Zhu algebra

В математике алгебра Чжу и тесно связанная с ней C ₂ -алгебра , представленная Юнчан Чжу в его докторской диссертации, представляют собой две ассоциативные алгебры, канонически построенные на основе заданной алгебры вершинных операторов . Многие важные теоретико-представительные свойства вершинной алгебры логически связаны со свойствами ее алгебры Чжу или C ₂ -алгебры.

Определения

Позволять $V=\bigoplus _{n\geq 0}V_{(n)}$ — градуированная вершинная операторная алгебра с $V_{(0)}=\mathbb {C} \mathbf {1}$ и пусть $Y(a,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}$ быть вершинным оператором, связанным с $a\in V.$ Определять $C_{2}(V)\subset V$быть подпространством, охватываемым элементами формы $a_{-2}b$ для $a,b\in V.$ Элемент $a\in V$ однороден с $\operatorname {wt} a=n$ если $a\in V_{(n)}.$ Есть две бинарные операции над $V$определяется $$a*b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-1}b,~~~~~a\circ b=\sum _{i\geq 0}{\binom {\operatorname {wt} a}{i}}a_{i-2}b$$для однородных элементов и распространяется линейно на все $V$. Определять $O(V)\subset V$быть диапазоном всех элементов $a\circ b$.

Алгебра $A(V):=V/O(V)$ с бинарной операцией, вызванной $*$ — ассоциативная алгебра, называемая Чжу алгеброй $V$.

Алгебра $R_{V}:=V/C_{2}(V)$ с умножением $a\cdot b=a_{-1}b\mod C_{2}(V)$ называется C ₂ -алгеброй ​ $V$.

Основные свойства

• Умножение C ₂ -алгебры коммутативно, а дополнительная бинарная операция $\{a,b\}=a_{0}b\mod C_{2}(V)$ является скобкой Пуассона на $R_{V}$что придает C ₂ -алгебре структуру пуассоновой алгебры .
• -коконечности Чжу (Условие C ₂ ) Если $R_{V}$конечномерна, то $V$ называется C ₂ -коконечным. Есть два основных свойства теории представлений, связанных с C ₂ -коконечностью. Алгебра вершинных операторов $V$ рационально , если категория допустимых модулей полупроста и существует лишь конечное число неприводимых. Была высказана гипотеза, что рациональность эквивалентна C ₂ -коконечности и более строгому условию регулярности, однако это было опровергнуто в 2007 году Адамовичем и Миласом, которые показали, что тройная алгебра вершинных операторов является C ₂ -коконечной, но не рациональной . Известны различные более слабые версии этой гипотезы, в том числе и то, что из регулярности следует C ₂ -коконечность. и что для C ₂ -кофинита $V$ условия рациональности и регулярности эквивалентны. Эта гипотеза является аналогом критерия Картана для полупростоты в теории алгебр Ли вершинных алгебр , поскольку она связывает структурное свойство алгебры с полупростотой ее категории представления .
• Оценка на $V$ вызывает фильтрацию $A(V)=\bigcup _{p\geq 0}A_{p}(V)$ где $A_{p}(V)=\operatorname {im} (\oplus _{j=0}^{p}V_{p}\to A(V))$так что $A_{p}(V)\ast A_{q}(V)\subset A_{p+q}(V).$ Существует сюръективный морфизм алгебр Пуассона. $R_{V}\to \operatorname {gr} (A(V))$.

Ассоциированный сорт

Поскольку C ₂ -алгебра $R_{V}$ — коммутативная алгебра , ее можно изучать на языке алгебраической геометрии . схема Соответствующая ${\widetilde {X}}_{V}$ и связанное с ним разнообразие $X_{V}$ из $V$ определены как $${\widetilde {X}}_{V}:=\operatorname {Spec} (R_{V}),~~~X_{V}:=({\widetilde {X}}_{V})_{\mathrm {red} }$$которые являются аффинной схемой и аффинным алгебраическим многообразием соответственно. Более того, поскольку $L(-1)$ действует как производное от $R_{V}$ есть действие ​ $\mathbb {C} ^{\ast }$ по соответствующей схеме изготовления ${\widetilde {X}}_{V}$ коническая схема Пуассона и $X_{V}$ коническая разновидность Пуассона. На этом языке C ₂ -коконечность эквивалентна тому свойству, что $X_{V}$ это точка.

Пример: Если $W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)$ — аффинная W-алгебра, ассоциированная с аффинной алгеброй Ли ${\widehat {\mathfrak {g}}}$ на уровне $k$ и нильпотентный элемент $f$ затем ${\widetilde {X}}_{W^{k}({\widehat {\mathfrak {g}}},f)}={\mathcal {S}}_{f}$это Слодовы срез $f$.