Расчет движущихся поверхностей

Поверхность флага на ветру является примером деформирующегося многообразия.

Исчисление движущихся поверхностей ( CMS ) является расширением классического тензорного исчисления на деформирующиеся многообразия . Центральным элементом CMS является тензорная производная по времени. ${\dot {\nabla }}$ чье первоначальное определение был выдвинут Жаком Адамаром . Она играет роль, аналогичную роли ковариантной производной $\nabla _{\alpha }$ на дифференциальных многообразиях тем, что он создает тензор при применении к тензору .

Жак Саломон Адамар, французский математик, 1865–1963 гг.

Предположим, что $\Sigma _{t}$ это эволюция поверхности $\Sigma$ индексируется временным параметром $t$. Определения поверхностной скорости $C$ и оператор ${\dot {\nabla }}$ являются геометрическими основами CMS. Скорость C — это скорость деформации поверхности. $\Sigma$ в мгновенном нормальном направлении. Стоимость $C$ в какой-то момент $P$ определяется как предел

$C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}}(P,P^{*})}{h}}$

где $P^{*}$ в этом суть $\Sigma _{t+h}$ лежащую на прямой, перпендикулярной $\Sigma _{t}$ в точке P. Это определение проиллюстрировано на первом геометрическом рисунке ниже. Скорость $C$ – величина со знаком: она положительна, когда ${\overline {PP^{*}}}$ указывает в направлении выбранной нормали и является отрицательным в противном случае. Отношения между $\Sigma _{t}$ и $C$ аналогично взаимосвязи между местоположением и скоростью в элементарном исчислении: знание одной из величин позволяет построить другую путем дифференцирования или интегрирования .

Геометрическое построение поверхностной скорости C

Геометрическое построение $\delta /\delta t$-производная инвариантного поля F

Тензорная производная по времени ${\dot {\nabla }}$ для скалярного поля F, определенного на $\Sigma _{t}$ это изменения скорость $F$ в мгновенно нормальном направлении:

${\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}$

Это определение также проиллюстрировано на втором геометрическом рисунке.

Приведенные выше определения являются геометрическими . В аналитических условиях прямое применение этих определений может оказаться невозможным. CMS дает аналитические определения C и ${\dot {\nabla }}$ с точки зрения элементарных операций исчисления и дифференциальной геометрии .

Аналитические определения

Для аналитических определений $C$ и ${\dot {\nabla }}$, рассмотрим эволюцию $S$ данный

$Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)$

где $Z^{i}$ — общие координаты криволинейного пространства и $S^{\alpha }$ — координаты поверхности. По соглашению тензорные индексы аргументов функции опускаются. Таким образом, приведенные выше уравнения содержат $S$ скорее, чем $S^{\alpha }$. Объект скорости ${\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}$ определяется как частная производная

$V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}$

Скорость $C$ наиболее непосредственно можно вычислить по формуле

$C=V^{i}N_{i}$

где $N_{i}$ — ковариантные компоненты вектора нормали ${\vec {N}}$.

Кроме того, определение представления тензора сдвига касательного пространства поверхности. $Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}$ и касательная скорость как $V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}$ , то определение ${\dot {\nabla }}$ производная для инварианта F читается

${\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F$

где $\nabla _{\alpha }$ является ковариантной производной на S.

Для тензоров необходимо соответствующее обобщение. Правильное определение представительного тензора $T_{j\beta }^{i\alpha }$ читает

${\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }$

где $\Gamma _{mj}^{k}$ являются символами Кристоффеля и ${\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }$ — соответствующие временные символы поверхности ( $B_{\beta }^{\alpha }$ является матричным представлением оператора формы кривизны поверхности)

Свойства ${\dot {\nabla }}$-производная

The ${\dot {\nabla }}$-производная коммутирует со сжатием, удовлетворяет правилу произведения для любого набора индексов

${\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }$

и подчиняется цепному правилу для поверхностных ограничений пространственных тензоров:

${\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}$

Цепное правило показывает, что ${\dot {\nabla }}$-производные пространственной «метрики» исчезают

${\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0$

где $Z_{ij}$ и $Z^{ij}$ — ковариантный и контравариантный метрические тензоры , $\delta _{j}^{i}$ – символ дельты Кронекера , а $\varepsilon _{ijk}$ и $\varepsilon ^{ijk}$ являются символами Леви-Чивита . В основной статье о символах Леви-Чивита они описаны для декартовых систем координат . Предыдущее правило справедливо в общих координатах, где определение символов Леви-Чивита должно включать квадратный корень из определителя ковариантного метрического тензора. $Z_{ij}$.

Таблица дифференциации для ${\dot {\nabla }}$-производная

The ${\dot {\nabla }}$ производная от ключевых поверхностных объектов приводит к очень кратким и привлекательным формулам. Применительно к ковариантному поверхностному метрическому тензору $S_{\alpha \beta }$ и контравариантный метрический тензор $S^{\alpha \beta }$, получаются следующие тождества

${\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$

где $B_{\alpha \beta }$ и $B^{\alpha \beta }$ — дважды ковариантный и дважды контравариантный тензоры кривизны . Эти тензоры кривизны, как и для смешанного тензора кривизны $B_{\beta }^{\alpha }$, удовлетворить

${\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}$

Тензор сдвига $Z_{\alpha }^{i}$ и нормальный $N^{i}$ удовлетворить

${\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}$

Наконец, поверхностные символы Леви-Чивита $\varepsilon _{\alpha \beta }$ и $\varepsilon ^{\alpha \beta }$ удовлетворить

${\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$

Дифференцирование интегралов по времени

CMS предоставляет правила дифференцирования по времени объемных и поверхностных интегралов .