Состояние счетной цепи

В теории порядка , частично упорядоченное множество X говорят удовлетворяет условию счетной цепи или является ccc , если каждая сильная антицепь в X счетна что .

Обзор

На самом деле есть два условия: условия счетной цепи вверх и вниз . Они не эквивалентны. Условие счетной цепи означает условие счетной цепи вниз, другими словами, никакие два элемента не имеют общей нижней границы.

Это называется «условием счетной цепи», а не более логичным термином «условием счетной антицепи» по историческим причинам, связанным с определенными цепями открытых множеств в топологических пространствах и цепями в полных булевых алгебрах, где условия цепей иногда оказываются эквивалентными условиям антицепи. условия. Например, если κ является кардиналом, то в полной булевой алгебре каждая антицепь имеет размер меньше κ тогда и только тогда, когда не существует нисходящей κ-последовательности элементов, поэтому условия цепочки эквивалентны условиям антицепи.

Частичные порядки и пространства, удовлетворяющие ccc, используются в формулировке аксиомы Мартина .

В теории форсирования используются частичные порядки ccc, потому что форсирование с любым общим набором в таком порядке сохраняет кардиналы и конфинальности. Более того, свойство ccc сохраняется за счет итераций с конечной поддержкой (см. итерированное форсирование ). Дополнительную информацию о ccc в контексте форсирования см. в разделе Форсирование (теория множеств) § Условие счетной цепи .

В более общем смысле, если κ является кардиналом, то говорят, что ЧУУ удовлетворяет условию κ-цепи , если каждая антицепь имеет размер меньше κ. Условие счетной цепи — это условие ℵ ₁ -цепи.

Примеры и свойства в топологии

условию Суслина Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет условию счетной цепи или если , частично упорядоченное множество непустых открытых подмножеств X удовлетворяет условию счетной цепи, т. е. каждая попарно непересекающаяся совокупность непустых открытых подмножеств X является счетной. . Название происходит от « Проблемы Суслина» .

• Каждое сепарабельное топологическое пространство есть ccc. Кроме того, пространство продукта не более ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ сепарабельные пространства — это сепарабельное пространство и, следовательно, ccc.
• Метрическое пространство является ccc тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• В общем, топологическое пространство ccc не обязательно должно быть сепарабельным. Например, $\{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}$ с топологией продукта — ccc, хотя и неразделим .
• Паракомпактные ccc-пространства являются линделёфовыми .

Ссылки

• Йех, Томас (2003), Теория множеств: издание тысячелетия , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-44085-7
• Произведения сепарабельных пространств, К. А. Росс и А. Х. Стоун. Американский математический ежемесячный журнал 71 (4): стр. 398–403 (1964)