Подгруппы циклических групп
В абстрактной алгебре каждая подгруппа является циклической группы циклической. Более того, для конечной циклической группы порядка n порядок каждой подгруппы является делителем n , и для каждого дивизора существует ровно одна подгруппа. [1] [2] Этот результат получил название фундаментальной теоремы о циклических группах . [3] [4]
Конечные циклические группы
[ редактировать ]Для каждой конечной группы G порядка n следующие утверждения эквивалентны:
- G циклический.
- Для каждого делителя d числа n группа G имеет не более одной подгруппы порядка d .
Если любой из них (и, следовательно, оба) истинны, из этого следует, что существует ровно одна подгруппа порядка d для любого делителя n . Это утверждение известно под разными названиями, например, характеристика по подгруппам . [5] [6] [7] ( см. также в циклической группе Некоторые характеристики .)
Существуют конечные группы, отличные от циклических групп, у которых все собственные подгруппы циклические; Группа Кляйна является примером. Однако группа Клейна имеет более одной подгруппы порядка 2, поэтому она не удовлетворяет условиям характеризации.
Бесконечная циклическая группа
[ редактировать ]Бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной подгруппе Z целых чисел. ) существует одна подгруппа d Z Для каждого целого числа d (состоящего из кратных d , и за исключением тривиальной группы (порожденной d = 0), каждая такая подгруппа сама по себе является бесконечной циклической группой. Поскольку бесконечная циклическая группа является свободной группой с одним образующим (а тривиальная группа является свободной группой без образующих), этот результат можно рассматривать как частный случай теоремы Нильсена – Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы сама по себе является бесплатно. [8]
Фундаментальная теорема для конечных циклических групп может быть установлена на основе той же теоремы для бесконечных циклических групп, если рассматривать каждую конечную циклическую группу как факторгруппу бесконечной циклической группы. [8]
Решетка подгрупп
[ редактировать ]Как в конечном, так и в бесконечном случае решетка подгрупп циклической группы изоморфна двойственной делимости решетке . В конечном случае решетка подгрупп циклической группы порядка n изоморфна двойственной решетке дивизоров n с подгруппой порядка n / d для каждого дивизора d . Подгруппа порядка n / d является подгруппой подгруппы порядка n / e тогда и только тогда, когда e является делителем d . Решетку подгрупп бесконечной циклической группы можно описать так же, как двойственную решетку делимости всех натуральных чисел. Если бесконечная циклическая группа представлена как аддитивная группа целых чисел, то подгруппа, порожденная d, является подгруппой подгруппы, порожденной e , тогда и только тогда, когда e является делителем d . [8]
Решетки делимости являются дистрибутивными решетками , а значит, и решетки подгрупп циклических групп. Это дает еще одну альтернативную характеристику конечных циклических групп: это в точности те конечные группы, решетки подгрупп которых дистрибутивны. В более общем смысле, конечно порожденная группа является циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна, а произвольная группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна. [9] Аддитивная группа рациональных чисел представляет собой пример группы, которая является локально циклической и имеет дистрибутивную решетку подгрупп, но сама по себе не является циклической.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Холл, Маршалл (1976), Теория групп , Американское математическое общество, теорема 3.1.1, стр. 35–36, ISBN 9780821819678
- ^ Винберг, Эрнест Борисович (2003), Курс алгебры , Аспирантура по математике , вып. 56, Американское математическое общество, теорема 4.50, стр. 152–153, ISBN. 9780821834138 .
- ^ Джозеф А. Галлиан (2010), «Фундаментальная теорема о циклических группах», Современная абстрактная алгебра , стр. 77, ISBN 9780547165097
- ^ В. Кейт Николсон (1999), «Циклические группы и порядок элемента», Введение в абстрактную алгебру , Теорема 9. Фундаментальная теорема о конечных циклических группах, ISBN 0471331090
- ^ Стивен Роман (2011). Основы теории групп: продвинутый подход . Спрингер. п. 44. ИСБН 978-0-8176-8300-9 .
- ^ В.К. Балакришнан (1994). Очерк комбинаторики Шаума . МакГроу-Хилл Профессор Мед/Техн. п. 155. ИСБН 978-0-07-003575-1 .
- ^ Маркус Строппель (2006). Локально компактные группы . Европейское математическое общество. п. 64. ИСБН 978-3-03719-016-6 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Алуффи, Паоло (2009), «6.4 Пример: подгруппы циклических групп», Алгебра, Глава 0 , Аспирантура по математике, том. 104, Американское математическое общество, стр. 82–84, ISBN. 9780821847817 .
- ^ Оре, Эйстейн (1938), «Структуры и теория групп. II», Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269, doi : 10.1215/S0012-7094-38-00419-3 , hdl : 10338.dmlcz/100155 , МР 1546048 .