Край (геометрия)
Многоугольник ограничен краями; у этого квадрата 4 ребра.
Каждое ребро разделяется тремя или более гранями в 4-многограннике , как видно на этой проекции тессеракта .
В геометрии ребро — это особый тип отрезка линии, две вершины многоугольника соединяющий , многогранника или многогранника более высокой размерности . [1] В многоугольнике ребро — это отрезок линии на границе, [2] и часто называется стороной многоугольника . В многограннике или, в более общем смысле, в многограннике, ребро — это отрезок прямой, где встречаются две грани (или стороны многогранника). [3] Сегмент, соединяющий две вершины и проходящий через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а называется диагональю .
Связь с ребрами в графах
[ редактировать ]В теории графов ребро — это абстрактный объект, соединяющий две вершины графа , в отличие от ребер многоугольника и многогранника, которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка прямой.Однако любой многогранник можно представить его скелетом или ребром-скелетом, графом, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам. [4] И наоборот, графы, являющиеся скелетами трехмерных многогранников, могут быть охарактеризованы теоремой Стейница как в точности 3-связные плоские графы . [5]
Количество ребер в многограннике
[ редактировать ]Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — количество вершин , E — количество ребер, а F — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество ребер на 2 меньше суммы чисел вершин и граней. Например, у куба 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.
Случаи с другими лицами
[ редактировать ]В многоугольнике в каждой вершине встречаются два ребра ; в более общем смысле, по теореме Балинского , по крайней мере d ребер сходятся в каждой вершине d -мерного выпуклого многогранника. [6] Аналогично, в многограннике на каждом ребре встречаются ровно две двумерные грани: [7] в то время как в многогранниках более высокой размерности три или более двумерных грани встречаются на каждом ребре.
Альтернативная терминология
[ редактировать ]В теории многомерных выпуклых многогранников грань — это или сторона многогранника d -мерного — 1)-мерных элементов один из его ( d , гребень — это ( d — 2)-мерный элемент, а вершина — это ( d − 3)-мерный объект. Таким образом, ребра многоугольника — это его грани, ребра трёхмерного выпуклого многогранника — его рёбра, а ребра четырёхмерного многогранника — его вершины. [8]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике , том. 152, Спрингер, Определение 2.1, с. 51, ISBN 9780387943657 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. « Край многоугольника ». Из Wolfram MathWorld.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. « Край многогранника ». Из Wolfram MathWorld.
- ^ Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Springer, с. 81, ISBN 9780387927145 .
- ^ Писански, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Горини, Кэтрин А. (редактор), Геометрия в действии , Примечания MAA, том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Матем. доц. Америка, стр. 174–194, MR 1782654 . См., в частности, теорему 3, с. 176 .
- ^ Балинский, М.Л. (1961), «О графической структуре выпуклых многогранников в n -пространстве» , Pacific Journal of Mathematics , 11 (2): 431–434, doi : 10.2140/pjm.1961.11.431 , MR 0126765 .
- ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 1, ISBN 9780521098595 .
- ^ Зайдель, Раймунд (1986), «Построение выпуклых оболочек более высокой размерности с логарифмической стоимостью на грань», Труды восемнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '86) , стр. 404–413, doi : 10.1145/12130.12172 , S2CID 8342016 .