Круговая алгебраическая кривая
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Октябрь 2015 г. ) |
В геометрии круговая алгебраическая кривая — это тип плоской алгебраической кривой, определяемый уравнением F ( x , y ) = 0, где F — многочлен высшего порядка с действительными коэффициентами, а члены F образуют многочлен, делящийся на x. 2 + и 2 . Точнее, если F = F n + F n −1 + ... + F 1 + F 0 , где каждый F i однороден степени i , , то кривая F ( x , y ) = 0 является круговой тогда и только тогда F n когда делится на х 2 + и 2 .
Эквивалентно, если кривая определяется в однородных координатах формулой G ( x , y , z ) = 0, где G — однородный многочлен, то кривая является круговой тогда и только тогда, когда G (1, i , 0) = G (1 , − i , 0) = 0. Другими словами, кривая является круговой, если она содержит круговые точки на бесконечности , (1, i , 0) и (1, − i , 0), если рассматривать ее как кривую в сложная проективная плоскость .
Многокруговые алгебраические кривые
[ редактировать ]Алгебраическая кривая называется p -круговой , если она содержит точки (1, i , 0) и (1, − i , 0), если рассматривать ее как кривую на комплексной проективной плоскости, и эти точки являются особенностями порядка не ниже p. . Термины «бициркулярный» , «трехкруговой» и т. д. применяются, когда p = 2, 3 и т. д. В терминах полинома F, данного выше, кривая F ( x , y ) = 0 является p -круговой, если F n − i делится на ( х 2 + и 2 ) п - я когда я < р . Когда p = 1, это сводится к определению круговой кривой. Множество p -круговых кривых инвариантно относительно евклидовых преобразований . Обратите внимание, что p -круговая кривая должна иметь степень не ниже 2 p .
Множество p -круговых кривых степени p + k , где p может меняться, но k — фиксированное положительное целое число, инвариантно относительно инверсии . [ нужна ссылка ] Когда k равно 1, это говорит о том, что набор прямых (0-круговые кривые степени 1) вместе с набором окружностей (1-круговые кривые степени 2) образуют набор, инвариантный относительно инверсии.
Примеры
[ редактировать ]- Круг . — единственная круглая коника
- Раковины де Слюза (которые включают в себя несколько известных кубических кривых) представляют собой круговые кубики.
- Овалы Кассини (включая лемнискату Бернулли ), торические сечения и лимасоны (включая кардиоиду ) представляют собой бикруглые квартики.
- Кривая Уотта представляет собой трехкруговой секстик.