Параметры импеданса

Параметры импеданса или Z-параметры (элементы матрицы импеданса или Z-матрицы ) — это свойства, используемые в электротехнике , электронной технике и разработке систем связи для описания электрического поведения линейных электрических сетей . Они также используются для описания малосигнального ( линеаризованного ) отклика нелинейных сетей. Они являются членами семейства аналогичных параметров, используемых в электронной технике, другими примерами являются: S-параметры , Y-параметры , H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры .

Z-параметры также известны как параметры импеданса разомкнутой цепи , поскольку они рассчитываются в условиях разомкнутой цепи . т. е. I _x =0, где x=1,2 относятся к входному и выходному токам, протекающим через порты ( в данном случае двухпортовой сети ) соответственно.

Матрица Z-параметров

Матрица Z-параметров описывает поведение любой линейной электрической сети, которую можно рассматривать как черный ящик с множеством портов . Порт по в этом контексте представляет собой пару электрических клемм, которым в сеть и из сети проходят равные и противоположные токи, и между которыми имеется определенное напряжение . Z-матрица не дает никакой информации о поведении сети, когда токи в каком-либо порту не сбалансированы таким образом (если это возможно), а также не дает никакой информации о напряжении между клеммами, не принадлежащими одному и тому же порту. Обычно предполагается, что каждое внешнее подключение к сети осуществляется между терминалами только одного порта, поэтому эти ограничения являются уместными.

Для общего определения многопортовой сети предполагается, что каждому порту выделено целое число n в диапазоне от 1 до N , где N — общее количество портов. Для порта n соответствующее определение Z-параметра выражено в терминах тока и напряжения порта. $I_{n}\,$ и $V_{n}\,$ соответственно.

Для всех портов напряжения могут быть определены через матрицу Z-параметров, а токи - с помощью следующего матричного уравнения:

$V=ZI\,$

где Z — матрица размера N × N , элементы которой можно индексировать с использованием обычных матричных обозначений. В общем, элементы матрицы Z-параметров представляют собой комплексные числа и функции частоты. Для однопортовой сети Z-матрица сводится к одному элементу и представляет собой обычное сопротивление, измеренное между двумя терминалами. Z-параметры также известны как параметры разомкнутой цепи, поскольку они измеряются или рассчитываются путем подачи тока на один порт и определения результирующих напряжений на всех портах, в то время как неуправляемые порты замыкаются на разомкнутые цепи.

Двухпортовые сети

Эквивалентная схема Z-параметров двухполюсной сети.

Эквивалентная схема Z-параметров взаимной двухполюсной сети.

Матрица Z-параметров для двухпортовой сети, вероятно, является наиболее распространенной. В этом случае взаимосвязь между токами портов, напряжениями портов и матрицей Z-параметров определяется выражением:

${\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$.

где

$Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

$Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}$

В общем случае сети с N портами:

$Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}$

Соотношения импеданса

Входное сопротивление двухпортовой сети определяется выражением:

$Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}$

где Z _L — полное сопротивление нагрузки, подключенной ко второму порту.

Аналогично, выходное сопротивление определяется выражением:

$Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}$

где Z _S — полное сопротивление источника, подключенного к первому порту.

Связь с S-параметрами

Z-параметры сети связаны с ее S-параметрами соотношением

${\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}$ 

и

${\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}$ 

где $1_{\!N}$ — единичная матрица , ${\sqrt {z}}$ представляет собой диагональную матрицу, является квадратный корень из характеристического импеданса ненулевыми элементами которой каждого порта,

${\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}$

и ${\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}$ – соответствующая диагональная матрица квадратных корней характеристических адмиттансов . В этих выражениях матрицы, представленные факторами в квадратных скобках, коммутируют и поэтому, как показано выше, могут быть записаны в любом порядке.

Два порта

В частном случае двухполюсной сети с тем же характеристическим сопротивлением $z_{01}=z_{02}=Z_{0}$ на каждом порту приведенные выше выражения сводятся к

$Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,$

$Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,$

$Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,$

$Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,$

Где

$\Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,$

Двухпортовые S-параметры могут быть получены из эквивалентных двухпортовых Z-параметров с помощью следующих выражений:

$S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }$

$S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,$

$S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,$

$S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }$

где

$\Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,$

В приведенных выше выражениях обычно используются комплексные числа. $S_{ij}\,$ и $Z_{ij}\,$. Обратите внимание, что значение $\Delta \,$ может стать 0 для определенных значений $Z_{ij}\,$ поэтому деление на $\Delta \,$ в расчетах $S_{ij}\,$ может привести к делению на 0.

Связь с Y-параметрами

Преобразование Y-параметров в Z-параметры намного проще, поскольку матрица Z-параметров является обратной матрицей Y-параметров. Для двухпортового:

$Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,$

$Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,$

$Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,$

$Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,$

где

$\Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,$

является определителем матрицы Y-параметров.

Библиография

• Дэвид М. Позар (5 февраля 2004 г.). Микроволновая техника . Уайли. ISBN  978-0-471-44878-5 .
• Саймон Рамо; Джон Р. Уиннери; Теодор Ван Дузер (9 февраля 1994 г.). Поля и волны в коммуникационной электронике . Уайли. ISBN  978-0-471-58551-0 .

См. также

• Параметры рассеяния
• Параметры допуска
• Двухпортовая сеть