Модель Стоунера – Вольфарта

В электромагнетизме модель Стонера-Вольфарта моделью намагничивания ферромагнетиков с однодоменным является широко используемой . ^{[ 1 ]} Это простой пример магнитного гистерезиса , который полезен для моделирования небольших магнитных частиц в магнитном хранилище , биомагнетизме , магнетизме горных пород и палеомагнетизме .

История

Модель Стоунера-Вольфарта была разработана Эдмундом Клифтоном Стоунером и Эрихом Питером Вольфартом и опубликована в 1948 году. ^{[ 1 ]} Он включал численный расчет интегрального отклика случайно ориентированных магнитов. Поскольку это было сделано до того, как компьютеры стали широко доступны, они прибегали к тригонометрическим таблицам и ручным расчетам.

Описание

В модели Стонера-Вольфарта намагниченность не меняется внутри ферромагнетика и представлена вектором $M$ . магнитного поля $H.$ Этот вектор вращается при изменении Магнитное поле изменяется только вдоль одной оси; его скалярное значение $h$ положительно в одном направлении и отрицательно в противоположном направлении. Предполагается, что ферромагнетик обладает одноосной магнитной анизотропией с параметром анизотропии $K u$ . Поскольку магнитное поле изменяется, намагниченность ограничивается плоскостью, содержащей направление магнитного поля и легкую ось . Поэтому его можно представить одним углом $φ$ , углом между намагниченностью и полем (рис. 1). Также указывается угол $θ$ между полем и легкой осью.

Уравнения

Энергия системы равна

E=K_{u}V\sin ^{2}\left(\varphi -\theta \right)-\mu _{0}M_{s}VH\cos \varphi ,\,

( 1 )

где $V$ — объем магнита, $M s$ — намагниченность насыщения , а $µ 0$ — вакуумная проницаемость . Первый член — это магнитная анизотропия , а второй — энергия связи с приложенным полем (часто называемая энергией Зеемана).

Стоунер и Вольфарт нормализовали это уравнение:

\eta ={\frac {E}{2K_{u}V}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\cos \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)-h\cos \varphi ,\,

( 2 )

где $час знак равно μ 0 M s ЧАС /2 K ты$ . Данное направление намагничивания находится в механическом равновесии , если действующие на него силы равны нулю. Это происходит, когда первая производная энергии по направлению намагничивания равна нулю:

{\frac {\partial \eta }{\partial \varphi }}={\frac {1}{2}}\sin \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)+h\sin \varphi =0.\,

( 3 )

Это направление устойчиво к возмущениям, когда оно находится в минимуме энергии, имеющем положительную вторую производную:

{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \varphi ^{2}}}=\cos \left(2\left(\varphi -\theta \right)\right)+h\cos \varphi >0.\,

( 4 )

В нулевом поле член магнитной анизотропии минимизируется, когда намагниченность ориентирована по легкой оси. В большом поле намагниченность направлена в сторону поля. ^{[ 1 ]}

Петли гистерезиса

Для каждого угла $θ$ между легкой осью и полем уравнение ( 3 ) имеет решение, состоящее из двух кривых решения. Решить эти кривые тривиально, варьируя $φ$ и находя решение для $h$ . Существует одна кривая для $φ$ между $0$ и $π$ и другая для $φ$ между $π$ и $2 π$ ; решения при $φ = 0$ и $π$ соответствуют $h = \pm\infty$ . ^{[ 1 ]}

Поскольку намагниченность в направлении поля равна $M s cos φ$ , эти кривые обычно строят в нормированном виде $m h$ vs. $h$ , где $m h = cos φ$ — составляющая намагниченности в направлении поля. Пример показан на рисунке 2. Сплошные красные и синие кривые соединяют стабильные направления намагничивания. Для полей $-1/2 \leq h \leq 1/2$ две кривые перекрываются и существуют два устойчивых направления. Это область, где возникает гистерезис . Включены три энергетических профиля (вставки). Красные и синие звезды — устойчивые направления намагниченности, соответствующие минимумам энергии. Там, где вертикальные пунктирные линии пересекают красную и синюю пунктирные линии, направления намагничивания являются энергетическими максимумами и определяют энергетические барьеры между состояниями. ^{[ 1 ]}

При обычном измерении магнитного гистерезиса $h$ начинается с большого положительного значения и уменьшается до большого отрицательного значения. Направление намагничивания начинается на синей кривой. При $h = 0,5$ появляется красная кривая, но при $h > 0$ синее состояние имеет меньшую энергию, поскольку оно ближе к направлению магнитного поля. Когда поле становится отрицательным, красное состояние имеет меньшую энергию, но намагниченность не может сразу перейти в это новое направление, поскольку между ними существует энергетический барьер (см. вставки). Однако при $h = -0,5$ энергетический барьер исчезает, и в более отрицательных полях синее состояние больше не существует. Поэтому он должен перейти в красное состояние. После этого скачка намагниченность остается на красной кривой до тех пор, пока поле не превысит $h = 0,5$ , где оно перейдет на синюю кривую. Обычно строится только петля гистерезиса; влияние тепловых флуктуаций . энергетические максимумы представляют интерес только в том случае, если рассчитывается ^{[ 1 ]}

Модель Стонера-Вольфарта является классическим примером магнитного гистерезиса. Петля симметричная (на $180 °$ вращение) вокруг начала координат и скачки происходят при $h = \pm h s$ , где $h s$ называется полем переключения . Весь гистерезис возникает при $\pm h с$ .

Зависимость от направления поля

Форма петли гистерезиса сильно зависит от угла между магнитным полем и легкой осью (рис. 3). Если они параллельны ( $θ = 0$ ), петля гистерезиса будет максимальной (с $m h = h s = 1$ в нормализованных единицах). Намагниченность начинается параллельно полю и не вращается, пока не станет неустойчивой и не перескочит в противоположное направление. В общем, чем больше угол, тем более обратимое вращение происходит. На другом полюсе $θ = 90 °$ , когда поле перпендикулярно легкой оси, скачка не происходит. Намагниченность непрерывно вращается из одного направления в другое (хотя есть два варианта направления вращения).

Для данного угла $θ$ поле переключения — это точка, в которой решение переключается с минимума энергии $(\partial 2 ч /\partial f 2 > 0)$ до максимума энергии $(\partial 2 ч /\partial f 2 < 0)$ . Таким образом, его можно рассчитать непосредственно, решив уравнение ( 3 ) вместе с $\partial 2 ч /\partial f 2 = 0$ . Решение

h_{s}={\frac {\left(1-t^{2}+t^{4}\right)^{1/2}}{1+t^{2}}},\,

( 5 )

где

t=\tan ^{1/3}\theta .\,

( 6 )

В нормализованных единицах $0,5 \leq h s \leq 1$ . ^{[ 1 ]}

Альтернативный способ представления решения поля переключения — разделить векторное поле $h$ на компонент $h || = h cos θ$ , параллельная легкой оси, и компонента $h ⊥ = h sin θ$ , перпендикулярная. Затем

h_{\parallel }^{2/3}+h_{\perp }^{2/3}=1.\,

( 7 )

Если компоненты нанести на график друг против друга, результатом будет астроида Стоунера-Вольфарта . Петлю магнитного гистерезиса можно рассчитать, применив к этой астроиде геометрическую конструкцию. ^{[ 2 ]}

Прогнозы для однородных изотропных систем

Гистерезис

Стоунер и Вольфарт рассчитали основную петлю гистерезиса для изотропной системы случайно ориентированных одинаковых частиц. Результат расчета воспроизведен на рис. 4. Необратимое изменение (одиночная стрелка) происходит при $0,5 < | ч | < 1$ , обратимое изменение (двойные стрелки) в другом месте. нормированные остаточная намагниченность насыщения $mrs hc$ и коэрцитивная $сила .$ На рисунке указаны Кривая в центре — это начальная кривая намагничивания . Это моделирует поведение образца, если его размагничивать перед приложением поля. Предполагается, что в результате размагничивания каждая частица имеет равную вероятность намагничивания в любом из двух направлений, параллельных легкой оси. Таким образом, это среднее значение верхней и нижней ветвей основного цикла. ^{[ 1 ]}

Изотермическая остаточная намагниченность

Рисунок 5. Три вида изотермической остаточной намагниченности для изотропной системы случайно ориентированных одинаковых частиц. Остаточная намагниченность $: mir —$ изотермическая остаточная намагниченность; $maf —$ остаточная намагниченность переменного поля; и $m df$ , остаточная намагниченность постоянного тока.

Некоторые расчеты остаточной намагниченности для случайно ориентированных идентичных частиц показаны на рисунке 5. Изотермическая остаточная намагниченность (IRM) достигается после размагничивания образца и последующего приложения поля. Кривая $m ir (h)$ показывает нормированную остаточную намагниченность как функцию поля. Никаких изменений не происходит до тех пор, пока $h = 0,5,$ поскольку все поля переключения больше $0,5$ . До этого поля изменения намагниченности обратимы. Намагниченность достигает насыщения при $h = 1$ , наибольшем поле переключения.

Два других типа остаточной намагниченности включают размагничивание изотермической остаточной намагниченности насыщения (SIRM), поэтому в нормализованных единицах они начинаются с $1$ . Опять же, с остаточной намагниченностью ничего не происходит, пока поле не достигнет значения $0,5$ . Поле, при котором $m dc$ достигает нуля, называется коэрцитивной силой остаточной намагниченности .

Параметры гистерезиса предсказаны для идентичных, случайно ориентированных частиц
Параметр	Прогноз
$M_{rs}/M_{s}$	$0.5$
$H_{c}/2K_{u}$	$0.479$
$H_{cr}/2K_{u}$	$0.524$
$\chi _{0}/2K_{u}$	$2/3$
$H_{cr}/H_{c}$	$1.09$

Некоторые параметры магнитного гистерезиса, предсказанные этим расчетом, показаны в соседней таблице. Нормированные величины, используемые в приведенных выше уравнениях, были выражены через нормальные измеренные величины. Параметр $H cr$ представляет собой коэрцитивную силу остаточной намагниченности, а $χ 0$ — начальную восприимчивость ( магнитную восприимчивость размагниченного образца). ^{[ 1 ]}

Более общие системы

Вышеприведенные расчеты относятся к идентичным частицам. В реальном образце параметр магнитной анизотропии $K u$ будет разным для каждой частицы. Это не меняет соотношение $M rs / M s$ , но меняет общую форму петли. ^{[ 3 ]} Параметром, который часто используют для характеристики формы петли, является отношение $H кр / Н с$ , которое составляет 1,09 для образца с идентичными частицами и больше, если они не идентичны. Зависимости $M rs / M s$ от $H cr / H c$ широко используются в магнетизме горных пород как мера доменного состояния ( однодоменного или многодоменного ) в магнитных минералах. ^{[ 4 ]}

Вольфартовские отношения

Вольфарт определил соотношения между остаточными намагниченностями, которые справедливы для любой системы частиц Стонера – Вольфарта:

{\begin{aligned}M_{af}(H)&=M_{rs}-M_{ir}(H)\\M_{df}(H)&=M_{rs}-2M_{ir}(H)\end{aligned}}.\,

( 8 )

Эти соотношения Вольфарта сравнивают IRM с размагничиванием остаточной намагниченности насыщения. Вольфарт также описал более общие отношения, сравнивая получение IRM ненасыщения и его размагничивание. ^{[ 3 ]}

Отношения Вольфарта можно представить в виде линейных графиков зависимости одной остаточной намагниченности от другой. Эти графики Хенкеля часто используются для отображения измеренных кривых остаточной намагниченности реальных образцов и определения применимости к ним теории Стонера-Вольфарта. ^{[ 5 ]}

Расширения модели

Модель Стонера-Вольфарта полезна отчасти потому, что она очень проста, но она часто не отражает фактические магнитные свойства магнита. Есть несколько способов расширения:

Обобщение магнитной анизотропии : петли гистерезиса были рассчитаны для частиц с чистой кубической магнитокристаллической анизотропией , а также смесей кубической и одноосной анизотропии.
Добавление тепловых флуктуаций : Термические флуктуации делают возможными переходы между стабильными состояниями, уменьшая гистерезис в системе. Пфайффер ^{[ 6 ]} добавили в модель Стонера-Вольфарта эффект тепловых флуктуаций. Это делает гистерезис зависимым от размера магнитной частицы. По мере уменьшения размера частицы (и времени между скачками ) она в конечном итоге переходит в суперпарамагнетизм .
Добавление взаимодействий частиц: Магнитостатическая или обменная связь между магнитами может оказать большое влияние на магнитные свойства. Если магниты расположены в цепочке, они могут действовать в унисон, ведя себя во многом подобно частицам Стоунера-Вольфарта. Этот эффект наблюдается в магнитосомах бактерий магнитотактических . В других схемах взаимодействия могут уменьшить гистерезис.
Обобщая неоднородную намагниченность: это область микромагнетизма .

См. также

Примечания

Ссылки

Дэй, Р.; Фуллер, М.; Шмидт, Вирджиния (1977). «Гистерезисные свойства титаномагнетитов: зависимость от размера зерен и состава». Физика Земли и недр планет . 13 (4): 260–267. Бибкод : 1977PEPI...13..260D . дои : 10.1016/0031-9201(77)90108-X .
Майергойз, Исаак Д. (2003). Математические модели гистерезиса и их приложения (Второе изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0124808737 .
Пфайффер, Х. (1990). «Определение распределения поля анизотропии в ансамблях частиц с учетом тепловых флуктуаций». Физический статус Солиди А. 118 (1): 295–306. Бибкод : 1990PSSAR.118..295P . дои : 10.1002/pssa.2211180133 .
Стоунер, ЕС ; Вольфарт, EP (1948). «Механизм магнитного гистерезиса в гетерогенных сплавах» . Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 240 (826): 599–642. Бибкод : 1948RSPTA.240..599S . дои : 10.1098/rsta.1948.0007 .
Вольфарт, EP (1958). «Связь между различными способами приобретения остаточной намагниченности ферромагнитных частиц». Журнал прикладной физики . 29 (3): 595–596. Бибкод : 1958JAP....29..595W . дои : 10.1063/1.1723232 .
Чжан, Х.; Ронг, К.; Чжан, Дж.; Чжан, С.; Чжан, Шао-Ин; Шен, Бао-ген (2003). «Исследование межзеренного обменного взаимодействия нанокристаллических постоянных магнитов по графику Хенкеля». Письма по прикладной физике . 82 (23): 4098–4100. Бибкод : 2003ApPhL..82.4098Z . дои : 10.1063/1.1576291 .

Внешние ссылки

Приложение Стоунера-Вольфарта для перемагничивания

[sw-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Стоунер и Вольфарт, 1948 г.

[2] Майергойз 2003

[Wohlfarth-3] Перейти обратно: ^а ^б Вольфарт 1958 г.

[4] Дэй, Фуллер и Шмидт, 1977 г.

[5] Чжан и др. 2003 г.

[6] Пфайффер 1990

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]