Модель гистерезиса Прейзаха

В электромагнетизме модель гистерезиса Прейзаха является моделью магнитного гистерезиса . Первоначально он обобщал гистерезис как связь между магнитным полем и намагниченностью магнитного материала как параллельное соединение независимых гистеронов реле . Впервые это было предложено в 1935 году Ференцем (Францом) Прейзахом в немецком академическом журнале Zeitschrift für Physik . ^{[ 1 ]} В области ферромагнетизма иногда полагают, что модель Прейзаха описывает ферромагнитный материал как сеть небольших независимо действующих доменов , каждый из которых намагничен до значения либо $h$ или $-h$ . образец железа Например, может иметь равномерно распределенные магнитные домены, в результате чего суммарный магнитный момент равен нулю.

Математически подобные модели, похоже, были независимо разработаны в других областях науки и техники. Одним из ярких примеров является модель капиллярного гистерезиса в пористых материалах, разработанная Эвереттом и его сотрудниками. С тех пор, после работ таких людей, как М. Красносельский, А. Покровский, А. Висинтин и И. Д. Майергойз, модель получила широкое признание как общий математический инструмент для описания различного рода явлений гистерезиса. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Неидеальное реле

Релейный гистерон является фундаментальным строительным блоком модели Прейзаха. Он описывается как двузначный оператор , обозначаемый $R_{\alpha ,\beta }$ . Его карта ввода-вывода имеет форму цикла, как показано:

Вверху реле магнитуды 1, $\alpha$ определяет порог «отключения», и $\beta$ определяет порог включения.

Графически, если $x$ меньше, чем $\alpha$ , выход $y$ «низкий» или «выключен». По мере того, как мы увеличиваем $x$ , выходной сигнал остается низким до тех пор, пока $x$ достигает $\beta$ — в этот момент выход включается. Дальнейшее увеличение $x$ не имеет изменений. Уменьшение $x$ , $y$ не опускается до тех пор, пока $x$ достигает $\alpha$ снова. Очевидно, что оператор реле $R_{\alpha ,\beta }$ принимает путь цикла, и его следующее состояние зависит от его прошлого состояния.

Математически вывод $R_{\alpha ,\beta }$ выражается как:

$y(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x\geq \beta \\0&{\mbox{ if }}x\leq \alpha \\k&{\mbox{ if }}\alpha <x<\beta \end{cases}}$

Где $k=0$ если в последний раз $x$ был за пределами границ $\alpha <x<\beta$ , это было в районе г. $x\leq \alpha$ ; и $k=1$ если в последний раз $x$ был за пределами границ $\alpha <x<\beta$ , это было в районе г. $x\geq \beta$ .

Это определение гистерона показывает, что текущее значение $y$ Полная петля гистерезиса зависит от истории входной переменной $x$ .

Дискретная ценовая модель

Модель Прейзаха состоит из множества релейных гистеронов, соединенных параллельно, с заданными весами и суммированными. Это можно представить с помощью блок-схемы:

Каждое из этих реле имеет разные $\alpha$ и $\beta$ пороговые значения и масштабируется по $\mu$ . С увеличением $N$ , истинная кривая гистерезиса аппроксимируется лучше.

Пример гистерезиса, смоделированного с разным количеством N гистеронов.

В пределе как $N$ приближается к бесконечности, мы получаем непрерывную модель Прейзаха. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

y(t)=\iint _{\alpha \geq \beta }\mu (\alpha ,\beta )R_{\alpha \beta }x(t)d\alpha d\beta

План Прейзаха

Один из самых простых способов взглянуть на модель Прейзаха — использовать геометрическую интерпретацию. Рассмотрим плоскость координат $(\alpha ,\beta )$ . На этой плоскости каждая точка $(\alpha _{i},\beta _{i})$ сопоставлен с конкретным релейным гистероном $R_{\alpha _{i},\beta _{i}}$ . Каждое реле можно отобразить на так называемой плоскости Прейзаха со своим $(\alpha ,\beta )$ ценности. В зависимости от их распределения на плоскости Прейзаха гистероны реле могут с хорошей точностью представлять гистерезис.

Мы рассматриваем только полуплоскость $\alpha <\beta$ как и любой другой случай не имеет физического эквивалента в природе.

Далее берем конкретную точку на полуплоскости и строим прямоугольный треугольник, проведя две линии, параллельные осям, обе от точки к прямой. $\alpha =\beta$ .

Теперь мы представим функцию плотности Прейзаха, обозначенную $\mu (\alpha ,\beta )$ . Эта функция описывает количество релейных гистеронов каждого отдельного значения $(\alpha _{i},\beta _{i})$ . По умолчанию мы говорим, что за пределами прямоугольного треугольника $\mu (\alpha ,\beta )=0$ .

Представлена модифицированная формулировка классической модели Прейзаха, позволяющая аналитически выразить функция Эверетта. ^{[ 6 ]} Это делает модель значительно более быстрой и особенно подходящей для включения в программы расчета электромагнитного поля или анализа электрических цепей .

Векторная модель Прейзаха

Векторная модель Прейзаха строится как линейная суперпозиция скалярных моделей. ^{[ 7 ]} Для учета одноосной анизотропии материала функции Эверетта расширяются коэффициентами Фурье . В этом случае измеренные и смоделированные кривые находятся в очень хорошем согласии. ^{[ 8 ]} Другой подход использует другой релейный гистерон, закрытые поверхности, определенные в трехмерном входном пространстве. Обычно сферический гистерон используется для векторного гистерезиса в 3D. ^{[ 9 ]} а круговой гистерон используется для векторного гистерезиса в 2D. ^{[ 10 ]}

Приложения

Модель Прейзаха применялась для моделирования гистерезиса в самых разных областях, в том числе для изучения необратимых изменений гидравлической проводимости почвы в результате засоления и натриевых условий. ^{[ 11 ]} моделирование удержания влаги в почве ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} и влияние напряжений и деформаций на конструкции почвы и горных пород. ^{[ 16 ]}

См. также

Ссылки

^ Прейзах, Ф (1935). «О магнитном последействии». Журнал физики . 94 (5–6): 277–302. Бибкод : 1935ZPhy...94..277P . дои : 10.1007/bf01349418 . S2CID 122409841 .
^ Смит, Ральф К. (2005). Интеллектуальные материальные системы: разработка моделей . Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, Общество промышленной и прикладной математики. п. 189. ИСБН 978-0-89871-583-5 .
^ Висинтин, Аугусто (1994). Дифференциальные модели гистерезиса . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-11557-2 .
^ Майергойз, И.Д.; Фридман, Г. (1988). «Обобщенная модель гистерезиса Прейзаха». Транзакции IEEE по магнетизму . 24 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 212–217. Бибкод : 1988ITM....24..212M . дои : 10.1109/20.43892 . ISSN 0018-9464 .
^ Майергойз, И.Д. (1991). «Классическая модель гистерезиса Прейзаха». Математические модели гистерезиса . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 1–63. дои : 10.1007/978-1-4612-3028-1_1 . ISBN 978-1-4612-7767-5 . S2CID 118969949 .
^ Сабо, Жолт (февраль 2006 г.). «Функции Прейзаха, приводящие к проницаемости замкнутой формы». Физика Б: Конденсированное вещество . 372 (1–2): 61–67. Бибкод : 2006PhyB..372...61S . дои : 10.1016/j.physb.2005.10.020 .
^ Майергойз, И.Д. (2003). Математические модели гистерезиса и их приложения (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-12-480873-7 .
^ Кучманн, Миклош; Столериу, Лаврентий. «Анизотропная векторная модель Прейзаха» (pdf) . Журнал перспективных исследований в области физики . 1 (1): 011009 . Проверено 3 августа 2016 г.
^ Карделли, Эрманно; Делла Торре, Эдвард; Фаба, Антонио (2010). «Оператор общего векторного гистерезиса: расширение на трехмерный случай». Транзакции IEEE по магнетизму . 46 (12): 3990–4000. Бибкод : 2010ITM....46.3990C . дои : 10.1109/tmag.2010.2072933 . S2CID 31552464 .
^ Карделли, Эрманно (2011). «Общий оператор гистерезиса для моделирования векторных полей». Транзакции IEEE по магнетизму . 47 (8): 2056–2067. Бибкод : 2011ITM....47.2056C . дои : 10.1109/tmag.2011.2126589 . S2CID 25965526 .
^ Крамер, Исаак; Байер, Юваль; Адейемо, Тайво; Мау, Яир (14 апреля 2021 г.). «Гистерезис гидравлической проводимости почвы, обусловленный соленостью и натрием – основа моделирования» . Гидрология и науки о системе Земли . 25 (4): 1993–2008. Бибкод : 2021HESS...25.1993K . doi : 10.5194/hess-25-1993-2021 . ISSN 1027-5606 .
^ Флинн, Д; Рассказов О. (01.01.2005). «Об интегрировании ОДУ с производной нелинейности Прейзаха» . Физический журнал: серия конференций . 22 (1): 43–55. Бибкод : 2005JPhCS..22...43F . дои : 10.1088/1742-6596/22/1/003 . ISSN 1742-6588 .
^ Флинн, Денис; Макнамара, Хью; О'Кейн, Филип; Покровскю, Алексей (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 7 - Применение модели Прейсаха к гистерезису почвы и влаги» , «Наука гистерезиса » , Оксфорд: Academic Press, стр. 689–744, doi : 10.1016/b978-012480874- 4/50025-7 , ISBN 978-0-12-480874-4 , получено 7 февраля 2022 г.
^ О'Кейн, JP; Флинн, Д. (17 января 2007 г.). «Пороги, переключатели и гистерезис в гидрологии от педона до масштаба водосбора: теория нелинейных систем» . Гидрология и науки о системе Земли . 11 (1): 443–459. Бибкод : 2007HESS...11..443O . doi : 10.5194/hess-11-443-2007 . ISSN 1027-5606 .
^ Макнамара, Х. (январь 2014 г.). «Оценка рассеяния энергии из-за гистерезиса влажности почвы» . Исследования водных ресурсов . 50 (1): 725–735. Бибкод : 2014WRR....50..725M . дои : 10.1002/2012wr012634 . ISSN 0043-1397 . S2CID 129547567 .
^ Гайер, Роберт А. (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 6 - Гистерезисные упругие системы: геофизические материалы» , «Наука гистерезиса» , Оксфорд: Academic Press, стр. 555–688, doi : 10.1016/b978-012480874-4/50024- 5 , ISBN 978-0-12-480874-4 , получено 7 февраля 2022 г.

Внешние ссылки

Университетский колледж, Учебное пособие по пробковому гистерезису
Будапештский университет технологии и экономики, Венгрия. Реализация в Matlab модели Прейзаха, разработанной Зс. Сабо.
[1] Реализация модели Прейзаха на Python.
[2] Реализация модели Прейзаха в Matlab.

[1] Прейзах, Ф (1935). «О магнитном последействии». Журнал физики . 94 (5–6): 277–302. Бибкод : 1935ZPhy...94..277P . дои : 10.1007/bf01349418 . S2CID 122409841 .

[2] Смит, Ральф К. (2005). Интеллектуальные материальные системы: разработка моделей . Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, Общество промышленной и прикладной математики. п. 189. ИСБН 978-0-89871-583-5 .

[3] Висинтин, Аугусто (1994). Дифференциальные модели гистерезиса . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-11557-2 .

[4] Майергойз, И.Д.; Фридман, Г. (1988). «Обобщенная модель гистерезиса Прейзаха». Транзакции IEEE по магнетизму . 24 (1). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 212–217. Бибкод : 1988ITM....24..212M . дои : 10.1109/20.43892 . ISSN 0018-9464 .

[5] Майергойз, И.Д. (1991). «Классическая модель гистерезиса Прейзаха». Математические модели гистерезиса . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. стр. 1–63. дои : 10.1007/978-1-4612-3028-1_1 . ISBN 978-1-4612-7767-5 . S2CID 118969949 .

[6] Сабо, Жолт (февраль 2006 г.). «Функции Прейзаха, приводящие к проницаемости замкнутой формы». Физика Б: Конденсированное вещество . 372 (1–2): 61–67. Бибкод : 2006PhyB..372...61S . дои : 10.1016/j.physb.2005.10.020 .

[7] Майергойз, И.Д. (2003). Математические модели гистерезиса и их приложения (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-12-480873-7 .

[8] Кучманн, Миклош; Столериу, Лаврентий. «Анизотропная векторная модель Прейзаха» (pdf) . Журнал перспективных исследований в области физики . 1 (1): 011009 . Проверено 3 августа 2016 г.

[9] Карделли, Эрманно; Делла Торре, Эдвард; Фаба, Антонио (2010). «Оператор общего векторного гистерезиса: расширение на трехмерный случай». Транзакции IEEE по магнетизму . 46 (12): 3990–4000. Бибкод : 2010ITM....46.3990C . дои : 10.1109/tmag.2010.2072933 . S2CID 31552464 .

[10] Карделли, Эрманно (2011). «Общий оператор гистерезиса для моделирования векторных полей». Транзакции IEEE по магнетизму . 47 (8): 2056–2067. Бибкод : 2011ITM....47.2056C . дои : 10.1109/tmag.2011.2126589 . S2CID 25965526 .

[11] Крамер, Исаак; Байер, Юваль; Адейемо, Тайво; Мау, Яир (14 апреля 2021 г.). «Гистерезис гидравлической проводимости почвы, обусловленный соленостью и натрием – основа моделирования» . Гидрология и науки о системе Земли . 25 (4): 1993–2008. Бибкод : 2021HESS...25.1993K . doi : 10.5194/hess-25-1993-2021 . ISSN 1027-5606 .

[12] Флинн, Д; Рассказов О. (01.01.2005). «Об интегрировании ОДУ с производной нелинейности Прейзаха» . Физический журнал: серия конференций . 22 (1): 43–55. Бибкод : 2005JPhCS..22...43F . дои : 10.1088/1742-6596/22/1/003 . ISSN 1742-6588 .

[13] Флинн, Денис; Макнамара, Хью; О'Кейн, Филип; Покровскю, Алексей (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 7 - Применение модели Прейсаха к гистерезису почвы и влаги» , «Наука гистерезиса » , Оксфорд: Academic Press, стр. 689–744, doi : 10.1016/b978-012480874- 4/50025-7 , ISBN 978-0-12-480874-4 , получено 7 февраля 2022 г.

[14] О'Кейн, JP; Флинн, Д. (17 января 2007 г.). «Пороги, переключатели и гистерезис в гидрологии от педона до масштаба водосбора: теория нелинейных систем» . Гидрология и науки о системе Земли . 11 (1): 443–459. Бибкод : 2007HESS...11..443O . doi : 10.5194/hess-11-443-2007 . ISSN 1027-5606 .

[15] Макнамара, Х. (январь 2014 г.). «Оценка рассеяния энергии из-за гистерезиса влажности почвы» . Исследования водных ресурсов . 50 (1): 725–735. Бибкод : 2014WRR....50..725M . дои : 10.1002/2012wr012634 . ISSN 0043-1397 . S2CID 129547567 .

[16] Гайер, Роберт А. (1 января 2006 г.), Бертотти, Джорджио; Майергойз, Исаак Д. (ред.), «Глава 6 - Гистерезисные упругие системы: геофизические материалы» , «Наука гистерезиса» , Оксфорд: Academic Press, стр. 555–688, doi : 10.1016/b978-012480874-4/50024- 5 , ISBN 978-0-12-480874-4 , получено 7 февраля 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]