Гипотеза об объеме

Гипотеза об объеме

Поле	Теория узлов
Предполагается	Хитоши Мураками Джун Мураками Ринат Кашаев
Известные случаи	узел восьмерка узел с тремя витками Борромео кольца торовые узлы все узлы и звенья с нулевым объемом перекрученные ссылки Уайтхеда Дубли Уайтхеда нетривиальных торических узлов $T(p,q)$ с $q=2$
Последствия	Инварианты Васильева обнаруживают узел

В разделе математики , называемом теорией узлов , гипотеза объема является открытой проблемой, которая связывает квантовые инварианты узлов с гиперболической геометрией их дополнений .

Заявление

Пусть О обозначает узел . Для любого узла $K$, позволять $\langle K\rangle _{N}$ быть инвариантом Кашаева $K$, который можно определить как

$\langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}$,

где $J_{K,N}(q)$ это $N$- Джонса Цветной полином $K$. Гипотеза объема утверждает, что

$\lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)$,

где $\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)$ - симплициальный объем дополнения к $K$ в 3-сфере , определяемой следующим образом. В результате разложения JSJ дополнение $S^{3}\backslash K$ однозначно разлагается в систему торов

$S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)$

с $H_{i}$ гиперболический и $E_{j}$ Зейфертово-волокнистые . Симплициальный объем $\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)$ тогда определяется как сумма

$\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})$,

где $\operatorname {vol} (H_{i})$ - гиперболический объем гиперболического многообразия $H_{i}$.

В частном случае, если $K$ является гиперболическим узлом , то разложение JSJ просто читается $S^{3}\backslash K=H_{1}$, и по определению симплициальный объем $\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)$ согласуется с гиперболическим объемом $\operatorname {vol} (H_{1})$.

История

Инвариант Кашаева был впервые введен Ринатом М. Кашаевым в 1994 и 1995 годах для гиперболических связей как суммы состояний с использованием теории квантовых дилогарифмов . Кашаев сформулировал формулу гипотезы объема в случае гиперболических узлов в 1997 году.

Мураками и Мураками (2001) отметили, что инвариант Кашаева связан с цветным полиномом Джонса путем замены переменной $q$ с корнем единства $e^{i\pi /N}$. Они использовали R-матрицу в качестве дискретного преобразования Фурье для эквивалентности этих двух описаний. Эта статья была первой, в которой была сформулирована гипотеза объема в ее современной форме с использованием симплициального объема. Они также доказывают, что из гипотезы объема следует следующая гипотеза Виктора Васильева :

Если все инварианты Васильева узла совпадают с инвариантами узла, то узел есть узел.

Ключевое наблюдение в их доказательстве состоит в том, что если каждый инвариант Васильева узла $K$ тривиально, то $J_{K,N}(q)=1$ для любого $N$.

Статус

Гипотеза объема открыта для общих узлов и, как известно, неверна для произвольных связей. Гипотеза об объеме была проверена во многих особых случаях, в том числе:

• Узел «восьмерка» (Тобиас Экхольм),
• Узел «Три витка» (Ринат Кашаев и Ёсиюки Ёкота),
• Кольца Борромео ( Ставрос Гаруфалидис и Тханг Ле ),
• Торовые узлы (Ринат Кашаев и Олав Тиркконен),
• Все узлы и звенья с нулевым объёмом ( Роланд ван дер Вин ),
• Скрученные связи Уайтхеда ( Хао Чжэн ),
• Дубли Уайтхеда нетривиальных торических узлов $T(p,q)$ с $q=2$(Хао Чжэн).

Связь с теорией Черна-Саймонса

Используя комплексификацию, Мураками и др. (2002) доказали, что для гиперболического узла $K$,

$\lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)$,

где $CS$ – инвариант Черна–Саймонса . Они установили связь между комплексным цветным полиномом Джонса и теорией Черна – Саймонса.

Ссылки

Источники

• Мураками, Хитоши (2010). «Введение в гипотезу объема». arXiv : 1002.0126 [ math.GT ]. .
• Кашаев, Ринат М. (1997), «Гиперболический объем узлов квантового дилогарифма», Letters in Mathematical Physics , 39 (3): 269–275, arXiv : q-alg/9601025 , Bibcode : 1997LMaPh..39. .269K , дои : 10.1023/A:1007364912784 .
• Мураками, Хитоши; Мураками, Джун (2001), «Цветные полиномы Джонса и симплициальный объем узла», Acta Mathematica , 186 (1): 85–104, arXiv : math/9905075 , doi : 10.1007/BF02392716 .
• Мураками, Хитоши; Мураками, Джун; Окамото, Миюки; Таката, Тоши; Ёкота, Ёсиюки (2002), «Гипотеза Кашаева и инварианты Черна-Саймонса узлов и связей», Experimental Mathematics , 11 (1): 427–435, arXiv : math/0203119 , doi : 10.1080/10586458.2002.10504485 .
• Гуков, Сергей (2005), «Трехмерная квантовая гравитация, теория Черна-Саймонса и A-полиномиал», Communications in Mathematical Physics , 255 (1): 557–629, arXiv : hep-th/0306165 , Bibcode : 2005CMaPh.255..577G , номер документа : 10.1007/s00220-005-1312-y .