Эволюция интегралов во времени

В рамках дифференциального исчисления во многих приложениях необходимо вычислить скорость изменения объемного область или поверхностного интеграла, интегрирования которого , а также подынтегральная функция являются функциями определенного параметра. В физических приложениях этим параметром часто является время t .

Введение

Скорость изменения одномерных интегралов с достаточно гладкими подынтегральными выражениями определяется следующим расширением фундаментальной теоремы исчисления :

${\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)$

Расчет движущихся поверхностей дает аналогичные формулы для объемных интегралов по евклидовым областям и поверхностных интегралов по дифференциальной геометрии поверхностей , криволинейных поверхностей, включая интегралы по криволинейным поверхностям с движущимися контурными границами .

Интегралы объема

Пусть t времяподобный параметр и рассмотрим нестационарную область Ω с гладкой границей , S. — Пусть F — зависящее от времени инвариантное поле, определенное внутри Ω. Тогда скорость изменения интеграла $\int _{\Omega }F\,d\Omega$

регулируется следующим законом:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS$

где C — скорость границы раздела . Скорость границы C является фундаментальным понятием в исчислении движущихся поверхностей . В приведенном выше уравнении C должно быть выражено относительно внешней нормали . Этот закон можно рассматривать как обобщение основной теоремы исчисления .

Поверхностные интегралы

Связанный закон определяет скорость изменения поверхностного интеграла.

$\int _{S}F\,dS$

Закон гласит

${\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS$

где ${\delta }/{\delta }t$-производная , является фундаментальным оператором в исчислении движущихся поверхностей первоначально предложенным Жаком Адамаром . $B_{\alpha }^{\alpha }$ — след тензора средней кривизны . В этом законе C не обязательно должен быть выражением по отношению к внешней нормали, пока выбор нормали согласован для C и $B_{\alpha }^{\alpha }$. Первый член в приведенном выше уравнении отражает скорость изменения F , а второй корректирует расширение или сокращение площади. Тот факт, что средняя кривизна представляет собой скорость изменения площади, следует из применения приведенного выше уравнения к $F\equiv 1$ с $\int _{S}\,dS$ это площадь:

${\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS$

Приведенное выше уравнение показывает, что средняя кривизна $B_{\alpha }^{\alpha }$ можно уместно назвать градиентом формы площади. Эволюция, управляемая

$C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }$

— популярный поток средней кривизны , представляющий собой наикрутейший спуск по площади. что для сферы радиуса R Обратите внимание , $B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R$, а для круга радиуса R , $B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R$относительно внешнего вида нормально.

Поверхностные интегралы с подвижными границами контура

Иллюстрация закона для поверхностных интегралов с подвижным контуром. Изменение площади происходит по двум причинам: расширение за счет кривизны. $CB_{\alpha }^{\alpha }dt$ и расширение путем аннексии $cdt$.

Предположим, что S — движущаяся поверхность с движущимся контуром γ. Предположим, что скорость контура γ относительно S равна c . Тогда скорость изменения интеграла, зависящего от времени:

$\int _{S}F\,dS$

является

${\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma$

Последний член отражает изменение площади в результате аннексии, как показано на рисунке справа.