Probit

См. также: Модель Пробита.

График функции пробит

В теории вероятностей и статистике пробит - функция — это функция квантиля, связанная со стандартным нормальным распределением . Он находит применение в анализе данных и машинном обучении, в частности в исследовательской статистической графике и специализированном регрессионном моделировании переменных двоичного отклика .

Математически пробит является обратной функцией кумулятивной функции распределения стандартного нормального распределения, которая обозначается как $\Phi (z)$, поэтому пробит определяется как

$\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)$.

Во многом благодаря центральной предельной теореме стандартное нормальное распределение играет фундаментальную роль в теории вероятностей и статистике. Если мы примем во внимание известный факт, что стандартное нормальное распределение помещает 95% вероятности между -1,96 и 1,96 и симметрично относительно нуля, из этого следует, что

$\Phi (-1.96)=0.025=1-\Phi (1.96).\,\!$

Функция пробит дает «обратные» вычисления, генерируя значение стандартной нормальной случайной величины, связанной с указанной кумулятивной вероятностью. Продолжая пример,

$\operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975)$.

В общем,

$\Phi (\operatorname {probit} (p))=p$

и

$\operatorname {probit} (\Phi (z))=z.$

Концептуальная разработка

Идея пробит-функции была опубликована Честером Иттнером Блиссом в статье в журнале Science в 1934 году о том, как обрабатывать такие данные, как процент вредителей, убитых пестицидом . Блисс предложил преобразовать процент убитых в « вероятность убийства » (или «пробит»), которая была линейно связана с современным определением (он произвольно определил ее как равную 0 для 0,0001 и 1 для 0,9999):

Эти произвольные единицы вероятности были названы «пробитами».

Он включил таблицу, которая поможет другим исследователям преобразовать свои проценты уничтожения в его пробит, который они затем смогут построить против логарифма дозы и тем самым, как надеялись, получить более или менее прямую линию. Такая так называемая пробит-модель по-прежнему важна в токсикологии, а также в других областях. Такой подход оправдан, в частности, если вариацию ответа можно объяснить как логнормальное распределение толерантности среди испытуемых, где толерантность конкретного испытуемого представляет собой дозу, достаточную как раз для интересующего ответа.

Метод, предложенный Блиссом, был развит в «Пробит-анализе» , важном тексте по токсикологическим применениям, написанном Дж. Финни . Значения, представленные Финни, могут быть получены из пробитов, определенных здесь, путем добавления значения 5. Это различие резюмируется Коллеттом (стр. 55): «Первоначальное определение пробита [с добавлением 5] было сделано, прежде всего, для того, чтобы избежать необходимости работать с отрицательными пробитами; ... Это определение все еще используется в некоторых кругах, но в основных пакетах статистического программного обеспечения для того, что называется пробит-анализом. , пробиты определяются без добавления 5." Следует отметить, что пробит-методология, включая численную оптимизацию для подбора пробит-функций, была введена до широкого распространения электронных вычислений. При использовании таблиц было удобно иметь равномерно положительные пробиты. Общие области применения не требуют положительных пробитов.

Диагностика отклонения распределения от нормальности

Основная статья: сюжет вопросов-вопросов

Помимо обеспечения основы для важных типов регрессии, пробит-функция полезна в статистическом анализе для диагностики отклонения от нормальности в соответствии с методом построения Q-Q-графика. Если набор данных на самом деле является образцом нормального распределения , график зависимости значений от их показателей пробита будет приблизительно линейным. Конкретные отклонения от нормальности, такие как асимметрия , тяжелые хвосты или бимодальность , можно диагностировать на основе обнаружения конкретных отклонений от линейности. Хотя график Q–Q можно использовать для сравнения с любым семейством распределений (не только с нормальным), нормальный график Q–Q является относительно стандартной процедурой исследовательского анализа данных, поскольку предположение о нормальности часто является отправной точкой для анализа.

Вычисление

CDF нормального распределения и его обратная функция недоступны в закрытой форме , а вычисления требуют тщательного использования числовых процедур. Однако эти функции широко доступны в программном обеспечении для статистики и вероятностного моделирования, а также в электронных таблицах. Например, в Microsoft Excel функция пробит доступна какnormal.s.inv(p). численные реализации обратной функции ошибок В вычислительных средах, где доступны , пробит-функцию можно получить как

$\operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).$

Примером является MATLAB , где доступна функция erfinv. Язык Mathematica реализует InverseErf. Другие среды напрямую реализуют функцию пробит, как показано в следующем сеансе на языке программирования R.

> qnorm(0.025)
[1] -1.959964
> pnorm(-1.96)
[1] 0.02499790

Подробности расчета обратной функции ошибок можно найти в [1] . Вичура предлагает быстрый алгоритм вычисления пробит-функции с точностью до 16 знаков после запятой; это используется в R для генерации случайных величин для нормального распределения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение для пробит-функции

Другой способ вычислений основан на формировании нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) для пробита согласно методу Штейнбрехера и Шоу. Сокращение пробит-функции как $w(p)$, ОДУ

${\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}$

где $f(w)$ — функция плотности вероятности w .

В случае гауссова:

${\frac {dw}{dp}}={\sqrt {2\pi }}\ e^{\frac {w^{2}}{2}}$

Еще раз дифференцируем:

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

с центральными (начальными) условиями

$w\left(1/2\right)=0,$

$w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.$

Это уравнение можно решить несколькими методами, включая метод классического степенного ряда. Исходя из этого, можно разработать решения сколь угодно высокой точности на основе подхода Штейнбрехера к ряду для обратной функции ошибки. Решение степенного ряда имеет вид

$w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{(2k+1)}$

где коэффициенты $d_{k}$ удовлетворить нелинейную рекуррентность

$d_{k+1}={\frac {\pi }{4}}\sum _{j=0}^{k}{\frac {d_{j}d_{k-j}}{(j+1)(2j+1)}}$

с $d_{0}=1$. В этой форме соотношение $d_{k+1}/d_{k}\rightarrow 1$ как $k\rightarrow \infty$.

Логит

Сравнение логит-функции с масштабированным пробитом (т.е. обратным CDF нормального распределения ), сравнение $\operatorname {logit} (x)$ против. $\Phi ^{-1}(x)/{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}$, что делает наклоны одинаковыми в начале координат.

Дополнительная информация: Логит

Тесно связаны с функцией пробит (и моделью пробит ) функция логит и модель логит . Обратная логистическая функция определяется выражением

$\operatorname {logit} (p)=\log \left({\frac {p}{1-p}}\right).$

Аналогично пробит-модели, мы можем предположить, что такая величина линейно связана с набором предикторов, в результате чего получается логит-модель , основа, в частности, модели логистической регрессии , наиболее распространенной формы регрессионного анализа для категориальных данных ответа. В современной статистической практике модели пробит- и логит-регрессии часто рассматриваются как случаи обобщенной линейной модели .

См. также

• Графики компромисса ошибок обнаружения (графики DET, альтернатива ROC)
• Логистическая регрессия (также известная как логит-модель)
• Логит
• Probit model
• Полиномиальный пробит
• График вопросов-вопросов
• Непрерывная функция
• Монотонная функция
• Квантильная функция
• Сигмовидная функция
• Ранкит- анализ, также разработанный Честером Блиссом.
• Ридит подсчет очков

Внешние ссылки

• Какая функция связи — Logit, Probit или Cloglog? 12.04.2023