов α с cf(α) = κ выберите нумерацию f : κ → α конфинального подмножества. Тогда M _α (κ) — это множество всех λ < κ таких, что λ ∈ M _f(γ) (κ) для всех γ < λ.

Хотя точное определение зависит от выбора конфинального подмножества для каждого α < κ ⁺ конфинальности κ, любой выбор даст одну и ту же последовательность подмножеств по модулю нестационарного идеала.

При δ ≤ k ⁺, κ тогда называется δ-Мало тогда и только тогда, когда M _α (κ) стационарно в κ для всех α < δ. Кардинал κ — это κ ⁺-Мало тогда и только тогда, когда это очень Мало.

Свойства недоступности, Мало, слабо Мало, α-Мало, сильно Мало и т. д. сохраняются, если мы заменим Вселенную внутренней моделью .

Каждый отражающий кардинал имеет строго большую силу согласованности, чем значительно Мало, но недоступные отражающие кардиналы, как правило, не являются Мало – см. https://mathoverflow.net/q/212597.

Операция Мало

Если X — класс ординалов, то мы можем сформировать новый класс ординалов M ( X ), состоящий из ординалов α несчетной конфинальности таких, что α∩ X стационарно относительно α. Эта операция М называется операцией Мало . Его можно использовать для определения кардиналов Мало: например, если X — класс регулярных кардиналов, то M ( X ) — класс слабо кардиналов Мало. Условие того, что α имеет несчетную конфинальность, гарантирует, что замкнутые неограниченные подмножества α замкнуты при пересечении и, таким образом, образуют фильтр; на практике элементы X часто уже имеют несчетную конфинальность, и в этом случае это условие избыточно. Некоторые авторы добавляют условие, что α находится в X , что на практике обычно не имеет большого значения, поскольку часто выполняется автоматически.

Для фиксированного регулярного несчетного кардинала κ операция Мало индуцирует операцию на булевой алгебре всех подмножеств κ по модулю нестационарного идеала.

Операцию Мало можно повторять трансфинитно следующим образом:

М ⁰( Икс ) = Икс
М ^а+1( Икс ) знак равно М ( М ^а( Икс ))
Если α — предельный ординал, то M ^а( X ) — пересечение M ^б( X ) для β<α

Эти итерированные операции Мало создают классы кардиналов α-Мало, начиная с класса сильно недоступных кардиналов.

Также возможно диагонализировать этот процесс, определив

М ^Д( X ) — набор ординалов α, находящихся в M ^б( X ) для β<α.

И, конечно же, этот процесс диагонализации тоже можно повторять. Диагональная операция Мало дает кардиналы гипер-Мало и так далее.

Кардиналы Мало и принципы отражения

Аксиома F — это утверждение, что каждая нормальная функция на ординалах имеет регулярную неподвижную точку. (Это не аксиома первого порядка, поскольку она дает количественную оценку всем нормальным функциям, поэтому ее можно рассматривать либо как аксиому второго порядка, либо как схему аксиом.)Кардинал называется Мало, если каждая нормальная функция на нем имеет регулярную неподвижную точку. ^{[ нужна ссылка ]}, поэтому аксиома F в некотором смысле утверждает, что класс всех ординалов — это Мало. ^{[ нужна ссылка ]} имеет место форма аксиомы F второго порядка Кардинал κ является Мало тогда и только тогда, когда в V _κ . ^{[ нужна ссылка ]} Аксиома F, в свою очередь, эквивалентна утверждению, что для любой формулы φ с параметрами существуют сколь угодно большие недоступные ординалы α такие, что V _α отражает φ (другими словами, φ выполняется в V _α тогда и только тогда, когда она выполняется во всей вселенной) ( Дрейк 1974 , глава 4).

Появление при диагонализации Бореля

Харви Фридман ( 1981 ) показал, что существование кардиналов Мало является необходимым предположением в некотором смысле для доказательства некоторых теорем о борелевских функциях на произведениях замкнутого единичного интервала.

Позволять $Q$ быть $[0,1]^{\omega }$ , $\omega$ -кратное итерированное декартово произведение замкнутого единичного интервала на самого себя. Группа $(H,\cdot )$ всех перестановок $\mathbb {N}$ которые перемещают только конечное число натуральных чисел, можно рассматривать как действующие на $Q$ путем перестановки координат. Групповое действие $\cdot$ также действует по диагонали на любой из продуктов $Q^{n}$ , определяя злоупотребление обозначениями $g\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(g\cdot x_{1},\ldots ,g\cdot x_{n})$ . Для $x,y\in Q^{n}$ , позволять $x\sim y$ если $x$ и $y$ находятся на одной орбите под действием этого диагонального действия.

Позволять $F:Q\times Q^{n}\to [0,1]$ — функция Бореля такая, что для любого $x\in Q^{n}$ и $y,z\in Q$ , если $y\sim z$ затем $F(x,y)=F(x,z)$ . Тогда есть последовательность $(x_{k})_{0\leq k\leq m}$ такая, что для всех последовательностей индексов $s<t_{1}<\ldots <t_{n}\leq m$ , $F(x_{s},(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}}))$ это первая координата $x_{s+1}$ . Эта теорема доказуема в $ZFC+\forall (n<\omega )\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})$ , но не в любой теории $ZFC+\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})$ для некоторых фиксированных $n<\omega$ . ^[2]

См. также

Примечания

^ В. Боос, Нестандартные большие кардиналы (1971).
^ Фридман 1981 , с. 253.

Ссылки

Дрейк, Фрэнк Р. (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы . Исследования по логике и основам математики. Том. Elsevier Science Ltd. 76. ISBN компании 0-444-10535-2 . Збл 0294.02034 .
Фридман, Харви (1981). «О необходимости использования абстрактной теории множеств» (PDF) . Достижения в математике . 41 (3): 209–280. дои : 10.1016/0001-8708(81)90021-9 . Проверено 19 декабря 2022 г.
Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала . Монографии Спрингера по математике (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-00384-3 . Збл 1022.03033 .
Мало, Пауль (1911), «О линейных трансфинитных множествах», сообщает о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математик-физический класс , 63 : 187–225, ЖФМ 42.0090.02
Мало, Пауль (1912), «К теории и применению чисел ρ ₀ », сообщает о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математик-физический класс , 64 : 108–112, ЖФМ 43.0113.01
Мало, Пауль (1913), «О теории и применении ρ ₀ -чисел II», сообщает о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математик-физический класс , 65 : 268–282, ЖФМ 44.0092.02

[1] В. Боос, Нестандартные большие кардиналы (1971).

[FOOTNOTEFriedman1981253-2] Фридман 1981 , с. 253.

[1]

[2]