Jump to content

Ацилиндрически гиперболическая группа

В математическом предмете геометрической теории групп ацилдрически гиперболическая группа — это группа, допускающая неэлементарное «цилиндрическое» изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве . [1] Это понятие обобщает понятия гиперболической группы и относительно гиперболической группы включает значительно более широкий класс примеров, таких как группы классов отображений и Out( Fn и ) .

Формальное определение

[ редактировать ]

Ацилиндрическое действие

[ редактировать ]

Пусть G группа с изометрическим действием на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X. — Это действие называется ацилиндрическим. [1] если для каждого существуют такой, что для каждого с у одного есть

Если указанное выше свойство справедливо для определенного действие G на X называется R - цилиндрическим . Понятие ацилиндричности обеспечивает подходящую замену правильному действию в более общем контексте, где разрешены неправильные действия.

Цилиндрическое изометрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X является неэлементарным , если G допускает две независимые гиперболические изометрии X , т. е. два локсодромных элемента. такие, что их множества фиксированных точек и непересекающиеся.

Известно (теорема 1.1 в [1] ) что цилиндрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X неэлементарно тогда и только тогда, когда это действие имеет неограниченные орбиты в X и группа G не является конечным расширением циклической группы, порожденной локсодромной изометрией X .

Ацилиндрически гиперболическая группа

[ редактировать ]

Группа G называется цилиндрически гиперболической, если G допускает неэлементарное цилиндрическое изометрическое действие на некотором геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X .

Эквивалентные характеристики

[ редактировать ]

Известно (теорема 1.2 в [1] ), что для группы G следующие условия эквивалентны:

  • Группа G цилиндрически гиперболическая.
  • Существует (возможно, бесконечный) порождающий набор S для G такой, что граф Кэли является гиперболическим, и естественное трансляционное действие G на является неэлементарным ацилиндрическим действием.
  • Группа G не является практически циклической , и существует изометрическое действие G на геодезическое гиперболическое метрическое пространство X такое, что по крайней мере один элемент G действует на X со свойством WPD («Слабо правильно разрывный»).
  • Группа G содержит собственную бесконечную «гиперболически вложенную» подгруппу . [2]

Характеристики

[ редактировать ]
  • Всякая ациландрически гиперболическая группа G является SQ-универсальной каждая счетная группа вкладывается как подгруппа в некоторую факторгруппу группы G. , т. е .
  • Класс цилиндрически гиперболических групп замкнут при выборе бесконечных нормальных подгрупп и, в более общем смысле, при выборе «s-нормальных» подгрупп. [1] Здесь подгруппа называется s-нормальным в если для каждого у одного есть .
  • Если G — цилиндрически гиперболическая группа и или с тогда ограниченные когомологии является бесконечномерным. [3] [4] [1]
  • Каждая цилиндрически гиперболическая группа G допускает единственную максимальную нормальную конечную подгруппу, обозначаемую K(G) . [2]
  • Если G — цилиндрически гиперболическая группа с K(G)={1}, то G имеет бесконечные классы сопряженности нетривиальных элементов, G не является внутренней аменабельной и приведенная C*-алгебра группы G проста с единственным следом. [2]
  • Существует версия теории малого сокращения над ациландрически гиперболическими группами, позволяющая получить множество факторов таких групп с заданными свойствами. [5]
  • Каждая конечно порожденная цилиндрически гиперболическая группа имеет точки разреза во всех своих асимптотических конусах . [6]
  • Для конечно порожденной ацилдрически гиперболической группы G вероятность того, что простое случайное блуждание по G длины n создаст «обобщенный локсодромный элемент» в G, сходится к 1 экспоненциально быстро как . [7]
  • Каждая конечно порожденная ацилиндрически гиперболическая группа G имеет экспоненциальный рост сопряженности, что означает, что количество различных классов сопряженности элементов G, происходящих из шара радиуса n в графе Кэли группы G, растет экспоненциально по n . [8]

Примеры и не примеры

[ редактировать ]
  • Конечные группы, виртуально нильпотентные группы и виртуально разрешимые группы не являются цилиндрически гиперболическими.
  • Любая неэлементарная подгруппа словесно-гиперболической группы является цилиндрически гиперболической.
  • Всякая неэлементарная относительно гиперболическая группа является цилиндрически гиперболической.
  • Группа классов отображения связной ориентированной поверхности рода с точек является цилиндрически гиперболической, за исключением случаев, когда (в этих исключительных случаях группа классов отображений конечна). [1]
  • Для группа Out( Fn ) . цилиндрически гиперболична [1]
  • По результату Осина каждая невиртуально циклическая группа G , которая допускает собственное изометрическое действие на собственном пространстве CAT(0) , где G имеет хотя бы один элемент ранга 1, является цилиндрически гиперболической. [1] Капраче и Сагеев доказали, что если G — конечно порожденная группа, действующая изометрически правильно, разрывно и кокомпактно на геодезически полном CAT(0) кубическом комплексе X , то либо X распадается как прямое произведение двух неограниченных выпуклых подкомплексов, либо G содержит ранг-комплекс. 1 элемент. [9]
  • Всякая прямоугольная группа Артина G , не являющаяся циклической и прямо неразложимая, является цилиндрически гиперболической.
  • Для специальная линейная группа не является ацилиндрически гиперболическим (пример 7.5 в [1] ).
  • Для группа Баумслага – Солитара не является ацилиндрически гиперболическим. (Пример 7.4 в [1] )
  • Многие группы, допускающие нетривиальные действия на симплициальных деревьях (т. е. допускающие нетривиальные расщепления как фундаментальные группы графов групп в смысле теории Басса–Серра ), являются цилиндрически гиперболическими. Например, все группы с одним соотношением по крайней мере на трех образующих являются цилиндрически гиперболическими. [10]
  • Большинство групп трехмерного многообразия являются цилиндрически гиперболическими. [10]
  1. ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж к Осин, Д. (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . дои : 10.1090/tran/6343 . МР   3430352 . S2CID   21624534 .
  2. ^ Jump up to: а б с Дахмани, Ф.; Гирардель, В.; Осин, Д. (2017). Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах . Мемуары Американского математического общества . Том. 245. Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-2194-6 . 1156.
  3. ^ Бествина, М.; Фудзивара, К. (2002). «Ограниченные когомологии подгрупп групп классов отображений» . Геометрия и топология . 6 : 69–89. arXiv : math/0012115 . дои : 10.2140/gt.2002.6.69 . МР   1914565 . S2CID   11350501 .
  4. ^ Хаменштадт, У. (2008). «Ограниченные когомологии и группы изометрий гиперболических пространств» . Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 315–349. arXiv : math/0507097 . дои : 10.4171/JEMS/112 . S2CID   16750741 .
  5. ^ Халл, М. (2016). «Малое сокращение в ациландрически-гиперболических группах». Группы, геометрия и динамика . 10 (4): 1077–1119. arXiv : 1308.4345 . дои : 10.4171/GGD/377 . S2CID   118319683 .
  6. ^ Систо, А. (2016). «Квазивыпуклость гиперболически вложенных подгрупп». Математический журнал . 283 (3–4): 649–658. arXiv : 1310.7753 . дои : 10.1007/s00209-016-1615-z . S2CID   119174222 .
  7. ^ Систо, А. (2018). «Сжимающиеся элементы и случайные блуждания». Журнал чистой и прикладной математики . 2018 (742): 79–114. arXiv : 1112.2666 . doi : 10.1515/crelle-2015-0093 . S2CID   118009555 .
  8. ^ Халл, М.; Осин, Д. (2013). «Рост сопряжения конечно порожденных групп» . Достижения в математике . 235 (1): 361–389. arXiv : 1107.1826 . дои : 10.1016/j.aim.2012.12.007 .
  9. ^ Капраче, ЧП; Сагеев, М. (2011). «Ранговая жесткость комплексов кубов CAT (0)». Геометрический и функциональный анализ . 21 (4): 851–891. arXiv : 1005.5687 . дои : 10.1007/s00039-011-0126-7 . МР   2827012 . S2CID   119326592 .
  10. ^ Jump up to: а б Минасян А.; Осин, Д. (2015). «Ацилиндическая гиперболичность групп, действующих на деревьях». Математические Аннален . 362 (3–4): 1055–1105. arXiv : 1310.6289 . дои : 10.1007/s00208-014-1138-z . S2CID   55851214 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f57cc31ad9be40e967b51eb56dd6d4af__1651757580
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f5/af/f57cc31ad9be40e967b51eb56dd6d4af.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Acylindrically hyperbolic group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)