Ацилиндрически гиперболическая группа

В математическом предмете геометрической теории групп ацилдрически гиперболическая группа — это группа, допускающая неэлементарное «цилиндрическое» изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве . Это понятие обобщает понятия гиперболической группы и относительно гиперболической группы включает значительно более широкий класс примеров, таких как группы классов отображений и Out( Fn _и ) .

Формальное определение

Ацилиндрическое действие

Пусть G группа с изометрическим действием на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X. — Это действие называется ацилиндрическим. если для каждого $R\geq 0$ существуют $N>0,L>0$ такой, что для каждого $x,y\in X$ с $d(x,y)\geq L$ у одного есть

$\#\{g\in G\mid d(x,gx)\leq R,d(y,gy)\leq R\}\leq N.$

Если указанное выше свойство справедливо для определенного $R\geq 0$действие G на X называется R - цилиндрическим . Понятие ацилиндричности обеспечивает подходящую замену правильному действию в более общем контексте, где разрешены неправильные действия.

Цилиндрическое изометрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X является неэлементарным , если G допускает две независимые гиперболические изометрии X , т. е. два локсодромных элемента. $g,h\in G$ такие, что их множества фиксированных точек $\{g^{+},g^{-}\}\subseteq \partial X$ и $\{h^{+},h^{-}\}\subseteq \partial X$ непересекающиеся.

Известно (теорема 1.1 в ) что цилиндрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X неэлементарно тогда и только тогда, когда это действие имеет неограниченные орбиты в X и группа G не является конечным расширением циклической группы, порожденной локсодромной изометрией X .

Ацилиндрически гиперболическая группа

Группа G называется цилиндрически гиперболической, если G допускает неэлементарное цилиндрическое изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X .

Эквивалентные характеристики

Известно (теорема 1.2 в ), что для группы G следующие условия эквивалентны:

• Группа G цилиндрически гиперболическая.
• Существует (возможно, бесконечный) порождающий набор S для G такой, что граф Кэли $\Gamma (G,S)$ является гиперболическим, и естественное трансляционное действие G на $\Gamma (G,S)$ является неэлементарным ацилиндрическим действием.
• Группа G не является практически циклической , и существует изометрическое действие G на геодезическое гиперболическое метрическое пространство X такое, что по крайней мере один элемент G действует на X со свойством WPD («Слабо правильно разрывный»).
• Группа G содержит собственную бесконечную «гиперболически вложенную» подгруппу .

Характеристики

• Всякая ациландрически гиперболическая группа G является SQ-универсальной каждая счетная группа вкладывается как подгруппа в некоторую факторгруппу группы G. , т. е .
• Класс цилиндрически гиперболических групп замкнут при выборе бесконечных нормальных подгрупп и, в более общем смысле, при выборе «s-нормальных» подгрупп. Здесь подгруппа $H\leq G$ называется s-нормальным в $G$ если для каждого $g\in G$ у одного есть $|H\cap g^{-1}Hg|=\infty$.
• Если G — цилиндрически гиперболическая группа и $V=\mathbb {R}$ или $V=\ell ^{p}(G)$ с $p\in [1,\infty )$ тогда ограниченные когомологии $H_{b}(G,V)$ является бесконечномерным.
• Каждая цилиндрически гиперболическая группа G допускает единственную максимальную нормальную конечную подгруппу, обозначаемую K(G) .
• Если G — цилиндрически гиперболическая группа с K(G)={1}, то G имеет бесконечные классы сопряженности нетривиальных элементов, G не является внутренней аменабельной и приведенная C*-алгебра группы G проста с единственным следом.
• Существует версия теории малого сокращения над ациландрически гиперболическими группами, позволяющая получить множество факторов таких групп с заданными свойствами.
• Каждая конечно порожденная цилиндрически гиперболическая группа имеет точки разреза во всех своих асимптотических конусах .
• Для конечно порожденной ацилдрически гиперболической группы G вероятность того, что простое случайное блуждание по G длины n создаст «обобщенный локсодромный элемент» в G, сходится к 1 экспоненциально быстро как $n\to \infty$.
• Каждая конечно порожденная ацилиндрически гиперболическая группа G имеет экспоненциальный рост сопряженности, что означает, что количество различных классов сопряженности элементов G, происходящих из шара радиуса n в графе Кэли группы G, растет экспоненциально по n .

Примеры и не примеры

• Конечные группы, виртуально нильпотентные группы и виртуально разрешимые группы не являются цилиндрически гиперболическими.
• Любая неэлементарная подгруппа словесно-гиперболической группы является цилиндрически гиперболической.
• Всякая неэлементарная относительно гиперболическая группа является цилиндрически гиперболической.
• Группа классов отображения $MCG(S_{g,p})$ связной ориентированной поверхности рода $g\geq 0$ с $p\geq 0$ точек является цилиндрически гиперболической, за исключением случаев, когда $g=0,p\leq 3$ (в этих исключительных случаях группа классов отображений конечна).
• Для $n\geq 2$ группа Out( Fn ₎ . цилиндрически гиперболична
• По результату Осина каждая невиртуально циклическая группа G , которая допускает собственное изометрическое действие на собственном пространстве CAT(0) , где G имеет хотя бы один элемент ранга 1, является цилиндрически гиперболической. Капраче и Сагеев доказали, что если G — конечно порожденная группа, действующая изометрически правильно, разрывно и кокомпактно на геодезически полном CAT(0) кубическом комплексе X , то либо X распадается как прямое произведение двух неограниченных выпуклых подкомплексов, либо G содержит ранг-комплекс. 1 элемент.
• Всякая прямоугольная группа Артина G , не являющаяся циклической и прямо неразложимая, является цилиндрически гиперболической.
• Для $n\geq 3$ специальная линейная группа $SL(n,\mathbb {Z} )$ не является ацилиндрически гиперболическим (пример 7.5 в ).
• Для $m\neq 0,n\neq 0$ группа Баумслага – Солитара $BS(m,n)=\langle a,t\mid t^{-1}a^{m}t=a^{n}\rangle$ не является ацилиндрически гиперболическим. (Пример 7.4 в )
• Многие группы, допускающие нетривиальные действия на симплициальных деревьях (т. е. допускающие нетривиальные расщепления как фундаментальные группы графов групп в смысле теории Басса–Серра ), являются цилиндрически гиперболическими. Например, все группы с одним соотношением по крайней мере на трех образующих являются цилиндрически гиперболическими.
• Большинство групп трехмерного многообразия являются цилиндрически гиперболическими.

Дальнейшее чтение

• Коберда, Томас (2018). «ЧТО ТАКОЕ... ацилиндрическое групповое действие?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 65 (1): 31–34. дои : 10.1090/noti1624 .