Псевдоаналитическая функция

В математике псевдоаналитические функции — это функции, введенные Липманом Берсом ( 1950 , 1951 , 1953 , 1956 ), которые обобщают аналитические функции и удовлетворяют ослабленной форме уравнений Коши–Римана .

Определения [ править ]

Позволять $z=x+iy$ и пусть $\sigma (x,y)=\sigma (z)$ быть действительной функцией, определенной в ограниченной области $D$ . Если $\sigma >0$ и $\sigma _{x}$ и $\sigma _{y}$ непрерывны по Гёльдеру , то $\sigma$ допустимо в $D$ . Далее, учитывая риманову поверхность $F$ , если $\sigma$ допустимо для некоторой окрестности в каждой точке $F$ , $\sigma$ допустимо на $F$ .

Комплексная функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ является псевдоаналитическим относительно допустимого $\sigma$ в точку $z_{0}$ если все частные производные $u$ и $v$ существуют и удовлетворяют следующим условиям:

u_{x}=\sigma (x,y)v_{y},\quad u_{y}=-\sigma (x,y)v_{x}

Если $f$ является псевдоаналитическим в каждой точке некоторой области, то оно псевдоаналитическое в этой области. ^[1]

Сходства с аналитическими функциями [ править ]

Если $f(z)$ это не константа $0$ , то нули $f$ все изолированы.
Поэтому любое аналитическое продолжение $f$ является уникальным. ^[2]

Примеры [ править ]

Комплексные константы псевдоаналитические.
Любая линейная комбинация псевдоаналитических функций с действительными коэффициентами является псевдоаналитической. ^[1]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Берс, Липман (1950), «Уравнения в частных производных и обобщенные аналитические функции» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 36 (2): 130–136, Бибкод : 1950PNAS ... 36 ..130B , doi : 10.1073/pnas.36.2.130 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88348 , MR 0036852 , PMC 1063147 , PMID 16588958
^ Берс, Липман (1956), «Очерк теории псевдоаналитических функций» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 62 (4): 291–331, doi : 10.1090/s0002-9904-1956-10037-2 , ISSN 0002-9904 , МР 0081936

Дальнейшее чтение [ править ]

Кравченко, Владислав В. (2009). Прикладная псевдоаналитическая теория функций . Биркгаузер. ISBN 978-3-0346-0004-0 .
Берс, Липман (1951), «Уравнения в частных производных и обобщенные аналитические функции. Второе примечание» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 37 (1): 42–47, Bibcode : 1951PNAS. ..37...42B , doi : 10.1073/pnas.37.1.42 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88213 , MR 0044006 , PMC 1063297 , PMID 16588987
Берс, Липман (1953), Теория псевдоаналитических функций , Институт математики и механики, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк, MR 0057347

[Bers1950-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Берс, Липман (1950), «Уравнения в частных производных и обобщенные аналитические функции» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 36 (2): 130–136, Бибкод : 1950PNAS ... 36 ..130B , doi : 10.1073/pnas.36.2.130 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88348 , MR 0036852 , PMC 1063147 , PMID 16588958

[Bers1956-2] Берс, Липман (1956), «Очерк теории псевдоаналитических функций» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 62 (4): 291–331, doi : 10.1090/s0002-9904-1956-10037-2 , ISSN 0002-9904 , МР 0081936

[1]

[2]