Унисольвентные функции

В математике набор из n функций f ₁ , f ₂ , ..., f _n является несольвентным (то есть «единственно решаемым») в области Ω, если векторы

{\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})\\\vdots \\f_{1}(x_{n})\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}f_{2}(x_{1})\\f_{2}(x_{2})\\\vdots \\f_{2}(x_{n})\end{bmatrix}},\dots ,{\begin{bmatrix}f_{n}(x_{1})\\f_{n}(x_{2})\\\vdots \\f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}

для линейно независимы любого выбора из n различных точек x ₁ , x ₂ ... x _n в Ω. Эквивалентно, коллекция является несостоятельной, если матрица F с элементами f _i ( x _j ) имеет ненулевой определитель : det( F ) ≠ 0 для любого выбора различных x _j в Ω. Однозначность — это свойство векторных пространств , а не только определенных наборов функций. То есть векторное пространство функций размерности n является несостоятельным, если при наличии любого базиса (т. е. линейно независимого набора из n функций) базис несостоятелен (как набор функций). Это связано с тем, что любые два базиса связаны обратимой матрицей (матрица изменения базиса), поэтому один базис является неплатежеспособным тогда и только тогда, когда любой другой базис неплатежеспособен.

Унисольвентные системы функций широко используются при интерполяции , поскольку они гарантируют однозначное решение интерполяционной задачи. Множество полиномов степени не выше ⁠ $d$ ⁠ (которые образуют векторное пространство размерности ⁠ $d+1$ ⁠ ) несостоятельны по теореме о несостоятельности .

Примеры

1, х , х ² несольвентна на любом интервале по теореме о неразрешимости
1, х ² неплатежеспособен на [0, 1], но не неплатежеспособен на [−1, 1]
1, cos( x ), cos(2 x ), ..., cos( nx ), sin( x ), sin(2 x ), ..., sin( nx ) неплатежеспособен на [− π , π ]
Функции унисольвенты используются в линейных обратных задачах .

Неразрешимость в методе конечных элементов

При использовании «простых» функций для аппроксимации неизвестной функции, например, в методе конечных элементов , полезно рассматривать набор функционалов $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}$ которые действуют в конечномерном векторном пространстве $V_{h}$ функций, обычно полиномов. Часто функционалы задаются путем оценки в точках евклидова пространства или некоторого его подмножества. ^[1]^[2]

Например, пусть $V_{h}={\big \{}p(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}{\big \}}$ — пространство одномерных многочленов степени $n$ или меньше, и пусть $f_{k}(p):=f{\Big (}{\frac {k}{n}}{\Big )}$ для $0\leq k\leq n$ определяться путем оценки в $n+1$ равноотстоящие точки на единичном интервале $[0,1]$ . В этом контексте неплатежеспособность $V_{h}$ относительно $\{f_{k}\}_{k=1}^{n}$ означает, что $\{f_{k}\}_{k=1}^{n}$ является основой для $V_{h}^{*}$ , двойственное пространство $V_{h}$ . Эквивалентно и, возможно, более интуитивно, несостоятельность здесь означает, что при любом наборе значений $\{c_{k}\}_{k=1}^{n}$ , существует единственный полином $q(x)\in V_{h}$ такой, что $f_{k}(q)=q({\tfrac {k}{n}})=c_{k}$ . Результаты этого типа широко применяются при полиномиальной интерполяции ; учитывая любую функцию на $\phi \in C([0,1])$ , позволяя $c_{k}=\phi ({\tfrac {k}{n}})$ , мы можем найти полином $q\in V_{h}$ который интерполирует $\phi$ на каждом из $n+1$ баллы: . $\phi ({\tfrac {k}{n}})=q({\tfrac {k}{n}}),\ \forall k\in \{0,1,..,n\}$

Размеры

Системы функций несольвентности гораздо чаще встречаются в одном измерении, чем в более высоких измерениях. В размерности d = 2 и выше (Ω ⊂ R ^д), функции f ₁ , f ₂ , ..., f _n не могут быть неразрешимыми на Ω, если существует единственное открытое множество, на котором все они непрерывны. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим перемещение точек x ₁ и x ₂ по непрерывным путям в открытом множестве до тех пор, пока они не поменяются местами, так что x ₁ и x ₂ никогда не пересекаются друг с другом или с какими-либо другими x _i . Определитель полученной системы (с поменянными местами x ₁ и x ₂ ) является отрицательным по отношению к определителю исходной системы. Поскольку функции f _i непрерывны, из теоремы о промежуточном значении следует, что некоторая промежуточная конфигурация имеет нулевой определитель, следовательно, функции не могут быть неразрешимыми.

См. также

Обратная задача

Ссылки

^ Бреннер, Сюзанна К.; Скотт, Л. Риджуэй (2008). «Математическая теория методов конечных элементов» . Тексты по прикладной математике . 15 . дои : 10.1007/978-0-387-75934-0 . ISBN 978-0-387-75933-3 . ISSN 0939-2475 .
^ Эрн, Александр; Гермонд, Жан-Люк (2004). «Теория и практика конечных элементов» . Прикладные математические науки . 159 . дои : 10.1007/978-1-4757-4355-5 . ISBN 978-1-4419-1918-2 . ISSN 0066-5452 .

Филип Дж. Дэвис : Интерполяция и аппроксимация, стр. 31–32.

[1] Бреннер, Сюзанна К.; Скотт, Л. Риджуэй (2008). «Математическая теория методов конечных элементов» . Тексты по прикладной математике . 15 . дои : 10.1007/978-0-387-75934-0 . ISBN 978-0-387-75933-3 . ISSN 0939-2475 .

[2] Эрн, Александр; Гермонд, Жан-Люк (2004). «Теория и практика конечных элементов» . Прикладные математические науки . 159 . дои : 10.1007/978-1-4757-4355-5 . ISBN 978-1-4419-1918-2 . ISSN 0066-5452 .

[1]

[2]