Теорема Акса – Гротендика
В математике теорема Экса-Гротендика представляет собой результат об инъективности и сюръективности полиномов , который был независимо доказан Джеймсом Эксом и Александром Гротендиком . [1] [2] [3] [4]
Теорему часто называют особым случаем: если P — инъективная полиномиальная функция из n -мерного комплексного векторного пространства в себя, то P является биективной . То есть, если P всегда отображает разные аргументы в разные значения, то значения P охватывают все C. н . [3] [4]
Полная теорема обобщается на любое алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем . [5]
Доказательство через конечные поля
[ редактировать ]Доказательство теоремы Гротендика [3] [4] основано на доказательстве аналогичной теоремы для конечных полей и их алгебраических замыканий . То есть для любого поля F, которое само конечно или которое является замыканием конечного поля, если многочлен P из F н самому себе инъективен, то он биективен.
Если F — конечное поле, то F н конечно. В этом случае теорема верна по тривиальным причинам, не имеющим ничего общего с представлением функции в виде многочлена: любое вложение конечного множества в себя является биекцией. Когда F является алгебраическим замыканием конечного поля, результат следует из Nullstellensatz Гильберта . Таким образом, теорему Экса – Гротендика для комплексных чисел можно доказать, показав, что контрпример над C преобразуется в контрпример в некотором алгебраическом расширении конечного поля.
Этот метод доказательства примечателен тем, что является примером идеи о том, что финитистские алгебраические отношения в полях характеристики 0 переводятся в алгебраические отношения над конечными полями с большой характеристикой. [3] Таким образом, можно использовать арифметику конечных полей, чтобы доказать утверждение о C, даже если не существует гомоморфизма любого конечного поля в C . Таким образом, в доказательстве используются теоретико-модельные принципы, такие как теорема о компактности, для доказательства элементарного утверждения о полиномах. Доказательство для общего случая проводится аналогичным методом.
Другие доказательства
[ редактировать ]Есть и другие доказательства теоремы. Арман Борель дал доказательство с использованием топологии. [4] Случай n = 1 и поля C следует из того, что C алгебраически замкнут, и его также можно рассматривать как частный случай результата о том, что для любой аналитической функции f на C инъективность f влечет за собой сюръективность f . Это следствие теоремы Пикара .
Связанные результаты
[ редактировать ]Другой пример сведения теорем о морфизмах конечного типа к конечным полям можно найти в EGA IV : Там доказывается, что радикальный S -эндоморфизм схемы X конечного типа над S является биективным (10.4.11) и что если X / S имеет конечное представление и эндоморфизм является мономорфизмом, то он является автоморфизмом (17.9.6). Следовательно, схема конечного представления над базой S является кохопфовым объектом в категории S -схем.
Теорема Экса-Гротендика также может быть использована для доказательства теоремы об Эдемском саду , результата, который, как и теорема Экса-Гротендика, связывает инъективность с сюръективностью, но в клеточных автоматах, а не в алгебраических полях. Хотя прямые доказательства этой теоремы известны, доказательство с помощью теоремы Акса – Гротендика распространяется более широко на автоматы, действующие на аменабельных группах . [6]
Некоторые частичные обращения к теореме Экса-Гротендика:
- Типично сюръективное полиномиальное отображение n -мерного аффинного пространства над конечно порожденным расширением Z или Z / p Z [ t ] биективно с полиномиальным обратным рациональным над тем же кольцом (и, следовательно, биективно в аффинном пространстве алгебраического замыкания).
- Типично сюръективное рациональное отображение n -мерного аффинного пространства над гильбертовым полем является типично биективным с рациональным обратным, определенным над тем же полем. («Гильбертово поле» здесь определяется как поле, для которого справедлива теорема о неприводимости Гильберта, такое как рациональные числа и функциональные поля.) [7]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Акс, Джеймс (1968), «Элементарная теория конечных полей», Annals of Mathematics , Second Series, 88 (2): 239–271, doi : 10.2307/1970573 , JSTOR 1970573 .
- ^ Гротендик, А. (1966), Элементы алгебраической геометрии . IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем. III. , Инст. Высшие исследования Sci. Опубл. Матем., вып. 28, с. 103–104, Теорема 10.4.11 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Тао, Теренс (7 марта 2009 г.). «Бесконечные поля, конечные поля и теорема Акса-Гротендика» . Что нового . Архивировано из оригинала 11 марта 2009 года . Проверено 8 марта 2009 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Серр, Жан-Пьер (2009), «Как использовать конечные поля для решения задач, касающихся бесконечных полей», Арифметика, геометрия, криптография и теория кодирования , Contemp. Матем., вып. 487, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 183–193, arXiv : 0903.0517 , Bibcode : 2009arXiv0903.0517S , MR 2555994
- ^ Элементы алгебраической геометрии , IV 3 , Предложение 10.4.11.
- ^ Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Коорнат, Мишель (2010), Об алгебраических клеточных автоматах , arXiv : 1011.4759 , Bibcode : 2010arXiv1011.4759C .
- ^ Маккенна, Кен; ван ден Дрис, Лу (1990), «Сюръективные полиномиальные карты и замечание о проблеме Якобиана», Manuscripta Mathematica , 67 (1): 1–15, doi : 10.1007/BF02568417 , MR 1037991 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- О'Коннор, Майкл (2008), Теорема Акса: применение логики к обычной математике .