Ацилиндрически гиперболическая группа
В математическом предмете геометрической теории групп ацилдрически гиперболическая группа — это группа, допускающая неэлементарное «цилиндрическое» изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве . [1] Это понятие обобщает понятия гиперболической группы и относительно гиперболической группы включает значительно более широкий класс примеров, таких как группы классов отображений и Out( Fn и ) .
Формальное определение
[ редактировать ]Ацилиндрическое действие
[ редактировать ]Пусть G группа с изометрическим действием на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X. — Это действие называется ацилиндрическим. [1] если для каждого существуют такой, что для каждого с у одного есть
Если указанное выше свойство справедливо для определенного действие G на X называется R - цилиндрическим . Понятие ацилиндричности обеспечивает подходящую замену правильному действию в более общем контексте, где разрешены неправильные действия.
Цилиндрическое изометрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X является неэлементарным , если G допускает две независимые гиперболические изометрии X , т. е. два локсодромных элемента. такие, что их множества фиксированных точек и непересекающиеся.
Известно (теорема 1.1 в [1] ) что цилиндрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X неэлементарно тогда и только тогда, когда это действие имеет неограниченные орбиты в X и группа G не является конечным расширением циклической группы, порожденной локсодромной изометрией X .
Ацилиндрически гиперболическая группа
[ редактировать ]Группа G называется цилиндрически гиперболической, если G допускает неэлементарное цилиндрическое изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X .
Эквивалентные характеристики
[ редактировать ]Известно (теорема 1.2 в [1] ), что для группы G следующие условия эквивалентны:
- Группа G цилиндрически гиперболическая.
- Существует (возможно, бесконечный) порождающий набор S для G такой, что граф Кэли является гиперболическим, и естественное трансляционное действие G на является неэлементарным ацилиндрическим действием.
- Группа G не является практически циклической , и существует изометрическое действие G на геодезическое гиперболическое метрическое пространство X такое, что по крайней мере один элемент G действует на X со свойством WPD («Слабо правильно разрывный»).
- Группа G содержит собственную бесконечную «гиперболически вложенную» подгруппу . [2]
История
[ редактировать ]Характеристики
[ редактировать ]- Всякая ациландрически гиперболическая группа G является SQ-универсальной каждая счетная группа вкладывается как подгруппа в некоторую факторгруппу группы G. , т. е .
- Класс цилиндрически гиперболических групп замкнут при выборе бесконечных нормальных подгрупп и, в более общем смысле, при выборе «s-нормальных» подгрупп. [1] Здесь подгруппа называется s-нормальным в если для каждого у одного есть .
- Если G — цилиндрически гиперболическая группа и или с тогда ограниченные когомологии является бесконечномерным. [3] [4] [1]
- Каждая цилиндрически гиперболическая группа G допускает единственную максимальную нормальную конечную подгруппу, обозначаемую K(G) . [2]
- Если G — цилиндрически гиперболическая группа с K(G)={1}, то G имеет бесконечные классы сопряженности нетривиальных элементов, G не является внутренней аменабельной и приведенная C*-алгебра группы G проста с единственным следом. [2]
- Существует версия теории малого сокращения над ациландрически гиперболическими группами, позволяющая получить множество факторов таких групп с заданными свойствами. [5]
- Каждая конечно порожденная цилиндрически гиперболическая группа имеет точки разреза во всех своих асимптотических конусах . [6]
- Для конечно порожденной ацилдрически гиперболической группы G вероятность того, что простое случайное блуждание по G длины n создаст «обобщенный локсодромный элемент» в G, сходится к 1 экспоненциально быстро как . [7]
- Каждая конечно порожденная ацилиндрически гиперболическая группа G имеет экспоненциальный рост сопряженности, что означает, что количество различных классов сопряженности элементов G, происходящих из шара радиуса n в графе Кэли группы G, растет экспоненциально по n . [8]
Примеры и не примеры
[ редактировать ]- Конечные группы, виртуально нильпотентные группы и виртуально разрешимые группы не являются цилиндрически гиперболическими.
- Любая неэлементарная подгруппа словесно-гиперболической группы является цилиндрически гиперболической.
- Всякая неэлементарная относительно гиперболическая группа является цилиндрически гиперболической.
- Группа классов отображения связной ориентированной поверхности рода с точек является цилиндрически гиперболической, за исключением случаев, когда (в этих исключительных случаях группа классов отображений конечна). [1]
- Для группа Out( Fn ) . цилиндрически гиперболична [1]
- По результату Осина каждая невиртуально циклическая группа G , которая допускает собственное изометрическое действие на собственном пространстве CAT(0) , где G имеет хотя бы один элемент ранга 1, является цилиндрически гиперболической. [1] Капраче и Сагеев доказали, что если G — конечно порожденная группа, действующая изометрически правильно, разрывно и кокомпактно на геодезически полном CAT(0) кубическом комплексе X , то либо X распадается как прямое произведение двух неограниченных выпуклых подкомплексов, либо G содержит ранг-комплекс. 1 элемент. [9]
- Всякая прямоугольная группа Артина G , не являющаяся циклической и прямо неразложимая, является цилиндрически гиперболической.
- Для специальная линейная группа не является ацилиндрически гиперболическим (пример 7.5 в [1] ).
- Для группа Баумслага – Солитара не является ацилиндрически гиперболическим. (Пример 7.4 в [1] )
- Многие группы, допускающие нетривиальные действия на симплициальных деревьях (т. е. допускающие нетривиальные расщепления как фундаментальные группы графов групп в смысле теории Басса–Серра ), являются цилиндрически гиперболическими. Например, все группы с одним соотношением по крайней мере на трех образующих являются цилиндрически гиперболическими. [10]
- Большинство групп трехмерного многообразия являются цилиндрически гиперболическими. [10]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж к Осин, Д. (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . дои : 10.1090/tran/6343 . МР 3430352 . S2CID 21624534 .
- ^ Jump up to: а б с Дахмани, Ф.; Гирардель, В.; Осин, Д. (2017). Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах . Мемуары Американского математического общества . Том. 245. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2194-6 . 1156.
- ^ Бествина, М.; Фудзивара, К. (2002). «Ограниченные когомологии подгрупп групп классов отображений» . Геометрия и топология . 6 : 69–89. arXiv : math/0012115 . дои : 10.2140/gt.2002.6.69 . МР 1914565 . S2CID 11350501 .
- ^ Хаменштадт, У. (2008). «Ограниченные когомологии и группы изометрий гиперболических пространств» . Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 315–349. arXiv : math/0507097 . дои : 10.4171/JEMS/112 . S2CID 16750741 .
- ^ Халл, М. (2016). «Малое сокращение в ациландрически-гиперболических группах». Группы, геометрия и динамика . 10 (4): 1077–1119. arXiv : 1308.4345 . дои : 10.4171/GGD/377 . S2CID 118319683 .
- ^ Систо, А. (2016). «Квазивыпуклость гиперболически вложенных подгрупп». Математический журнал . 283 (3–4): 649–658. arXiv : 1310.7753 . дои : 10.1007/s00209-016-1615-z . S2CID 119174222 .
- ^ Систо, А. (2018). «Сжимающиеся элементы и случайные блуждания». Журнал чистой и прикладной математики . 2018 (742): 79–114. arXiv : 1112.2666 . doi : 10.1515/crelle-2015-0093 . S2CID 118009555 .
- ^ Халл, М.; Осин, Д. (2013). «Рост сопряжения конечно порожденных групп» . Достижения в математике . 235 (1): 361–389. arXiv : 1107.1826 . дои : 10.1016/j.aim.2012.12.007 .
- ^ Капраче, ЧП; Сагеев, М. (2011). «Ранговая жесткость комплексов кубов CAT (0)». Геометрический и функциональный анализ . 21 (4): 851–891. arXiv : 1005.5687 . дои : 10.1007/s00039-011-0126-7 . МР 2827012 . S2CID 119326592 .
- ^ Jump up to: а б Минасян А.; Осин, Д. (2015). «Ацилиндическая гиперболичность групп, действующих на деревьях». Математические Аннален . 362 (3–4): 1055–1105. arXiv : 1310.6289 . дои : 10.1007/s00208-014-1138-z . S2CID 55851214 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Коберда, Томас (2018). «ЧТО ТАКОЕ... ацилиндрическое групповое действие?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 65 (1): 31–34. дои : 10.1090/noti1624 .