Масштаб логарифмической линейки
Шкала логарифмической линейки представляет собой линию с градуированными отметками, нанесенную по длине логарифмической линейки, используемой для математических расчетов. Самое раннее такое устройство имело единственную логарифмическую шкалу для выполнения умножения и деления, но вскоре была разработана улучшенная техника, в которой две такие шкалы скользили рядом друг с другом. Позже было введено несколько шкал, самая основная из которых была логарифмической, а другие были градуированы в соответствии с требуемой математической функцией.
Для сложения и вычитания было разработано несколько логарифмических линеек; скорее, основные шкалы используются для умножения и деления, а другие шкалы предназначены для математических вычислений, включающих тригонометрические , экспоненциальные и, как правило, трансцендентные функции . До того, как в 1970-х годах их заменили электронные калькуляторы , логарифмические линейки были важным типом портативного вычислительного инструмента.
Дизайн логарифма
[ редактировать ]Логарифмическая линейка состоит из тела [примечание 1] и ползунок, который можно перемещать внутри корпуса, и числовые шкалы на обоих нанесены . В дуплексных правилах корпус и/или ползунок имеют чешуйки как спереди, так и сзади. [2] Чешуйки ползунка могут быть видны сзади, или, возможно, слайдер придется выдвинуть и поставить на место, повернув его в обратную сторону. Курсор . (также называемый бегунком или стеклом), содержащий одну (или несколько) волосяных линий [примечание 2] можно перемещать по всей линейке, чтобы соответствующие показания спереди и сзади можно было снять с различных шкал на корпусе и ползунке. [3]
История
[ редактировать ]Примерно в 1620 году Эдмунд Гюнтер представил то, что сейчас известно как линия Гюнтера, как один из элементов сектора Гюнтера, который он изобрел для моряков. Линия, начертанная на дереве, представляла собой единую логарифмическую шкалу от 1 до 100. Она не имела скользящих частей, но с помощью пары делителей можно было умножать и делить числа. [примечание 3] Форма с единой логарифмической шкалой со временем развилась в такие инструменты, как цилиндрическая логарифмическая линейка Фуллера . Примерно в 1622 году, но не опубликовано до 1632 года, Уильям Отред изобрел линейную и круговую логарифмическую линейку, которая имела две логарифмические шкалы, которые перемещались рядом друг с другом для выполнения вычислений. В 1654 году линейная конструкция была преобразована в деревянный корпус, внутри которого можно было установить и отрегулировать ползунок. [6] [7]
Весы
[ редактировать ]
Простые логарифмические линейки будут иметь шкалу C и D для умножения и деления , скорее всего, A и B для квадратов и квадратных корней , и, возможно, CI и K для обратных чисел и кубов . [8] На заре логарифмических линеек было мало весов и не было необходимости в маркировке. Однако постепенно количество чешуек имело тенденцию к увеличению. Амеде Мангейм представила этикетки A, B, C и D в 1859 году, и после этого производители начали применять несколько стандартизированную, хотя и своеобразную систему этикеток, чтобы можно было быстро идентифицировать различные шкалы. [8] [3]
Расширенные логарифмические линейки имеют множество масштабов и часто разрабатываются для определенных типов пользователей, например инженеров-электриков или геодезистов. [9] [10] Шкалы для сложения и вычитания встречаются редко, но обходной путь возможен. [примечание 4] [11] Проиллюстрированное правило представляет собой Aristo 0972 HyperLog, имеющее 31 шкалу. [примечание 5] Шкалы в таблице ниже подходят для общего математического использования, а не для конкретных профессий.
| Этикетка | формула | тип шкалы | диапазон х | диапазон по шкале | числовой диапазон (приблизительно) | Увеличение/уменьшение [примечание 6] | комментарий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| С | х | фундаментальный масштаб | от 1 до 10 | от 1 до 10 | от 1 до 10 | увеличивать | На слайдере |
| Д | х | фундаментальная гамма, используемая с C | от 1 до 10 | от 1 до 10 | от 1 до 10 | увеличивать | На теле |
| А | х 2 | квадрат | от 1 до 10 | от 1 до 100 | от 1 до 100 | увеличивать | На теле. Два логарифмических цикла при половине шкалы C/D. [15] [примечание 7] |
| Б | х 2 | квадрат | от 1 до 10 | от 1 до 100 | от 1 до 100 | увеличивать | На слайдере. Два логарифмических цикла при половине шкалы C/D. [15] [примечание 7] |
| CF | х | С в сложенном виде | п по 10 п | п по 10 п | 3,142–31,42 | увеличивать | На слайдере |
| Ч | арккош( х ) | гиперболический косинус | от 1 до 10 | от arccosh(1.0) до arccosh(10) | от 0 до 2,993 | увеличивать | примечание: ш( x )= √(1-рождение 2 ( х )) (П) |
| ТАМ | 1/ х | взаимный C | от 1 до 10 | от 1/0,1 до 1/1,0 | 10 к 1 | снижаться | На слайдере. Масштаб C в обратном направлении [15] |
| ДФ | х | D в сложенном виде | п по 10 п | п по 10 п | 3,142–31,42 | увеличивать | На теле |
| ОТ | 1/ х | взаимный D | от 1 до 10 | от 1/0,1 до 1/1,0 | 10 к 1 | снижаться | На теле. Масштаб D в обратном направлении [15] |
| К | х 3 | куб | от 1 до 10 | от 1 до 10 3 | от 1 до 1000 | увеличивать | Три цикла по одной трети шкалы D [15] |
| Л, Лг или М [примечание 8] | войти 10 х | Мантисса бревна 10 | от 1 до 10 | от 0 до 1,0 | от 0 до 1,0 | увеличивать | следовательно, линейный масштаб |
| LL0 | и 0,001x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и 0.001 палец на ноге 0.01 | от 1,001 до 1,010 | увеличивать | |
| LL1 | и 0,01x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и 0.01 палец на ноге 0.1 | от 1,010 до 1,105 | увеличивать | |
| LL2 | и 0,1x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и 0.1 палец на ноге | от 1,105 до 2,718 | увеличивать | |
| LL3, LL или E | и х | журнал-журнал | от 1 до 10 | от е до е 10 | от 2,718 до 22026 | увеличивать | |
| LL00 или LL/0 | и -0,001x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и -0.001 палец на ноге -0.01 | от 0,999 до 0,990 | снижаться | |
| LL01 или LL/1 | и -0,01x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и -0.01 палец на ноге -0.1 | от 0,990 до 0,905 | снижаться | |
| LL02 или LL/2 | и -0,1x | журнал-журнал | от 1 до 10 | и -0.1 до 1/ е | от 0,905 до 0,368 | снижаться | |
| LL03 или LL/3 | и -х | журнал-журнал | от 1 до 10 | 1/ и палец на ноге −10 | от 0,368 до 0,00045 | снижаться | |
| П | √(1-х 2 ) | Пифагорейский [примечание 9] | от 0,1 до 1,0 | √(1-0.1 2 ) до 0 | от 0,995 до 0 | снижаться | вычисление косинуса из синуса под малыми углами (ST) |
| H1 | √(1+х 2 ) | гиперболический [примечание 9] | от 0,1 до 1,0 | √(1+0.1 2 ) до √(1+1,0 2 ) | от 1,005 до 1,414 | увеличивать | Установите x по шкале C или D. |
| Н2 | √(1+х 2 ) | гиперболический [примечание 9] | от 1 до 10 | √(1+1 2 ) до √(1+10 2 ) | с 1.414 по 10.05 | увеличивать | Установите x по шкале C или D. |
| R1, W1 или Sq1 | √ x | квадратный корень | от 1 до 10 | от 1 до √10 | от 1 до 3,162 | увеличивать | для чисел с нечетным количеством цифр |
| R2, W2 или Sq2 | √ x | квадратный корень | от 10 до 100 | √от 10 до 10 | 3,162 к 10 | увеличивать | для чисел с четным числом цифр |
| С | дугсин( х ) | их | от 0,1 до 1 | арксин(0.1) в арксин(1.0) | от 5,74° до 90° | увеличение и уменьшение (красный) | также с обратными углами красного цвета для косинуса. См. подробное изображение шкалы S. |
| Ш1 | арксинь( х ) | гиперболический синус | от 0,1 до 1,0 | arcsinh(0,1) → arcsinh(1,0) | от 0,0998 до 0,881 | увеличивать | примечание: ш( x )= √(1-рождение 2 ( х )) (П) |
| Ш2 | арксинь( х ) | гиперболический синус | от 1 до 10 | от arcsinh(1.0) до arcsinh(10) | от 0,881 до 3,0 | увеличивать | примечание: ш( x )= √(1-рождение 2 ( х )) (П) |
| СТ | arcsin( x ) и arctan( x ) | синус и тан малых углов | от 0,01 до 0,1 | арксин(0,01) → арксин(0,1) | от 0,573° до 5,73° | увеличивать | также арктанс тех же x значений |
| Т, Т1 или Т3 | арктан( х ) | касательная | от 0,1 до 1,0 | арктан(0,1) → арктан(1,0) | от 5,71° до 45° | увеличивать | используется с C или D. |
| Т | арктан( х ) | касательная | от 1,0 до 10,0 | арктан(1.0) → арктан(10) | от 45° до 84,3° | увеличивать | Используется с CI или DI. Также с обратными углами, обозначенными красным для котангенса. |
| Т2 | арктан( х ) | касательная | от 1,0 до 10,0 | арктан(1.0) → арктан(10) | от 45° до 84,3° | увеличивать | используется с C или D |
| че | арктан( х ) | гиперболический тангенс | от 1 до <10 | арктанх(0,1) → арктанх(1,0) | от 0,1 до 3,0 | увеличивать | используется с C или D |
Примечания к таблице
[ редактировать ]- Некоторые шкалы имеют высокие значения слева и низкие справа. В таблице выше они отмечены как «уменьшение». На логарифмических линейках они часто пишутся красным, а не черным, или могут иметь стрелки, указывающие влево вдоль шкалы. См. подробное изображение шкал P и DI.
- В терминологии логарифмической линейки «свернутая» означает шкалу, которая начинается и заканчивается со значениями, смещенными от степени 10 . Часто сложенные шкалы начинаются с π , но могут быть расширены в длину, скажем, до 3,0 и 35,0. Сложенные шкалы с индексом «M» начинаются и заканчиваются с log 10 e для упрощения преобразования между десятичными и натуральными логарифмами. При индексе «/M» они сбрасываются при ln(10).
- По математическим причинам некоторые шкалы либо не достигают, либо выходят за рамки D = 1 и 10 баллов. Например, arctanh( x ) приближается к ∞ ( бесконечности ) по мере того, как x приближается к 1, поэтому масштаб останавливается.
- В терминологии логарифмической линейки «логарифм-логарифм» означает, что шкала является логарифмической, применяемой к изначально логарифмической шкале.
- Аннотация к логарифмической линейке обычно игнорирует степени 10 . Однако для некоторых шкал, таких как логарифмическая, десятичные точки актуальны и, вероятно, будут отмечены.
Маркировочные отметки
[ редактировать ]
К шкалам часто добавляются отметки, обозначающие важные константы (например, π при 3,14159) или полезные коэффициенты преобразования (например, ρ " при 180*60*60/π или 206,3x10) . 3 найти синус и тангенс малых углов [18] ). [19] [20] Курсор может иметь дополнительные линии помимо основной. Например, если мощность одного превышает киловатты, другой указывает мощность в лошадиных силах. [примечание 10] [20] [21] См. π на шкалах A и B и ρ" на шкале C на детальном изображении. На обратной стороне Aristo 0972 имеется несколько волосяных линий курсора, как показано на изображении выше .
| Символ | ценить | функция | цель | комментарий |
|---|---|---|---|---|
| и | 2.718 | число Эйлера | показательные функции | основание натуральных логарифмов |
| п | 3.142 | п | площади/объемы/окружности кругов/цилиндров | |
| с или С | 1.128 | √(4/π) | отношение диаметра к √(площади круга) (разные масштабы) | |
| С' или С1 | 3.568 | √(40/п) | ||
| ' | 0.785 | п/4 | отношение площади круга к диаметру 2 | |
| М | 0.318 | 1/п | обратный π | |
| р , р 0 или 1° | 0.0175 | стр/180 | радианы на градус | |
| Р | 57.29 | 180/п | градусы на радиан | |
| р' | 3,438x10 3 | 60х180/п | угловые минуты на радиан [18] | |
| р" | 206,3x10 3 | 60х60х180/п | угловые секунды на радиан [18] | |
| с | 2.154 | если нет шкалы K | ||
| 1н , Л или У | 2.303 | 1/log 10 е | соотношение log e к log 10 | |
| Н | 1.341 | л.с. на кВт | механическая мощность |
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63cbc5cd8e5b29949a364b417d51c1e9be3421b)
Примечания
[ редактировать ]- ^ Корпус также можно называть рамой, основанием, штоком или статором.
- ^ Линия роста волос — это очень тонкая линия.
- ^ Чтобы умножить два числа, a и b , точка разделителей помещается на отметку 1, а разделители настраиваются так, чтобы другая точка находилась на a (или была кратна 10 a ). Сохраняя разделение разделителей фиксированным, одна точка перемещается на b , а вторая точка будет обозначать a x b (или b / a , если вторая точка расположена в направлении отметки 1). [4] [5]
- ^ Обратите внимание, что ( u + v ) = v ⋅ ( u / v +1) и ( u - v ) = v ⋅ ( u / v -1). Чтобы реализовать это, необходимо мысленно добавить или вычесть 1.
- ^ Aristo 0952 HyperLog производился в 1973 году, его общая длина составляет 37,4 сантиметра (14,7 дюйма) со следующей шкалой. Спереди: LL00, LL01, LL02, LL03, DF (на слайдере CF, CIF, L, CI, C) D, LL3, LL2, LL1 и LL00. Спинка: Н2, Ш2, Чх, К, А (на ползунке Б, Т, СТ, С, П, С) Д, ДИ, Ч, Ш1, Н1. Его калибровочные знаки — π , ρ' , ρ , e , 1/e , √2 . [12] [13]
- ^ Увеличиваются или уменьшаются аннотации слева направо.
- ^ Перейти обратно: а б R1/R2 часто проще использовать для извлечения квадратного корня, чем A и B. [8]
- ^ Польская фирма Skala использовала шкалу «M» в решениях прямоугольного треугольника . [16]
- ^ Перейти обратно: а б с См. Савард для особых соображений. [17]
- ^ См. изображение обратной стороны логарифмической линейки Aristo выше.
Ссылки
[ редактировать ]Цитаты
[ редактировать ]- ^ «Линейка и планиметрические разрезы». Каталог K&E, 42-е издание . Койфель и Эссер. 1954. с. 279. Архивировано из оригинала 7 апреля 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- ^ Джонсон (1949) , Предисловие.
- ^ Перейти обратно: а б Савард, Джон Дж. Г. «Типы логарифмических линеек» . www.quadibloc.com . Квадриблок. Архивировано из оригинала 28 сентября 2020 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- ^ «Правила слайдов» . Музей калькуляторов HP . Хьюлетт Паккард. Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- ^ Сангвин (2003) , с. 4.
- ^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики, Vol. II . Дуврские публикации. п. 205. ИСБН 9780486204307 .
Столл, Клифф (май 2006 г.). «Когда правили правила слайдов». Научный американец . 294 (5): 80–87. Бибкод : 2006SciAm.294e..80S . doi : 10.1038/scientificamerican0506-80 . ПМИД 16708492 .
Каджори, Флориан (1920). Об истории весов Гюнтера и логарифмической линейки в семнадцатом веке . Пресса Калифорнийского университета. - ^ Сангвин (2003) .
- ^ Перейти обратно: а б с д Маркотт, Эрик. «Виды логарифмических линеек и их масштабы» . Сайт логарифмической линейки Эрика . Архивировано из оригинала 31 марта 2021 года . Проверено 24 июня 2021 г.
- ^ Джонсон (1949) , стр. 1–6.
- ^ Джонсон (1949) , стр. 85, 105–106, 133–135, 136–138, 182–184, 189–190.
- ^ Никитин, Андрей. «Сложение и вычитание с помощью логарифмической линейки» . nsg.upor.net . Архивировано из оригинала 11 ноября 2020 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- ^ Сил, Стив К. «Aristo 0972 Hyperlog» . Правила слайдов Стива . Архивировано из оригинала 25 января 2020 года . Проверено 24 июня 2021 г.
- ^ Хаманн, Кристиан М. «Аристо-Гиперлог (масштаб 25 см)» . public.beuth-hochschule.de . Архивировано из оригинала 4 апреля 2016 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- ^ Хамман, Кристиан-М. «Принцип правил слайдов, Приложение D» . Университет прикладных наук Бетта. Архивировано из оригинала 19 сентября 2020 года . Проверено 25 июня 2021 г.
Международный музей логарифмических линеек. «Иллюстрированный самостоятельный курс по использованию логарифмической линейки» . Sliderulemuseum.com . Международный музей логарифмических линеек. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г.
Сферные исследования. «Страница весов логарифмической линейки» . www.sphere.bc.ca . Сферные исследования. Архивировано из оригинала 6 апреля 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г. - ^ Перейти обратно: а б с д и Савард, Джон Дж. Г. «Как работала логарифмическая линейка?» . www.quadibloc.com . Квадриблок. Архивировано из оригинала 10 октября 2020 года . Проверено 27 июня 2021 г.
- ^ Карраско, Анхель (1 мая 2021 г.). «Шкала «М» в польских правилах слайдов Скала» (PDF) . Перевод Гонсалеса, Альваро; Фернандес-Равентос, Хосе Габриэль.
- ^ Савард, Джон Дж. Г. «Специальные весы» . www.quadibloc.com . Квадриблок. Архивировано из оригинала 13 июня 2021 года . Проверено 27 июня 2021 г.
- ^ Перейти обратно: а б с Мэнли, Рон. «Точки измерения для малых углов» . www.sliderules.info . Архивировано из оригинала 18 марта 2021 года . Проверено 26 июня 2021 г.
- ^ Джонсон (1949) , стр. 144–145, 219.
- ^ Перейти обратно: а б с Сил, Стив К. «Калибровые отметки» . Правила слайдов Стива . Архивировано из оригинала 21 января 2020 года . Проверено 23 июня 2021 г.
- ^ Фернандес, JG (30 апреля 2009 г.). «Периферийные линии в расположении и использовании курсоров FaberCastell» . Slidetodoc.com . Архивировано из оригинала 25 июня 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г.
Мэнли, Рон. «Курсорные линии волос» . www.sliderules.info . Архивировано из оригинала 18 марта 2021 года . Проверено 26 июня 2021 г. - ^ Хамман, Кристиан-М. «Линейки и калькуляторы слайдов: (F) Знаки на линейках и их значение» . Докомпьютерный технический музей . Архивировано из оригинала 4 января 2021 года . Проверено 24 июня 2021 г.
Цитируемые работы
[ редактировать ]- Джонсон, Ли Харни (1949). Правило слайда . Д. Ван Ностранд . LCCN 49009467 . OCLC 1450486 . ОЛ 6049479М . Проверено 14 июня 2022 г. - из Интернет-архива .
- Сангвин, Кристофер Дж. (21 января 2003 г.). Эдмунд Гюнтер и сектор (PDF) (Отчет). Школа математики и статистики, Школа математики Бирмингемского университета . CiteSeerX 10.1.1.524.1614 . S2CID 204765145 . Проверено 14 июня 2022 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Альфельд, Питер. «Что можно сделать с помощью логарифмической линейки?» . www.math.utah.edu . Университет Юты. Архивировано из оригинала 25 июня 2021 года . Проверено 25 июня 2021 г.
- Дэвис, Ричард; Хьюм, Тед; Коппани, Боб, ред. (2012). Справочное руководство по логарифмическим линейкам Oughtred Society (PDF) . Отчужденное общество. Архивировано (PDF) из оригинала 26 апреля 2021 года.
- Харрис, Чарльз Овертон (1972). Упрощенная логарифмическая линейка . Чикаго: Американское техническое общество. ISBN 978-0-8269-2342-4 .
- Янг, Невилл В. (1972). Полное руководство по логарифмической линейке . Дэвид М. Петерсон. Архивировано из оригинала 25 июня 2021 года.